In der Geometrie wird ein Gegenstand wie eine Linie oder Vektor einen normalen zu einem anderen Gegenstand genannt, wenn sie auf einander rechtwinklig sind. Zum Beispiel, im zweidimensionalen Fall, ist die normale Linie zu einer Kurve an einem gegebenen Punkt die Liniensenkrechte zur Tangente-Linie zur Kurve am Punkt.

Eine Oberfläche normal, oder einfach normal, zu einer Oberfläche an einem Punkt P ist ein Vektor, der auf der Tangentialebene zu dieser Oberfläche an P rechtwinklig ist. Das "normale" Wort wird auch als ein Adjektiv verwendet: Eine Linie, die zu einem Flugzeug, dem normalen Bestandteil einer Kraft, dem normalen Vektoren usw. normal ist. Das Konzept der Normalität verallgemeinert zu orthogonality.

Das Konzept ist zu Differenzialsammelleitungen der willkürlichen in einem Euklidischen Raum eingebetteten Dimension verallgemeinert worden. Der normale Vektorraum oder normale Raum einer Sammelleitung an einem Punkt P sind der Satz der Vektoren, die zum Tangente-Raum an P orthogonal sind. Im Fall von Differenzialkurven ist der Krümmungsvektor ein normaler Vektor vom speziellen Interesse.

Das normale wird häufig in der Computergrafik verwendet, um eine Orientierung einer Oberfläche zu einer leichten Quelle für die flache Schattierung oder die Orientierung von jeder der Ecken (Scheitelpunkte) zu bestimmen, um eine gekrümmte Oberfläche mit der Schattierung von Phong nachzuahmen.

Normal zu Oberflächen im 3D-Raum

Das Rechnen einer normalen Oberfläche

Für ein konvexes Vieleck (wie ein Dreieck) kann eine normale Oberfläche als das Vektor-Kreuzprodukt von zwei (nichtparallelen) Rändern des Vielecks berechnet werden.

Für ein durch die Gleichung gegebenes Flugzeug ist der Vektor ein normaler.

Für ein Flugzeug, das durch die Gleichung gegeben ist

:

d. h. eines Punkts auf dem Flugzeug und b und c zu sein, ist (passen) Vektoren (nichtan), die auf dem Flugzeug liegen, das normale zum Flugzeug ist ein Vektor, der sowohl zu b als auch zu c normal ist, der als das Kreuzprodukt gefunden werden kann.

Für ein Hyperflugzeug in n+1 Dimensionen, die durch die Gleichung gegeben sind

:

wo eines Punkts auf dem Hyperflugzeug und weil zu sein, ich = 1..., n nichtparallele Vektoren bin, die auf dem Hyperflugzeug liegen, ist ein normaler zum Hyperflugzeug jeder Vektor im ungültigen Raum, wo A durch gegeben wird

:.

D. h. jeder Vektor, der zu allen instufigem Vektoren orthogonal ist, ist definitionsgemäß eine normale Oberfläche.

Wenn (vielleicht Nichtwohnung) Oberfläche S durch ein System von krummlinigen Koordinaten x (s, t), mit s und t echten Variablen parametrisiert wird, dann wird ein normaler durch das Kreuzprodukt der partiellen Ableitungen gegeben

:

Wenn eine Oberfläche S implizit als der Satz der Punkt-Zufriedenheit gegeben wird, dann wird ein normaler an einem Punkt auf der Oberfläche durch den Anstieg gegeben

:

da der Anstieg an jedem Punkt auf dem Niveau-Satz rechtwinklig ist, und (die Oberfläche) ein Niveau-Satz dessen ist.

Für eine Oberfläche S gegeben ausführlich als eine Funktion der unabhängigen Variablen (z.B,), kann sein normales auf mindestens zwei gleichwertige Weisen gefunden werden.

Der erste erhält seine implizite Form, von der das normale sogleich als der Anstieg folgt

:.

(Bemerken Sie, dass die implizite Form wechselweise als definiert werden konnte

:;

diese zwei Formen entsprechen der Interpretation der Oberfläche, die aufwärts oder abwärts beziehungsweise demzufolge des Unterschieds im Zeichen der partiellen Ableitung wird orientiert.)

Die zweite Weise, das normale zu erhalten, folgt direkt vom Anstieg der ausführlichen Form,

:;

durch die Inspektion,

:, wo der nach oben gerichtete Einheitsvektor ist.

Wenn eine Oberfläche keine Tangentialebene an einem Punkt hat, hat sie keinen normalen an diesem Punkt auch. Zum Beispiel hat ein Kegel keinen normalen an seinem Tipp, noch er hat einen normalen entlang dem Rand seiner Basis. Jedoch wird das normale zum Kegel fast überall definiert. Im Allgemeinen ist es möglich, einen normalen fast überall für eine Oberfläche zu definieren, die dauernder Lipschitz ist.

Einzigartigkeit des normalen

Ein normaler zu einer Oberfläche hat keine einzigartige Richtung; der Vektor, der in der entgegengesetzten Richtung einer normalen Oberfläche hinweist, ist auch eine normale Oberfläche. Für eine Oberfläche, die die topologische Grenze eines Satzes in drei Dimensionen ist, kann man zwischen dem innerlichen Hinweisen normal und Außen-hinweisend normal unterscheiden, der helfen kann, das normale auf eine einzigartige Weise zu definieren. Für eine orientierte Oberfläche wird die normale Oberfläche gewöhnlich durch die rechte Regel bestimmt. Wenn das normale als das Kreuzprodukt von Tangente-Vektoren gebaut wird (wie beschrieben, im Text oben), ist es ein Pseudovektor.

