In der Mathematik ist eine Hyperbel eine Kurve, spezifisch eine glatte Kurve, die in einem Flugzeug liegt, das entweder durch seine geometrischen Eigenschaften oder durch die Arten von Gleichungen definiert werden kann, für die es der Lösungssatz ist. Eine Hyperbel hat zwei Stücke, genannt verbundene Bestandteile oder Zweige, die Spiegelimages von einander und Ähnlichkeit zwei unendlichen Bögen sind. Die Hyperbel ist eine der vier Arten der konischen Abteilung, die durch die Kreuzung eines Flugzeugs und eines Kegels gebildet ist. Die anderen konischen Abteilungen sind die Parabel, die Ellipse und der Kreis (ist der Kreis ein spezieller Fall der Ellipse). Welche konische Abteilung gebildet wird, hängt vom Winkel ab, den das Flugzeug mit der Achse des Kegels im Vergleich zum Winkel macht, den eine Linie auf der Oberfläche des Kegels mit der Achse des Kegels macht. Wenn der Winkel zwischen dem Flugzeug und der Achse weniger ist als der Winkel zwischen der Linie auf dem Kegel und der Achse, oder wenn das Flugzeug zur Achse parallel ist, dann ist das konische eine Hyperbel.

Hyperbeln entstehen in der Praxis auf viele Weisen: Als die Kurve, die die Funktion im Kartesianischen Flugzeug als das Äußere eines Kreises vertritt, der daraus als der Pfad angesehen ist, der vom Schatten des Tipps einer Sonnenuhr gefolgt ist, weil die Gestalt einer offenen Bahn (im Unterschied zu einem geschlossenen und folglich elliptischer Bahn), wie die Bahn eines Raumfahrzeugs während eines Ernstes Schwingen - durch eines Planeten oder mehr allgemein jedes Raumfahrzeugs geholfen hat, das die Flucht-Geschwindigkeit des nächsten Planeten, als der Pfad eines Kometen der einzelnen Erscheinung (das ein Reisen zu schnell überschreitet, um jemals zum Sonnensystem zurückzukehren) als die sich zerstreuende Schussbahn einer subatomaren Partikel (gefolgt durch den abstoßenden statt attraktiver Kräfte, aber der Grundsatz ist dasselbe), und so weiter.

Jeder Zweig der Hyperbel besteht aus zwei Armen, die gerader (niedrigere Krümmung) weiter aus dem Zentrum der Hyperbel werden. Diagonal entgegengesetzte Arme ein von jedem Zweig neigen in der Grenze zu einer allgemeinen Linie, genannt die Asymptote jener zwei Arme. Es gibt deshalb zwei Asymptoten, deren Kreuzung am Zentrum der Symmetrie der Hyperbel ist, von der als der Spiegelpunkt gedacht werden kann, über den jeder Zweig nachdenkt, um den anderen Zweig zu bilden. Im Fall von der Kurve sind die Asymptoten die zwei Koordinatenäxte.

Hyperbeln teilen viele analytische Eigenschaften der Ellipsen wie Seltsamkeit, Fokus und directrix. Normalerweise kann die Ähnlichkeit mit nichts anderem als einer Änderung des Zeichens in einem Begriff gemacht werden. Viele andere mathematische Gegenstände haben ihren Ursprung in der Hyperbel, wie hyperbolischer paraboloids (Sattel-Oberflächen), hyperboloids ("Papierkörbe"), Hyperbelgeometrie (die berühmte nicht-euklidische Geometrie von Lobachevsky), Hyperbelfunktionen (sinh, Totschläger, tanh, usw.), und gyrovector Räume (eine Geometrie, die sowohl in der Relativität als auch in Quant-Mechanik verwendet ist, die nicht Euklidisch ist).

