In der abstrakten Algebra, ein Magma (oder groupoid; mit groupoids in der Kategorie-Theorie nicht verwirrt zu sein) ist eine grundlegende Art der algebraischen Struktur. Spezifisch besteht ein Magma aus einem mit einer einzelnen binären Operation ausgestatteten Satz.

Eine binäre Operation wird definitionsgemäß geschlossen, aber keine anderen Axiome werden der Operation auferlegt.

Der Begriff Magma für diese Art der Struktur wurde von Nicolas Bourbaki eingeführt. Der Begriff groupoid ist ein älterer, aber hat noch allgemein Alternative verwendet, die durch Erz von Øystein eingeführt wurde.

Definition

Ein Magma ist ein mit einer Operation verglichener Satz, "" der irgendwelche zwei Elemente an ein anderes Element sendet. Das Symbol "" ist ein allgemeiner Platzhalter für eine richtig definierte Operation. Um sich als ein Magma zu qualifizieren, müssen der Satz und die Operation die folgende Voraussetzung (bekannt als das Magma-Axiom) befriedigen:

: Für alle, in, ist das Ergebnis der Operation auch darin.

Und in der mathematischen Notation:

:

Etymologie

In Französisch hat das Wort "Magma" vielfache allgemeine Bedeutungen, einen von ihnen, "Durcheinander" seiend. Es ist wahrscheinlich, dass sich die französische Bourbaki Gruppe auf Sätze mit bestimmten binären Operationen als Magmen mit der "Durcheinander"-Definition im Sinn bezogen hat.

Typen von Magmen

Magmen werden als solcher nicht häufig studiert; stattdessen gibt es mehrere verschiedene Arten von Magmen, abhängig davon, welche Axiome man der Operation verlangen könnte.

Allgemein studierte Typen von Magmen schließen ein

• quasigruppennichtleere Magmen, wo Abteilung immer möglich ist;
• Schleife-Quasigruppen mit Identitätselementen;
• Halbgruppenmagmen, wo die Operation assoziativ ist;
• Monoids-Halbgruppen mit Identitätselementen;
• Gruppen-Monoids mit umgekehrten Elementen, oder gleichwertig, assoziative Schleifen oder assoziative Quasigruppen;
• Abelian-Gruppengruppen, wo die Operation auswechselbar ist.

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:: Bemerken Sie, dass sowohl Teilbarkeit als auch invertibility einbeziehen

:: die Existenz des Annullierungseigentums.

Morphism von Magmen

Ein morphism von Magmen ist ein Funktionsmagma des kartografisch darstellenden zum Magma, das die binäre Operation bewahrt:

:

wo und die binäre Operation auf und beziehungsweise anzeigen.

Combinatorics und Parenthesen

Für den allgemeinen, nichtassoziativen Fall kann die Magma-Operation wiederholt wiederholt werden. Um Paarung anzuzeigen, werden Parenthesen verwendet. Die resultierende Schnur besteht aus Symbolen, die Elemente des Magmas und erwogene Sätze der Parenthese anzeigen. Der Satz aller möglichen Schnuren der erwogenen Parenthese wird die Sprache von Dyck genannt. Die Gesamtzahl von verschiedenen Weisen, Anwendungen des Magma-Maschinenbedieners zu schreiben, wird durch die katalanische Zahl gegeben. So, zum Beispiel, der gerade die Behauptung ist, dass und die nur zwei Weisen sind, drei Elemente eines Magmas mit zwei Operationen paarweise anzuordnen.

Eine Schnellschrift wird häufig verwendet, um die Anzahl von Parenthesen zu vermindern. Das wird durch das Verwenden der Nebeneinanderstellung im Platz der Operation vollbracht. Zum Beispiel, wenn die Magma-Operation ist, dann abkürzt. Weitere Abkürzungen sind durch das Einfügen von Räumen, zum Beispiel durch das Schreiben im Platz dessen möglich. Natürlich für kompliziertere Ausdrücke erweist sich der Gebrauch der Parenthese, unvermeidlich zu sein. Eine Weise, völlig den Gebrauch von Parenthesen zu vermeiden, ist Präfix-Notation.

