In der algebraischen Geometrie ist eine algebraische Kurve eine algebraische Vielfalt der Dimension ein. Die Theorie dieser Kurven wurde im Allgemeinen im neunzehnten Jahrhundert ganz völlig entwickelt, nachdem viele besondere Beispiele betrachtet worden waren, mit Kreisen und anderen konischen Abteilungen anfangend.

Flugzeug algebraische Kurven

Eine algebraische über Feld F definierte Kurve kann als der geometrische Ort von Punkten in F betrachtet werden, der durch mindestens n  1 unabhängige polynomische Funktionen in n Variablen mit Koeffizienten in F, g bestimmt ist (x, …, x), wo die Kurve durch das Setzen jedes g = 0 definiert wird.

Mit dem Endergebnis können wir alle außer zwei der Variablen beseitigen und reduzieren

die Kurve zu einer birationally gleichwertigen Flugzeug-Kurve, f (x, y) = 0, noch mit Koeffizienten in F. Der Grad dieser Flugzeug-Kurve (der Grad von f) ist gewöhnlich das Produkt der Grade der Polynome g und auch des Grads der anfänglichen Kurve. Die Flugzeug-Kurve besitzt häufig zusätzliche Eigenartigkeiten. Zum Beispiel, z zwischen den zwei Gleichungen x + y  z = 0 und x + 2y + 3z  1 = 0 beseitigend, der eine Kreuzung eines Kegels und eines Flugzeugs in drei Dimensionen definiert, erhalten wir den konischen Abschnitt 8x + 5y  4xy + 2x + 4y  1 = 0, der in diesem Fall eine Ellipse ist. Wenn wir z zwischen 4x + y  z = 1 und z = x beseitigen, erhalten wir y = x  4x + 1, der die Gleichung einer hyperelliptischen Kurve ist.

Projektive Kurven

Es ist häufig wünschenswert zu denken, dass Kurven ein geometrischer Ort von Punkten im projektiven Raum sind. Im Satz von Gleichungen g = 0 können wir jeden x durch x/x ersetzen, und durch x multiplizieren, wo n der Grad von g ist. Auf diese Weise erhalten wir homogene polynomische Funktionen, die die entsprechende Kurve im projektiven Raum P definieren. Für ein Flugzeug algebraische Kurve haben wir eine einzelne Gleichung f (x, y, z) = 0, wo f homogen ist; zum Beispiel biegen sich Fermat x + y - z = 0 ist eine projektive Kurve.

Algebraische Funktionsfelder

Die Studie von algebraischen Kurven kann auf die Studie von nicht zu vereinfachenden algebraischen Kurven reduziert werden. Bis zur birational Gleichwertigkeit sind diese zu algebraischen Funktionsfeldern kategorisch gleichwertig. Ein algebraisches Funktionsfeld ist ein Feld von algebraischen Funktionen in einer Variable K definiert über ein gegebenes Feld F. Das bedeutet dort besteht ein Element x K, der über F transzendental und solch ist, dass K eine begrenzte algebraische Erweiterung von F (x) ist, der das Feld von vernünftigen Funktionen im unbestimmten x über F ist.

Denken Sie zum Beispiel Feld C von komplexen Zahlen, über die wir Feld C (x) von vernünftigen Funktionen in C definieren können. Wenn

y = x  x  1 dann ist Feld C (x, y) ein elliptisches Funktionsfeld. Das Element x wird nicht einzigartig bestimmt; das Feld kann auch, zum Beispiel, als eine Erweiterung von C (y) betrachtet werden.

Die algebraische Kurve entsprechend dem Funktionsfeld ist einfach der Satz von

Punkte (x, y) in C, der y = x  x  1 befriedigt.

Wenn Feld F nicht algebraisch geschlossen wird, ist der Gesichtspunkt von Funktionsfeldern ein wenig allgemeiner als dieses des Betrachtens des geometrischen Orts von Punkten, da wir, zum Beispiel, "Kurven" ohne Punkte auf ihnen einschließen. Wenn das Grundfeld F Feld R von reellen Zahlen ist, dann definiert x + y = 1 ein algebraisches Erweiterungsfeld von R (x), aber die entsprechende als ein geometrischer Ort betrachtete Kurve hat keine Punkte in R. Jedoch hat es wirklich Punkte, die über den algebraischen Verschluss C R definiert sind.