Geschichte

Das Wort "Hyperbel" ist auf den Griechen zurückzuführen, "gestürzt" oder "übermäßig" bedeutend, von dem die englische Begriff-Übertreibung auch abstammt. Wie man glaubt, ist der Begriff Hyperbel von Apollonius von Perga ins Leben gerufen worden (ca. 262 v.-Chr.-ca. 190 v. Chr.) in seiner endgültigen Arbeit an den konischen Abteilungen, Conics. Zum Vergleich sind die anderen zwei allgemeinen konischen Abteilungen, die Ellipse und die Parabel, auf die entsprechenden griechischen Wörter für "den unzulänglichen" und "das vergleichbare" zurückzuführen; diese Begriffe können sich auf die Seltsamkeit dieser Kurven beziehen, die größer ist als ein (Hyperbel), weniger als ein (Ellipse) und genau eine (Parabel) beziehungsweise.

Nomenklatur und Eigenschaften

— Entfernung vom Zentrum C zu jedem Scheitelpunkt

b — Länge eines rechtwinkligen Segmentes von jedem Scheitelpunkt bis die Asymptoten

c — Entfernung vom Zentrum C zu jedem Fokus-Punkt, F und F und

θ — Winkel hat sich durch jede Asymptote mit der Querachse geformt.]]

Ähnlich einer Parabel ist eine Hyperbel eine offene Kurve, bedeutend, dass sie unbestimmt zur Unendlichkeit weitergeht, anstatt auf sich zu schließen, wie eine Ellipse tut. Eine Hyperbel besteht aus zwei getrennten Kurven genannt seine Arme oder Zweige.

Die Punkte auf den zwei Zweigen, die an einander am nächsten sind, werden ihre Scheitelpunkte genannt, und das Liniensegment, das sie verbindet, wird die Querachse oder Hauptachse entsprechend dem Hauptdiameter einer Ellipse genannt. Der Mittelpunkt der Querachse ist als das Zentrum der Hyperbel bekannt. Die Entfernung vom Zentrum bis jeden Scheitelpunkt wird die Halbhauptachse genannt. Außerhalb der Querachse, aber auf derselben Linie sind die zwei Brennpunkte (Fokusse) der Hyperbel. Die Linie durch diese fünf Punkte ist eine der zwei Hauptäxte der Hyperbel, der andere, die rechtwinklige Halbierungslinie der Querachse seiend. Die Hyperbel hat Spiegelsymmetrie über seine Hauptäxte, und ist auch unter 180 ° symmetrisch drehen sein Zentrum um.

In großen Entfernungen vom Zentrum nähert sich die Hyperbel zwei Linien, seinen Asymptoten, die sich am Zentrum der Hyperbel schneiden. Eine Hyperbel nähert sich seinen Asymptoten willkürlich nah, als die Entfernung von seinem Zentrum zunimmt, aber es schneidet sie nie durch; jedoch besteht eine degenerierte Hyperbel nur aus seinen Asymptoten. Im Einklang stehend mit der Symmetrie der Hyperbel, wenn die Querachse nach der X-Achse eines Kartesianischen Koordinatensystems ausgerichtet wird, ist der Hang der Asymptoten im Umfang gleich, aber gegenüber im Zeichen, ±, wo b=a×tan (θ), und wo θ der Winkel zwischen der Querachse und jeder Asymptote ist. Die Entfernung b (nicht gezeigt) ist die Länge des rechtwinkligen Segmentes von jedem Scheitelpunkt bis die Asymptoten.

Eine verbundene Achse der Länge 2b, entsprechend der geringen Achse einer Ellipse, wird manchmal die Nichtquerhauptachse angezogen; seine Endpunkte ±b liegen auf der geringen Achse auf dem Höhepunkt der Asymptoten über/unter die Scheitelpunkte der Hyperbel. Wegen minus das Zeichen in einigen der Formeln unten wird es auch die imaginäre Achse der Hyperbel genannt.

Wenn der Winkel 2θ zwischen den Asymptoten 90 ° gleichkommt und, wie man sagt, die Hyperbel rechteckig oder gleichseitig ist. In diesem speziellen Fall ist das Rechteck, das sich den vier Punkten auf den Asymptoten direkt oben und unter den Scheitelpunkten anschließt, ein Quadrat, seit den Längen seiner Seiten 2a 2b.

Wenn die Querachse einer Hyperbel nach der X-Achse eines Kartesianischen Koordinatensystems ausgerichtet wird und auf den Ursprung in den Mittelpunkt gestellt wird, kann die Gleichung der Hyperbel als geschrieben werden

:

\frac {x^ {2}} {a^ {2}} - \frac {y^ {2}} {b^ {2}} = 1.

