In der Mathematik ist eine Kette von Cunningham eine bestimmte Folge von Primzahlen. Ketten von Cunningham werden nach dem Mathematiker A. J. C. Cunningham genannt. Sie werden auch Ketten fast der verdoppelten Blüte genannt.

Eine Kette von Cunningham der ersten Art der Länge n ist eine Folge von Primzahlen (p..., p) solch das für den ganzen 1 ≤ ich < n, p = 2 p + 1. (Folglich ist jeder Begriff solch einer Kette außer der letzten eine Sophie Germain erst, und jeder Begriff außer dem ersten ist eine sichere Blüte).

Hieraus folgt dass....

Ähnlich ist eine Kette von Cunningham der zweiten Art der Länge n eine Folge von Primzahlen (p..., p) solch das für den ganzen 1 ≤ ich < n, p = 2 p - 1.

Ketten von Cunningham werden auch manchmal zu Folgen von Primzahlen (p..., p) solch das für den ganzen 1 &le verallgemeinert; ich < n, p = AFP + b für feste coprime ganze Zahlen a, b; die resultierenden Ketten werden verallgemeinerte Ketten von Cunningham genannt.

Eine Kette von Cunningham wird abgeschlossen genannt, wenn sie weiter nicht erweitert werden kann, d. h., wenn der vorherige oder folgende Begriff in der Kette keine Primzahl nicht mehr sein würde.

Ketten von Cunningham werden jetzt nützlich in kryptografischen Systemen betrachtet, da "sie zwei gleichzeitige passende Einstellungen für ElGamal cryptosystem zur Verfügung stellen... [der] in jedem Feld durchgeführt werden kann, wo das getrennte Logarithmus-Problem schwierig ist."

Größte bekannte Ketten von Cunningham

Es folgt aus der Vermutung von Dickson und der Hypothese H des breiteren Schinzels, beide weit geglaubt, wahr zu sein, dass für jeden k es ungeheuer viele Ketten von Cunningham der Länge k gibt. Es, gibt jedoch, keine bekannten direkten Methoden, solche Ketten zu erzeugen.

q# zeigt den primorial 2×3×5×7× an... ×q.

, die längste bekannte Kette von Cunningham jeder Art ist der Länge 17. Das bekannte erste war des 1. freundlichen Startens unter 2759832934171386593519, der von Jaroslaw Wroblewski 2008 entdeckt ist, wo er auch etwas von der 2. Art gefunden hat.

Kongruenzen von Ketten von Cunningham

Lassen Sie die sonderbare Blüte die erste Blüte einer Kette von Cunningham der ersten Art sein. Die erste Blüte ist so seltsam. Da jede aufeinander folgende Blüte in der Kette hieraus folgt dass ist. So, und so weiter.

Das obengenannte Eigentum kann durch das Betrachten der Blüte einer Kette in der Basis 2 informell beobachtet werden. (Bemerken Sie, dass, als mit allen Basen, durch die Zahl der Basis multiplizierend, die Ziffern nach links "auswechselt".), Wenn wir in der Basis 2 in Betracht ziehen, sehen wir, dass, durch das Multiplizieren um 2, kleinste positive Ziffer dessen der secondmost kleinste positive Ziffer dessen wird. Weil seltsam ist - d. h. ist kleinste positive Ziffer 1 in der Basis 2 - wir wissen, dass der secondmost kleinste positive Ziffer dessen auch 1 ist. Und, schließlich, können wir sehen, dass das wegen der Hinzufügung von 1 dazu seltsam sein wird. Auf diese Weise wird die aufeinander folgende Blüte in einer Kette von Cunningham im Wesentlichen verlassen in der Dualzahl mit ausgewechselt, die kleinste positive Ziffern ausfüllen. Zum Beispiel ist hier eine ganze Länge 6 Kette, die unter 141361469 anfängt:

Ein ähnliches Ergebnis hält für Ketten von Cunningham der zweiten Art. Von der Beobachtung dass und die Beziehung hieraus folgt dass. In der binären Notation, der Blüte in einer Kette von Cunningham des zweiten freundlichen Endes mit einem Muster "0... 01", wo, für jeden, die Zahl von Nullen im Muster dafür ein mehr ist als die Zahl von Nullen dafür. Als mit Ketten von Cunningham der ersten Art sind die der Muster-Verschiebung verlassenen Bit durch eine Position mit jeder aufeinander folgenden Blüte abgereist.

Außenverbindungen

• Das Hauptwörterverzeichnis: Kette von Cunningham
• PrimeLinks ++: Kette von Cunningham
• Folge A005602 in OEIS: der erste Begriff der niedrigsten ganzen Ketten von Cunningham der ersten Art der Länge n, für 1