Das Umwandeln normals

Wenn

man ein Umgestalten in eine Oberfläche anwendet, ist es manchmal günstig, normals für den abzuleiten

resultierende Oberfläche vom ursprünglichen normals. Alle Punkte P auf der Tangentialebene werden umgestaltet

zu P′. wir wollen n&prime finden; Senkrechte zu P. Lassen Sie t ein Vektor auf der Tangentialebene sein, und M, das obere 3x3 Matrix sein (gilt der Übersetzungsteil der Transformation für den normalen oder die Tangente-Vektoren nicht).

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So verwenden Sie das Gegenteil stellen von der geradlinigen Transformation (das obere 3x3 Matrix) um, wenn man Oberfläche normals umgestaltet.

Hyperoberflächen im n-dimensional Raum

Die Definition eines normalen zu einer Oberfläche im dreidimensionalen Raum kann zu - dimensionale Hyperoberflächen in - dimensionaler Raum erweitert werden. Eine Hyperoberfläche kann implizit als der Satz von Punkten lokal definiert werden, die eine Gleichung befriedigen, wo eine gegebene Skalarfunktion ist. Wenn unaufhörlich differentiable dann ist, ist die Hyperoberfläche eine Differentiable-Sammelleitung in der Nachbarschaft der Punkte, wo der Anstieg nicht ungültig ist. An diesen Punkten hat der normale Vektorraum Dimension ein und wird durch den Anstieg erzeugt

:

Die normale Linie an einem Punkt der Hyperoberfläche wird nur definiert, wenn der Anstieg nicht ungültig ist. Es ist die Linie, die den Punkt durchführt und den Anstieg als Richtung hat.

Varianten durch implizite Gleichungen im n-dimensional Raum definiert

Eine Differenzialvielfalt, die durch implizite Gleichungen im n-dimensional Raum definiert ist, ist der Satz der allgemeinen Nullen eines begrenzten Satzes von Differenzialfunktionen in n Variablen

:

Die Jacobian Matrix der Vielfalt ist die k×n Matrix, deren i-th Reihe der Anstieg von f ist. Durch den impliziten Funktionslehrsatz ist die Vielfalt eine Sammelleitung in der Nachbarschaft eines Punkts davon, wo die Matrix von Jacobian Reihe k hat. An solch einem Punkt P ist der normale Vektorraum der Vektorraum, der durch die Werte an P der Anstieg-Vektoren des f erzeugt ist.

Mit anderen Worten wird eine Vielfalt als die Kreuzung von K-Hyperoberflächen definiert, und der normale Vektorraum an einem Punkt ist der Vektorraum, der durch die normalen Vektoren der Hyperoberflächen am Punkt erzeugt ist.

Der normale (affine) Raum an einem Punkt P der Vielfalt ist der affine Subraum, der P und erzeugt durch den normalen Vektorraum an P durchgeht.

Diese Definitionen können wortwörtlich zu den Punkten erweitert werden, wo die Vielfalt nicht eine Sammelleitung ist.

Beispiel

Lassen Sie V die Vielfalt sein, die im 3-dimensionalen Raum durch die Gleichungen definiert ist

:

Diese Vielfalt ist die Vereinigung der X-Achse und der Y-Achse.

An einem Punkt (a, 0, 0), wo a0, die Reihen der Matrix von Jacobian (0, 0, 1) und (0, a, 0) sind. So ist der normale affine Raum das Flugzeug der Gleichung x=a. Ähnlich, wenn b0, das normale Flugzeug an (0, b, 0) das Flugzeug der Gleichung y=b sind.

Am Punkt (0, 0, 0) sind die Reihen der Matrix von Jacobian (0, 0, 1) und (0,0,0). So haben der normale Vektorraum und der normale affine Raum Dimension 1, und der normale affine Raum ist die Z-Achse.

Gebrauch

• Oberfläche normals ist im Definieren von Oberflächenintegralen von Vektorfeldern notwendig.
• Oberfläche normals wird in der 3D-Computergrafik allgemein verwendet, um Berechnungen anzuzünden; sieh das Kosinus-Gesetz von Lambert.
• Oberfläche normals wird häufig in der 3D-Computergrafik dadurch angepasst, normal kartografisch darzustellen.
• Machen Sie Schichten, die normale Oberflächeninformation enthalten, kann in Digitalem compositing verwendet werden, um die offenbare Beleuchtung von gemachten Elementen zu ändern.

Normal in der geometrischen Optik

Das normale ist die Liniensenkrechte zur Oberfläche eines optischen Mediums. Im Nachdenken des Lichtes sind der Einfallswinkel und der Winkel des Nachdenkens beziehungsweise der Winkel zwischen dem normalen und dem Ereignis-Strahl und der Winkel zwischen dem normalen und dem widerspiegelten Strahl.

Siehe auch

• Pseudovektor
• Doppelraum

Links

• Eine Erklärung von normalen Vektoren vom MSDN des Microsofts
• Klarer Pseudocode, für eine Oberfläche zu berechnen, die entweder von einem Dreieck oder von Vieleck normal ist.