</Mathematik>

Eine Hyperbel ausgerichtet wird auf diese Weise eine "Öffnende Ostwesthyperbel" genannt. Ebenfalls wird eine Hyperbel mit seiner nach der Y-Achse ausgerichteten Querachse eine "Öffnende Nordsüdhyperbel" genannt und hat Gleichung

:

\frac {y^ {2}} {a^ {2}} - \frac {x^ {2}} {b^ {2}} = 1.

</Mathematik>

Jede Hyperbel ist zur Ursprung - öffnenden Ostwesthyperbel kongruent, die seine dieselbe Seltsamkeit ε (seine Gestalt oder Grad "der Ausbreitung") teilt, und ist auch zur Ursprung - öffnenden Nordsüdhyperbel mit der identischen Seltsamkeit ε kongruent — d. h. es kann rotieren gelassen werden, so dass es sich in der gewünschten Richtung öffnet und übersetzt werden kann (starr bewegt im Flugzeug), so dass es am Ursprung in den Mittelpunkt gestellt wird. Für die Bequemlichkeit werden Hyperbeln gewöhnlich in Bezug auf ihre in den Mittelpunkt gestellte öffnende Ostwestform analysiert.

Die Gestalt einer Hyperbel wird völlig durch seine Seltsamkeit ε definiert, der eine ohne Dimension Zahl ist, die immer größer ist als eine. Die Entfernung c vom Zentrum bis die Fokusse kommt aε gleich. Die Seltsamkeit kann auch als das Verhältnis der Entfernungen zu jedem Fokus und zu einer entsprechenden als der directrix bekannten Linie definiert werden; folglich kommt die Entfernung vom Zentrum bis den directrices a/ε gleich. In Bezug auf die Rahmen a, b, c und der Winkel θ, kommt die Seltsamkeit gleich

:

\varepsilon = \frac {c} = \frac {\\sqrt {a^ {2} + b^ {2}}} = \sqrt {1 + \frac {b^ {2}} {a^ {2}}} = \sec \theta.

</Mathematik>

Zum Beispiel, die Seltsamkeit einer rechteckigen Hyperbel, kommt der Quadratwurzel zwei gleich: ε =.

Jede Hyperbel hat eine verbundene Hyperbel, in der die querlaufenden und verbundenen Äxte ausgetauscht werden, ohne die Asymptoten zu ändern. Die Gleichung der verbundenen Hyperbel dessen ist. Wenn der Graph der verbundenen Hyperbel 90 ° rotieren gelassen wird, um die öffnende Ostwestorientierung wieder herzustellen (so dass x y und umgekehrt wird), ist die Gleichung der resultierenden rotieren gelassenen verbundenen Hyperbel dasselbe als die Gleichung der ursprünglichen Hyperbel außer mit a und ausgetauschtem b. Zum Beispiel kommt der Winkel θ der verbundenen Hyperbel 90 ° minus der Winkel der ursprünglichen Hyperbel gleich. So sind die Winkel in den ursprünglichen und verbundenen Hyperbeln Ergänzungswinkel, der andeutet, dass sie verschiedene Seltsamkeit wenn θ = 45 ° (eine rechteckige Hyperbel) haben. Folglich entspricht die verbundene Hyperbel keiner 90 ° Folge der ursprünglichen Hyperbel im Allgemeinen; die zwei Hyperbeln sind in der Gestalt allgemein verschieden.

Einige andere Längen werden verwendet, um Hyperbeln zu beschreiben. Denken Sie eine Liniensenkrechte zur Querachse (d. h., Parallele zur verbundenen Achse), der einen der Fokusse der Hyperbel durchführt. Das Liniensegment, das die zwei Kreuzungspunkte dieser Linie mit der Hyperbel verbindet, ist als der latus Mastdarm bekannt und hat eine Länge. Der semi-latus Mastdarm l ist Hälfte dieser Länge, d. h.. Der im Brennpunkt stehende Parameter p ist die Entfernung von einem Fokus bis seinen entsprechenden directrix und ist gleich.