Komplex biegt sich und echte Oberflächen

Eine komplizierte projektive algebraische Kurve wohnt im n-dimensional komplizierten projektiven Raum-BEDIENUNGSFELD. Das hat komplizierte Dimension n, aber topologische Dimension, als eine echte Sammelleitung, 2n, und ist kompakt, und orientable verbunden. Eine algebraische Kurve hat ebenfalls topologische Dimension zwei; mit anderen Worten ist es eine Oberfläche. Eine nichtsinguläre komplizierte projektive algebraische Kurve wird dann eine glatte Orientable-Oberfläche als eine echte Sammelleitung sein, die in einer echten Kompaktsammelleitung der Dimension 2n eingebettet ist, der als eine echte Sammelleitung betrachtetes BEDIENUNGSFELD ist. Die topologische Klasse dieser Oberfläche, die die Zahl von Griffen oder Berliner-Löchern ist, ist die Klasse der Kurve. Durch das Betrachten der komplizierten analytischen Struktur hat auf dieser Kompaktoberfläche veranlasst wir werden nach der Theorie von Kompaktoberflächen von Riemann geführt.

Kompaktoberflächen von Riemann

Eine Oberfläche von Riemann ist eine verbundene komplizierte analytische Sammelleitung einer komplizierter Dimension, die sie eine verbundene echte Sammelleitung von zwei Dimensionen macht. Es ist kompakt, wenn es als ein topologischer Raum kompakt ist.

Es gibt eine dreifache Gleichwertigkeit von Kategorien zwischen der Kategorie von glatten projektiven algebraischen Kurven über die komplexen Zahlen, der Kategorie von Kompaktoberflächen von Riemann und der Kategorie von komplizierten algebraischen Funktionsfeldern, so dass im Studieren dieser Themen wir gewissermaßen dasselbe Ding studieren. Das erlaubt komplizierten analytischen Methoden, in der algebraischen Geometrie, und den algebraisch-geometrischen Methoden in der komplizierten Analyse und den feldtheoretischen Methoden verwendet zu werden, in beiden verwendet zu werden, der für eine viel breitere Klasse von Problemen charakteristisch ist als einfach Kurven und Oberflächen von Riemann.

Eigenartigkeiten

Mit dem inneren Konzept des Tangente-Raums werden Punkt-P auf einer algebraischen Kurve C als glatt oder nichtsingulär, oder einzigartig klassifiziert. Gegebenes n1 homogenes Polynom fungiert in

N+1-Variablen, wir können die Matrix von Jacobian als (n1) × (n+1) Matrix finden

partieller Ableitungen. Wenn die Reihe dieser Matrix an einem Punkt P auf der Kurve den maximalen Wert von n1 hat, dann ist der Punkt ein glatter Punkt. Insbesondere wenn die Kurve ein Flugzeug projektive algebraische Kurve ist, die durch eine einzelne homogene polynomische Gleichung f (x, y, z) = 0 definiert ist, dann sind die einzigartigen Punkte genau die Punkte P, wo die Reihe 1× (n+1) Matrix Null, d. h. wo ist

:

Da f ein Polynom ist, ist diese Definition rein algebraisch und macht keine Annahme über die Natur Feldes F, das im besonderen die reellen Zahlen oder komplexen Zahlen nicht zu sein braucht. Es sollte natürlich zurückgerufen werden, dass (0,0,0) nicht ein Punkt der Kurve und folglich nicht ein einzigartiger Punkt ist.

Die Eigenartigkeiten einer Kurve sind nicht birational invariants. Jedoch sind das Auffinden und das Klassifizieren der Eigenartigkeiten einer Kurve eine Weise, die Klasse zu schätzen, die ein birational invariant ist. Dafür, um zu arbeiten, sollten wir die Kurve projektiv denken und verlangen, dass F algebraisch geschlossen wird, so dass alle Eigenartigkeiten, die der Kurve gehören, betrachtet werden.

Klassifikation von Eigenartigkeiten

Einzigartige Punkte schließen vielfache Punkte ein, wo die Kurve sich und auch verschiedene Typen der Spitze, zum Beispiel das hinübergeht, das durch die Kurve mit der Gleichung x = y an (0,0) gezeigt ist.

Eine Kurve C hat höchstens eine begrenzte Zahl von einzigartigen Punkten. Wenn es niemanden hat, kann es glatt oder nichtsingulär genannt werden. Für diese Definition, um richtig zu sein, müssen wir ein algebraisch geschlossenes Feld und eine Kurve C im projektiven Raum (d. h., abgeschlossen im Sinne der algebraischen Geometrie) verwenden. Wenn, zum Beispiel, wir einfach auf eine Kurve im echten affine Flugzeug schauen, könnte es einzigartigen P modulo der Stiel, oder wechselweise als die Summe der M (m1)/2 geben, wo M die Vielfältigkeit, über ganzen ungeheuer in der Nähe von einzigartigen Punkten Q ist, über den einzigartigen Punkt P liegend. Intuitiv konzentriert ein einzigartiger Punkt mit dem Delta invariant δ δ gewöhnliche doppelte Punkte an P. Für eine nicht zu vereinfachende und reduzierte Kurve und einen Punkt P können wir δ algebraisch als die Länge dessen definieren, wo der lokale Ring an P ist und sein integrierter Verschluss ist. Siehe auch Hartshorne, Algebraische Geometrie, IV Ab. 1.8.