Freies Magma

Ein freies Magma auf einem Satz ist das "allgemeinstmögliche" Magma, das durch den Satz erzeugt ist (der ist, gibt es keine Beziehungen oder den Generatoren auferlegte Axiome; sieh freien Gegenstand). Es kann in Begriffen beschrieben werden, die in der Informatik als das Magma von binären Bäumen mit Blättern vertraut sind, die durch Elemente dessen etikettiert sind. Die Operation ist die von Verbindungsbäumen an der Wurzel. Es hat deshalb eine foundational Rolle in der Syntax.

Ein freies Magma hat das universale solches Eigentum, dass, wenn eine Funktion vom Satz bis ein Magma ist, dann gibt es eine einzigartige Erweiterung zu einem morphism von Magmen

:

Siehe auch: Freie Halbgruppe, freie Gruppe, hat Saal gesetzt

Klassifikation durch Eigenschaften

Ein Magma (S, *) wird genannt

• unital, wenn es ein Identitätselement, hat
• mittler, wenn es die Identität xy * uz = xu * yz befriedigt (d. h. (x * y) * (u * z) = (x * u) * (y * z) für den ganzen x, y, u, z in S),
• verlassen halbmittler, wenn es die Identität xx * yz = xy * xz, befriedigt
• halbmittleres Recht, wenn es die Identität yz * xx = yx * zx, befriedigt
• halbmittler, wenn es sowohl verlassen wird und Recht halbmittler,
• verlassen verteilend, wenn es die Identität x * yz = xy * xz, befriedigt
• verteilendes Recht, wenn es die Identität yz * x = yx * zx, befriedigt
• autoverteilend, wenn es sowohl verlassen wird und Recht verteilend,
• auswechselbar, wenn es die Identität xy = yx, befriedigt
• idempotent, wenn es die Identität xx = x, befriedigt
• unipotent, wenn es die Identität xx = yy, befriedigt
• zeropotent, wenn es die Identität xx * y = yy * x = xx, befriedigt
• Alternative, wenn es die Identität xx * y = x * xy und x * yy = xy * y, befriedigt
• mit der Macht assoziativ, wenn das durch ein Element erzeugte Submagma, assoziativ

ist

• nach-links-cancellative, wenn für den ganzen x, y, und z, xy = xz y = z einbezieht
• Recht-cancellative, wenn für den ganzen x, y, und z, yx = zx y = z einbezieht
• cancellative, wenn es sowohl Recht-cancellative als auch nach-links-cancellative ist
• eine Halbgruppe, wenn es die Identität x * yz = xy * z (associativity), befriedigt
• eine Halbgruppe mit linken Nullen, wenn es Elemente x gibt, für den die Identität x = xy, hält
• eine Halbgruppe mit richtigen Nullen, wenn es Elemente x gibt, für den die Identität x = yx, hält
• eine Halbgruppe mit der Nullmultiplikation oder eine ungültige Halbgruppe, wenn es die Identität xy = uv, für den ganzen x, y, u und v befriedigt
• ein linker unar, wenn es die Identität xy = xz, befriedigt
• ein Recht unar, wenn es die Identität yx = zx, befriedigt
• trimedial, wenn irgendwelcher von seinem (nicht notwendigerweise verschieden) Elemente verdreifacht, erzeugt ein mittleres Submagma,
• entropic, wenn es ein homomorphic Image eines mittleren Annullierungsmagmas ist.

Wenn stattdessen eine teilweise Operation ist, dann wird S ein teilweises Magma genannt.

Generalisationen

Sieh n-stufige Gruppe.

Siehe auch

• Magma-Kategorie
• Auto-Magma wendet ein
• Universale Algebra
• Magma-Computeralgebra-System, genannt nach dem Gegenstand dieses Artikels.
• Ein Beispiel eines nichtassoziativen Ersatzmagmas
• Algebraische Strukturen, deren Axiome die ganze Identität sind