Mathematische Definitionen

Eine Hyperbel kann mathematisch auf mehrere gleichwertige Weisen definiert werden.

Konische Abteilung

Eine Hyperbel kann als die Kurve der Kreuzung zwischen einer richtigen kreisförmigen konischen Oberfläche und einem Flugzeug definiert werden, das durch beide Hälften des Kegels schneidet. Die anderen Haupttypen von konischen Abteilungen sind die Ellipse und die Parabel; in diesen Fällen schneidet das Flugzeug durch nur eine Hälfte des doppelten Kegels. Wenn das Flugzeug zur Achse des doppelten Kegels parallel ist und seine Hauptspitze durchführt, resultiert eine degenerierte Hyperbel, der einfach zwei Geraden ist, die sich am Spitze-Punkt treffen.

Unterschied von Entfernungen zu Fokussen

Eine Hyperbel kann gleichwertig als der geometrische Ort von Punkten definiert werden, wo der absolute Wert des Unterschieds der Entfernungen zu den zwei Fokussen eine Konstante ist, die 2a, die Entfernung zwischen seinen zwei Scheitelpunkten gleich ist. Diese Definition ist für viele Anwendungen der Hyperbel wie trilateration verantwortlich; das ist das Problem, Position vom Unterschied in der Ankunftszeit von synchronisierten Signalen, als in GPS zu bestimmen.

Diese Definition kann auch in Bezug auf Tangente-Kreise ausgedrückt werden. Das Zentrum irgendwelcher Kreise äußerlich liegt die Tangente zu zwei gegebenen Kreisen auf einer Hyperbel, deren Fokusse die Zentren der gegebenen Kreise sind, und wo die Scheitelpunkt-Entfernung 2a dem Unterschied in Radien der zwei Kreise gleichkommt. Als ein spezieller Fall kann ein gegebener Kreis ein an einem Fokus gelegener Punkt sein; da ein Punkt als ein Kreis des Nullradius, der andere gegebene Kreis betrachtet werden kann — der auf den anderen Fokus in den Mittelpunkt gestellt wird — muss Radius 2a haben. Das stellt eine einfache Technik zur Verfügung, für eine Hyperbel, wie gezeigt, unten zu bauen. Es folgt aus dieser Definition, dass eine Tangente-Linie zur Hyperbel an einem Punkt P den Winkel halbiert, der mit den zwei Fokussen, d. h., der Winkel FP F. Consequently gebildet ist, liegen die Füße von Senkrechten, die von jedem Fokus bis solch eine Tangente-Linie gezogen sind, auf einem Kreis des Radius, der auf das eigene Zentrum der Hyperbel in den Mittelpunkt gestellt wird.

Ein Beweis, dass diese Charakterisierung der Hyperbel zur Charakterisierung der konischen Abteilung gleichwertig ist, kann ohne Koordinatengeometrie mittels Bereiche von Dandelin getan werden.

Directrix und Fokus

Eine Hyperbel kann als der geometrische Ort von Punkten definiert werden, für die das Verhältnis der Entfernungen zu einem Fokus und zu einer Linie (gerufen hat, der directrix) ist eine Konstante, die größer ist als 1. Diese Konstante ist die Seltsamkeit der Hyperbel. Durch die Symmetrie hat eine Hyperbel zwei directrices, die zur verbundenen Achse parallel sind und dazwischen und der Tangente zur Hyperbel an einem Scheitelpunkt sind.

Erwiderung eines Kreises

Die Erwiderung eines Kreises B in einem Kreis C gibt immer eine konische Abteilung wie eine Hyperbel nach. Der Prozess der "Erwiderung in einem Kreis C" besteht daraus, jede Linie und Punkt in einer geometrischen Zahl mit ihrem entsprechenden Pol und polar beziehungsweise zu ersetzen. Der Pol einer Linie ist die Inversion seines nächsten Punkts zum Kreis C, wohingegen der polare von einem Punkt das gegenteilige, nämlich, eine Linie ist, deren nächster Punkt zu C die Inversion des Punkts ist.