Die Milnor Zahl μ der Eigenartigkeit ist der Grad des kartografisch darstellenden Studenten im Aufbaustudium f (x, y) / |grad f (x, y) | auf dem kleinen Bereich des Radius ε im Sinne des topologischen Grads, dauernd kartografisch darzustellen, wo Student im Aufbaustudium f das (komplizierte) Anstieg-Vektorfeld von f ist. Es ist mit δ und r durch die Formel von Milnor-Jung, verbunden

:

Eine andere Eigenartigkeit invariant des Zeichens ist die Vielfältigkeit M, definiert als die maximale solche ganze Zahl, dass die Ableitungen von f zu allen Ordnungen bis zur M verschwinden.

Die Computerwissenschaft des Deltas invariants aller Eigenartigkeiten erlaubt der Klasse g von der Kurve, bestimmt zu werden; wenn d der Grad, dann ist

:

wo die Summe alle einzigartigen Punkte P von der komplizierten projektiven Flugzeug-Kurve übernommen wird.

Eigenartigkeiten können durch das dreifache [M, δ, r] klassifiziert werden, wo M die Vielfältigkeit ist, ist δ das Delta-invariant, und r ist die sich verzweigende Zahl. In diesen Begriffen ist eine gewöhnliche Spitze ein Punkt mit invariants [2,1,1], und ein gewöhnlicher doppelter Punkt ist ein Punkt mit invariants [2,1,2]. Ein gewöhnlicher N-Multiple-Punkt kann als ein habender invariants [n, n (n1)/2, n] definiert werden.

Beispiele von Kurven

Vernünftige Kurven

Eine vernünftige Kurve, auch genannt eine Unicursal-Kurve, ist jede Kurve, die birationally Entsprechung zu einer Linie ist, die wir nehmen können, um eine projektive Linie zu sein und uns mit dem Feld von vernünftigen Funktionen in einem unbestimmtem F (x) zu identifizieren. Wenn F algebraisch geschlossen wird, ist das zu einer Kurve der Klasse-Null gleichwertig; jedoch der

Feld R (x, y) mit x+y = 1 ist ein Feld der Klasse-Null, die nicht ein vernünftiges Funktionsfeld ist.

Konkret kann eine vernünftige Kurve der Dimension n über F (abgesehen von isolierten außergewöhnlichen Punkten) mittels n vernünftiger Funktionen parametrisiert werden, die in Bezug auf einen einzelnen Parameter t definiert sind; indem wir Nenner klären, können wir das in verwandeln

N+1-Polynom fungiert im projektiven Raum. Ein Beispiel würde der sein

vernünftige normale Kurve.

Jede konische Abteilung, die über F mit einem vernünftigen Punkt in F definiert ist, ist eine vernünftige Kurve. Es kann durch die Zeichnung einer Linie mit dem Hang t durch den vernünftigen Punkt und die Kreuzung mit dem Flugzeug quadratische Kurve parametrisiert werden; das gibt ein Polynom mit F-rational Koeffizienten und einer F-Rational-Wurzel, folglich ist die andere Wurzel F-rational (d. h., gehört F) auch.

Denken Sie zum Beispiel die Ellipse x + xy + y = 1, wo (1, 0) ein vernünftiger Punkt ist. Eine Linie mit dem Hang t von (1,0), y = t (x+1) ziehend, es in der Gleichung der Ellipse, des Factorings einsetzend, und für x lösend, erhalten wir

:

Wir haben dann das die Gleichung für y ist

:

der einen vernünftigen parameterization der Ellipse definiert und folglich zeigt, dass die Ellipse eine vernünftige Kurve ist. Alle Punkte der Ellipse werden abgesehen von gegeben

(1,1), der t =  entspricht; die komplette Kurve wird deshalb durch die echte projektive Linie parametrisiert.

