In der Geometrie sind zwei Zahlen kongruent, wenn sie dieselbe Gestalt und Größe haben. Das bedeutet, dass jeder Gegenstand wiedereingestellt werden kann, um genau mit dem anderen Gegenstand zusammenzufallen. Mehr formell werden zwei Sätze von Punkten kongruent genannt, wenn, und nur wenn einer in anderen durch eine Isometrie, d. h., eine Kombination von Übersetzungen, Folgen und Nachdenken umgestaltet werden kann.

Das zusammenhängende Konzept der Ähnlichkeit gilt, wenn sich die Gegenstände in der Größe, aber nicht in der Gestalt unterscheiden.

Definition der Kongruenz in der analytischen Geometrie

In einem Euklidischen System ist Kongruenz grundsätzlich; es ist die Kopie der Gleichheit für Zahlen. In der analytischen Geometrie kann Kongruenz intuitiv so definiert werden: Zwei mappings von Zahlen auf ein Kartesianisches Koordinatensystem sind kongruent, wenn, und nur wenn, für irgendwelche zwei Punkte, indem sie erst kartografisch darstellt, die Euklidische Entfernung zwischen ihnen der Euklidischen Entfernung zwischen den entsprechenden Punkten gleich ist, indem sie zweit kartografisch darstellt.

Eine mehr formelle Definition: Zwei Teilmengen A und B des Euklidischen Raums R werden kongruent genannt, wenn dort eine Isometrie f besteht: R  R (ein Element der Euklidischen Gruppe E (n)) mit f (A) = B. Kongruenz ist eine Gleichwertigkeitsbeziehung.

Kongruenz von Dreiecken

: Siehe auch Lösung von Dreiecken.

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn ihre entsprechenden Seiten in der Länge gleich sind und ihre entsprechenden Winkel in der Größe gleich sind.

Wenn Dreieck-Abc zum Dreieck DEF kongruent ist, kann die Beziehung mathematisch als geschrieben werden:

In vielen Fällen ist es genügend, die Gleichheit von drei entsprechenden Teilen zu gründen und eines der folgenden Ergebnisse zu verwenden, die Kongruenz der zwei Dreiecke abzuleiten.

Bestimmung der Kongruenz

Genügend Beweise für die Kongruenz zwischen zwei Dreiecken im Euklidischen Raum können durch die folgenden Vergleiche gezeigt werden:

• SAS (Seitenwinkelseite): Wenn zwei Paare von Seiten von zwei Dreiecken in der Länge gleich sind, und die eingeschlossenen Winkel im Maß gleich sind, dann sind die Dreiecke kongruent.
• SSS (Seitenseitenseite): Wenn drei Paare von Seiten von zwei Dreiecken in der Länge gleich sind, dann sind die Dreiecke kongruent.
• ASA (Winkelseitenwinkel): Wenn zwei Paare von Winkeln von zwei Dreiecken im Maß gleich sind, und die eingeschlossenen Seiten in der Länge gleich sind, dann sind die Dreiecke kongruent. Das ASA-Postulat wurde von Thales von Miletus (Griechisch) beigetragen. In den meisten Systemen von Axiomen werden die drei Kriterien-SAS, SSS und ASA - als Lehrsätze gegründet. Im Schulmathematik-Arbeitsgruppe-System wird SAS als ein (#15) 22 Postulate genommen.
• Automatisches Buchungssystem (Winkelwinkelseite): Wenn zwei Paare von Winkeln von zwei Dreiecken im Maß gleich sind, und ein Paar von entsprechenden nichteingeschlossenen Seiten in der Länge gleich ist, dann sind die Dreiecke kongruent. (Im britischen Gebrauch, 'ASA und automatisches Buchungssystem gewöhnlich in eine einzelne Bedingung AAcorrS - irgendwelche zwei Winkel und eine entsprechende Seite verbunden werden.)
• RHS (Recht biegen Hypotenuse-Seite um): Wenn zwei rechtwinklige Dreiecke ihre Hypotenusen haben, die in der Länge gleich sind, und ein Paar von kürzeren Seiten in der Länge gleich ist, dann sind die Dreiecke kongruent.

Seitenseitenwinkel

Die SSA Bedingung (Seitenseitenwinkel), der zwei Seiten und einen nichteingeschlossenen Winkel angibt (auch bekannt als ESEL oder Winkelseitenseite) beweist Kongruenz nicht allein. Um Kongruenz zu zeigen, ist Zusatzinformation wie das Maß der entsprechenden Winkel und in einigen Fällen der Längen der zwei Paare von entsprechenden Seiten erforderlich. Es gibt einige mögliche Fälle:

Wenn zwei Dreiecke die SSA Bedingung befriedigen und die Länge der Seite gegenüber dem Winkel größer oder gleich der Länge der angrenzenden Seite ist, dann sind die zwei Dreiecke kongruent. Die Gegenseite ist manchmal länger, wenn die entsprechenden Winkel akut sind, aber es ist immer länger, wenn die entsprechenden Winkel richtig oder stumpf sind. Wo der Winkel ein richtiger Winkel, auch bekannt als das Postulat von Hypotenuse-Leg (HL) oder die Richtige Winkelhypotenuse-Seite (RHS) Bedingung ist, kann die dritte Seite mit dem Lehrsatz von Pythagoras berechnet werden, der so das SSS-Postulat erlaubt, angewandt zu werden.

Wenn zwei Dreiecke die SSA Bedingung befriedigen und die entsprechenden Winkel akut sind und die Länge der Seite gegenüber dem Winkel der Länge der angrenzenden mit dem Sinus des Winkels multiplizierten Seite gleich ist, dann sind die zwei Dreiecke kongruent.

Wenn zwei Dreiecke die SSA Bedingung befriedigen und die entsprechenden Winkel akut sind und die Länge der Seite gegenüber dem Winkel größer ist als die Länge der angrenzenden mit dem Sinus des Winkels multiplizierten Seite (aber weniger als die Länge der angrenzenden Seite), dann, wie man zeigen kann, sind die zwei Dreiecke nicht kongruent. Das ist der zweideutige Fall, und zwei verschiedene Dreiecke können von der gegebenen Information gebildet werden, aber weitere Information, die sie unterscheidet, kann zu einem Beweis der Kongruenz führen.

Winkelwinkelwinkel

In der Euklidischen Geometrie gibt AAA (Winkelwinkelwinkel) (oder gerade AA seitdem in der Euklidischen Geometrie belaufen sich die Winkel eines Dreiecks auf 180 °), Auskunft bezüglich der Größe der zwei Dreiecke nicht und beweist folglich nur Ähnlichkeit und nicht Kongruenz im Euklidischen Raum.

Jedoch in der sphärischen Geometrie und Hyperbelgeometrie (wo sich die Summe der Winkel eines Dreiecks mit der Größe ändert) ist AAA für die Kongruenz auf einer gegebenen Krümmung der Oberfläche genügend.

Siehe auch

• Euklidische Flugzeug-Isometrie
• CPCTC

Links

• Der SSS an der Knoten-Kürzung
• Der SSA an der Knoten-Kürzung
• Interaktive Zeichentrickfilme, die Kongruente Winkel, Kongruente Liniensegmente, Kongruente Dreiecke, Kongruente Vielecke demonstrieren