Die Seltsamkeit der konischen durch die Erwiderung erhaltenen Abteilung ist das Verhältnis der Entfernungen zwischen den Zentren der zwei Kreise zum Radius r vom Erwiderungskreis C. Wenn B und C die Punkte bei den Zentren der entsprechenden Kreise, dann vertreten

:

\epsilon = \frac {\\Überstrich {v. Chr.}} {r }\

</Mathematik>

Da die Seltsamkeit einer Hyperbel immer größer ist, als einer das Zentrum B außerhalb des sich revanchierenden Kreises C liegen muss.

Diese Definition deutet an, dass die Hyperbel beide der geometrische Ort der Pole der Tangente-Linien zum Kreis B, sowie der Umschlag der polaren Linien der Punkte auf B ist. Umgekehrt ist der Kreis B der Umschlag von polars von Punkten auf der Hyperbel und der geometrische Ort von Polen von Tangente-Linien zur Hyperbel. Zwei Tangente-Linien zu B haben keine (begrenzten) Pole, weil sie das Zentrum C des Erwiderungskreises C durchführen; die polars der entsprechenden Tangente-Punkte auf B sind die Asymptoten der Hyperbel. Die zwei Zweige der Hyperbel entsprechen den zwei Teilen des Kreises B, die durch diese Tangente-Punkte getrennt werden.

Quadratische Gleichung

Eine Hyperbel kann auch als eine zweiten Grades Gleichung in den Kartesianischen Koordinaten (x, y) vom Flugzeug definiert werden

:

A_ {xx} x^ {2} + 2 A_ {xy} xy + A_ {yy} y^ {2} + 2 B_ {x} x + 2 B_ {y} y + C = 0

</Mathematik>

vorausgesetzt, dass die Konstanten A, A, A, B, B, und C die bestimmende Bedingung befriedigen

:

D = \begin {vmatrix} A_ {xx} & A_ {xy }\\\A_ {xy} & A_ {yy} \end {vmatrix}

Ein spezieller Fall einer Hyperbel — die degenerierte Hyperbel, die aus zwei sich schneidenden Linien besteht — kommt vor, wenn eine andere Determinante Null ist

:

\Delta: = \begin {vmatrix} A_ {xx} & A_ {xy} & B_ {x} \\A_ {xy} & A_ {yy} & B_ {y }\\\B_ {x} & B_ {y} & C \end {vmatrix} = 0

</Mathematik>

Diese Determinante Δ wird manchmal den discriminant der konischen Abteilung genannt.

Gegeben der obengenannte allgemeine parametrization der Hyperbel in Kartesianischen Koordinaten, die Seltsamkeit kann mit der Formel im Konischen section#Eccentricity in Bezug auf Rahmen der quadratischen Form gefunden werden.

Das Zentrum (x, y) der Hyperbel kann von den Formeln bestimmt werden

:

x_ {c} =-\frac {1} {D} \begin {vmatrix} B_ {x} & A_ {xy} \\B_ {y} & A_ {yy} \end {vmatrix }\

</Mathematik>:

y_ {c} =-\frac {1} {D} \begin {vmatrix} A_ {xx} & B_ {x} \\A_ {xy} & B_ {y} \end {vmatrix }\

</Mathematik>

In Bezug auf neue Koordinaten, und kann die Definieren-Gleichung der Hyperbel geschrieben werden

:

A_ {xx} \xi^ {2} + 2A_ {xy} \xi\eta + A_ {yy} \eta^ {2} + \frac {\\Delta} {D} = 0

</Mathematik>

Die Hauptäxte der Hyperbel machen einen Winkel Φ mit der positiven X-Achse, die gleichkommt

:

\tan 2\Phi = \frac {2A_ {xy}} {A_ {xx} - A_ {yy} }\

</Mathematik>

Das Drehen der Koordinatenäxte, so dass die X-Achse nach der Querachse ausgerichtet wird, bringt die Gleichung in seine kanonische Form

:

\frac {a^ {2}} - \frac {b^ {2}} = 1

</Mathematik>

Die größeren und geringen Halbäxte a und b werden durch die Gleichungen definiert

:

a^ {2} =-\frac {\\Delta} {\\lambda_ {1} D\=-\frac {\\Delta} {\\lambda_ {1} ^ {2 }\\lambda_ {2} }\