Solch ein vernünftiger parameterization kann im projektiven Raum durch die Gleichstellung der ersten projektiven Koordinaten zu den Zählern des parameterization und des letzten zum gemeinsamen Nenner betrachtet werden. Da der Parameter in einer projektiven Linie definiert wird, sollten die Polynome im Parameter homogenisiert werden. Zum Beispiel ist der projektive parameterization der obengenannten Ellipse

:Wenn wir

T und U zwischen diesen Gleichungen beseitigen, bekommen wir wieder die projektive Gleichung der Ellipse

:

der direkt durch das Homogenisieren über der Gleichung leicht erhalten werden kann.

Viele der Kurven auf der Liste der Wikipedia von Kurven sind vernünftig, und haben folglich ähnlichen vernünftigen parameterizations.

Elliptische Kurven

Eine elliptische Kurve kann als jede Kurve der Klasse ein mit einem vernünftigen Punkt definiert werden: Ein allgemeines Modell ist eine nichtsinguläre Kubikkurve, die genügt, um jede Klasse eine Kurve zu modellieren. In diesem Modell wird der ausgezeichnete Punkt allgemein genommen, um ein Beugungspunkt an der Unendlichkeit zu sein; das beläuft sich auf das Verlangen, dass die Kurve in der Form der Tate-Weierstrass geschrieben werden kann, die in seiner projektiven Version ist

:

Elliptische Kurven tragen die Struktur einer abelian Gruppe mit dem ausgezeichneten Punkt als die Identität des Gruppengesetzes. In einem Flugzeug Kubikmodell resümieren drei Punkte zur Null in der Gruppe, wenn, und nur wenn sie collinear sind. Für eine elliptische über die komplexen Zahlen definierte Kurve ist die Gruppe zur zusätzlichen Gruppe des komplizierten Flugzeugs modulo das Periode-Gitter der entsprechenden elliptischen Funktionen isomorph.

Kurven der Klasse, die größer ist als eine

Kurven der Klasse, die größer ist als, unterscheidet man sich deutlich sowohl von vernünftigen als auch von elliptischen Kurven. Solche Kurven, die über die rationalen Zahlen durch den Lehrsatz von Faltings definiert sind, können nur eine begrenzte Zahl von vernünftigen Punkten haben, und sie können angesehen werden als, eine Hyperbelgeometrie-Struktur zu haben. Beispiele sind die hyperelliptischen Kurven, der Klein quartic Kurve, und Fermat biegen x+y = z, wenn n größer ist als drei.

Siehe auch

Klassische algebraische Geometrie

• Acnode
• Der Lehrsatz von Bézout
• Crunode
• Kurve
• Kurve, die eine Skizze macht
• Vielfalt von Jacobian
• Klein quartic
• Liste von Kurven
• Das sechzehnte Problem von Hilbert
• Kubikflugzeug-Kurve
• Hyperelliptische Kurve

Moderne algebraische Geometrie

• Geometrie von Birational
• Konische Abteilung
• Elliptische Kurve
• Bruchideal
• Funktionsfeld einer algebraischen Vielfalt
• Funktionsfeld (Schema-Theorie)
• Klasse (Mathematik)
• Lehrsatz von Riemann-Roch für algebraische Kurven
• Flugzeug von Quartic biegt
• Vernünftige normale Kurve
• Der Lehrsatz von Weber

Geometrie von Oberflächen von Riemann

• Formel von Riemann-Hurwitz
• Der Lehrsatz von Riemann-Roch für Riemann erscheint
• Oberfläche von Riemann
• Egbert Brieskorn und Horst Knörrer, Flugzeug Algebraische Kurven, John Stillwell, trans. Birkhäuser, 1986
• Claude Chevalley, Einführung in die Theorie von Algebraischen Funktionen Einer Variable, amerikanischer Mathematischer Gesellschaft, Mathematische Überblicke Nummer VI, 1951
• Hershel M. Farkas und Irwin Kra, Riemann Surfaces, Springer, 1980
• Phillip A. Griffiths, Einführung in Algebraische Kurven, Kuniko Weltin, trans. amerikanische Mathematische Gesellschaft, Übersetzung der Mathematischen Monografie-Revision des Bands 70, 1985
• Robin Hartshorne, Algebraische Geometrie, Springer, 1977
• Shigeru Iitaka, Algebraische Geometrie: Eine Einführung in die Birational Geometrie von Algebraischen Varianten, Springer, 1982
• John Milnor, Einzigartige Punkte von Komplizierten Hyperoberflächen, Universität von Princeton Presse, 1968
• George Salmon, Höhere Flugzeug-Kurven, die Dritte Ausgabe, G. E. Stechert & Co., 1934
• Jean-Pierre Serre, Algebraic Groups und Klassenfelder, Springer, 1988