</Mathematik>:

b^ {2} =-\frac {\\Delta} {\\lambda_ {2} D\=-\frac {\\Delta} {\\lambda_ {1 }\\lambda_ {2} ^ {2} }\

</Mathematik>

wo λ und λ die Wurzeln der quadratischen Gleichung sind

:

\lambda^ {2} - \left (A_ {xx} + A_ {yy} \right) \lambda + D = 0

</Mathematik>

Zum Vergleich ist die entsprechende Gleichung für eine degenerierte Hyperbel

:

\frac {a^ {2}} - \frac {b^ {2}} = 0

</Mathematik>

Die Tangente-Linie zu einem gegebenen Punkt (x, y) auf der Hyperbel wird durch die Gleichung definiert

:

E x + F y + G = 0

</Mathematik>

wo E, F und G definiert werden

:

E = A_ {xx} x_ {0} + A_ {xy} y_ {0} + B_ {x }\

</Mathematik>:

F = A_ {xy} x_ {0} + A_ {yy} y_ {0} + B_ {y }\

</Mathematik>:

G = B_ {x} x_ {0} + B_ {y} y_ {0} + C

</Mathematik>

Die normale Linie zur Hyperbel an demselben Punkt wird durch die Gleichung gegeben

:

F \left (x - x_ {0} \right) - E \left (y - y_ {0} \right) = 0

</Mathematik>

Die normale Linie ist auf der Tangente-Linie rechtwinklig, und beide führen denselben Punkt (x, y) durch.

Von der Gleichung

:

das grundlegende Eigentum, die sich mit und die Entfernungen von einem Punkt bis den linken Fokus und das Recht zu sein, konzentrieren, hat man für einen Punkt auf dem richtigen Zweig das

:

und für einen Punkt auf dem linken Zweig das

:

kann wie folgt bewiesen werden:

Wenn x, y ein Punkt auf der Hyperbel ist, ist die Entfernung zum linken Brennpunkt

:

(e x + a) ^2 </Mathematik>

Zum richtigen Brennpunkt ist die Entfernung

:

(e x - a) ^2 </Mathematik>

Wenn x, y ein Punkt auf dem richtigen Zweig der Hyperbel dann und des ist

::Wenn man

diese Gleichungen abzieht, bekommt man

:

Wenn x, y ein Punkt auf dem linken Zweig der Hyperbel dann ist

::Wenn man diese Gleichungen abzieht, bekommt man:

Wahre Anomalie

In der Abteilung darüber wird dieses Verwenden des Koordinatensystems gezeigt, in dem die Gleichung der Hyperbel seine kanonische Form annimmt

:\frac {a^ {2}} - \frac {b^ {2}} = 1</Mathematik>

die Entfernung von einem Punkt auf dem linken Zweig der Hyperbel zum linken Brennpunkt ist

:.

Das Einführen von Polarkoordinaten mit dem Ursprung am linken Brennpunkt der Koordinatenverwandte das kanonische Koordinatensystem ist

::

und die Gleichung nimmt oben die Form an

:

von dem dem folgt

:

Das ist die Darstellung des nahen Zweigs einer Hyperbel in Polarkoordinaten in Bezug auf einen Brennpunkt.

Der polare Winkel eines Punkts auf einem Hyperbel-Verwandten der nahe Brennpunkt, wird wie beschrieben, oben die wahre Anomalie des Punkts genannt.

Geometrische Aufbauten

Ähnlich der Ellipse kann eine Hyperbel mit einem gespannten Faden gebaut werden. Ein Haarlineal der Länge S wird einem Fokus F an einer seiner Ecken beigefügt, so dass es frei ist, über diesen Fokus zu rotieren. Ein Faden der Länge L = S - 2a wird zwischen dem anderen Fokus F und der anderen Ecke B des Haarlineals beigefügt. Ein scharfer Bleistift wird gegen das Haarlineal gehalten, den Faden gespannt gegen das Haarlineal einschiebend. Lassen Sie die Position des Bleistifts als P angezeigt werden. Die Gesamtlänge L des Fadens kommt der Summe der Entfernungen L von F bis P und L von P bis B gleich. Ähnlich kommt die Gesamtlänge S des Haarlineals der Entfernung L von F bis P und L gleich. Deshalb, der Unterschied in den Entfernungen zu den Fokussen, kommt der Konstante 2a gleich

:

L_ {1} - L_ {2} = \left (S - L_ {B} \right) - \left (L - L_ {B} \right) = S - L = 2a

</Mathematik>

Ein zweiter Aufbau verwendet sich schneidende Kreise, aber basiert ebenfalls auf dem unveränderlichen Unterschied von Entfernungen zu den Fokussen. Denken Sie eine Hyperbel mit zwei Fokussen F und F, und zwei Scheitelpunkten P und Q; diese vier Punkte lügen alle auf der Querachse. Wählen Sie einen neuen Punkt T auch auf der Querachse und rechts vom niedrigstwertigen Scheitelpunkt P; der Unterschied in Entfernungen zu den zwei Scheitelpunkten, = 2a, seitdem 2a ist die Entfernung zwischen den Scheitelpunkten. Folglich werden sich die zwei Kreise, die auf die Fokusse F und F des Radius QT und PT beziehungsweise in den Mittelpunkt gestellt sind, an zwei Punkten der Hyperbel schneiden.

Ein dritter Aufbau verlässt sich auf die Definition der Hyperbel als die Erwiderung eines Kreises. Betrachten Sie den Kreis als in den Mittelpunkt gestellt auf das Zentrum der Hyperbel und des Radius a; dieser Kreis ist Tangente zur Hyperbel an seinen Scheitelpunkten. Eine Linie g gezogen von einem Fokus kann diesen Kreis in zwei Punkten M und N durchschneiden; Senkrechten zu durch diese zwei Punkte gezogenem g sind Tangente zur Hyperbel. Zeichnung einer Reihe solcher Tangente-Linien offenbart den Umschlag der Hyperbel.

Nachdenken und Tangente-Linien

Der alte griechische geometers hat ein Nachdenken-Eigentum von Hyperbeln anerkannt. Wenn ein Strahl des Lichtes aus einem Fokus erscheint und von der Hyperbel widerspiegelt wird, scheint der leichte Strahl, aus dem anderen Fokus gekommen zu sein. Gleichwertig, durch das Umkehren der Richtung des Lichtes, werden Strahlen, die an einem der Fokusse vom Äußeren der Hyperbel geleitet sind, zum anderen Fokus widerspiegelt. Dieses Eigentum ist dem Eigentum von Ellipsen analog, dass ein Strahl, der aus einem Fokus erscheint, von der Ellipse direkt zum anderen Fokus (aber nicht weg als in der Hyperbel) widerspiegelt wird. Ausgedrückt mathematisch schneiden Linien, die von jedem Fokus bis denselben Punkt auf der Hyperbel gezogen sind, es in gleichen Winkeln durch; die Tangente-Linie zu einer Hyperbel an einem Punkt P halbiert den Winkel, der mit den zwei Fokussen, FPF gebildet ist.

Tangente-Linien zu einer Hyperbel haben ein anderes bemerkenswertes geometrisches Eigentum. Wenn eine Tangente-Linie an einem Punkt T die Asymptoten an zwei Punkten K und L durchschneidet, dann halbiert T das Liniensegment KL und das Produkt von Entfernungen zum Zentrum der Hyperbel, OK×OL ist eine Konstante.

Hyperbelfunktionen und Gleichungen

(a\\cosh\\mu_k \, \b\\sinh\\mu_k) </Mathematik> mit für]]

Da der Sinus und die Kosinus-Funktionen eine parametrische Gleichung für die Ellipse geben, so geben der Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus eine parametrische Gleichung für die Hyperbel.

Als

\cosh^2 \mu - \sinh^2 \mu = 1

</Mathematik>

man hat für jeden Wert davon den Punkt

:

x = a\\cosh\\mu

</Mathematik>:

y = b\\sinh\\mu

</Mathematik>

befriedigt die Gleichung

:

der die Gleichung eines Hyperbel-Verwandten sein kanonisches Koordinatensystem ist.

Wenn sich μ über den Zwischenraum ändert

Der linke Zweig für der

:

x =-a\\cosh\\mu

</Mathematik>:y = b\\sinh\\mu</Mathematik>

In der Zahl die durch gegebenen Punkte

:

x_k =-a\\cosh \mu _k

</Mathematik>:

y_k = b\\sinh \mu _k

</Mathematik>

für

:

auf dem linken Zweig einer Hyperbel mit der Seltsamkeit 1.2 werden als Punkte gekennzeichnet.

Beziehung zu anderen konischen Abteilungen

Es gibt drei Haupttypen von konischen Abteilungen: Hyperbeln, Ellipsen und Parabeln. Da die Parabel als ein Begrenzungsfall im Gleichgewicht genau zwischen einer Ellipse und einer Hyperbel gesehen werden kann, gibt es effektiv nur zwei Haupttypen, Ellipsen und Hyperbeln. Diese zwei Typen sind darin verbunden Formeln für einen Typ können häufig auf den anderen angewandt werden.

Die kanonische Gleichung für eine Hyperbel ist

:\frac {x^ {2}} {a^ {2}} - \frac {y^ {2}} {b^ {2}} = 1.</Mathematik>

Jede Hyperbel kann rotieren gelassen werden, so dass es Ostwestöffnung und eingestellt mit seinem Zentrum am Ursprung ist, so dass die Gleichung, die es beschreibt, diese kanonische Gleichung ist.

Die kanonische Gleichung für die Hyperbel kann als eine Version der entsprechenden Ellipse-Gleichung gesehen werden

:

\frac {x^ {2}} {a^ {2}} + \frac {y^ {2}} {b^ {2}} = 1

</Mathematik>

in dem die halbgeringe Achse-Länge b imaginär ist. D. h. wenn in der Ellipse-Gleichung b durch ib ersetzt wird, wo b echt ist, erhält man die Hyperbel-Gleichung.

Ähnlich werden die parametrischen Gleichungen für eine Hyperbel und eine Ellipse in Bezug auf hyperbolische und trigonometrische Funktionen beziehungsweise ausgedrückt, die wieder durch eine imaginäre Zahl, z.B, verbunden sind

:

\cosh \mu = \cos i\mu

</Mathematik>

Folglich können viele Formeln für die Ellipse zu Hyperbeln durch das Hinzufügen der imaginären Einheit i vor der halbgeringen Achse b und dem Winkel erweitert werden. Zum Beispiel kann der arclength eines Segmentes einer Ellipse mit einem unvollständigen elliptischen Integral der zweiten Art bestimmt werden. Der entsprechende arclength einer Hyperbel wird durch dieselbe Funktion mit imaginären Rahmen b und μ, nämlich, ib E (iμ, c) gegeben.

Konische Abteilungsanalyse des Hyperbeläußeren von Kreisen

Außer der Versorgung einer gleichförmigen Beschreibung von Kreisen, Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln, können konische Abteilungen auch als ein natürliches Modell der Geometrie der Perspektive im Fall verstanden werden, wo die Szene, die wird ansieht, aus einem Kreis, oder mehr allgemein einer Ellipse besteht. Der Zuschauer ist normalerweise eine Kamera oder das menschliche Auge. Im einfachsten Fall ist die Linse des Zuschauers gerade ein Nadelloch; die Rolle von komplizierteren Linsen soll sich viel leichter bloß versammeln, während sie behält, so weit möglich die einfache Nadelloch-Geometrie, in der alle Strahlen des Lichtes von der Szene einen einzelnen Punkt durchführen. Einmal durch die Linse breiten sich die Strahlen dann wieder in Luft im Fall von einer Kamera im Glashumor im Fall vom Auge aus, schließlich sich über den Film verteilend, Gerät oder Netzhaut darstellend, von denen alle unter dem Kopfstück des Bildflugzeugs kommen. Das Linse-Flugzeug ist eine Flugzeug-Parallele zum Bildflugzeug an der Linse; alle Strahlen führen einen einzelnen Punkt auf dem Linse-Flugzeug, nämlich die Linse selbst durch.

Wenn der Kreis direkt dem Zuschauer ins Gesicht sieht, ist die Linse des Zuschauers auf der Achse, auf der Linie vorhabend, die zum Kreis durch sein Zentrum normal ist (denken Sie an die Achse eines Rades). Die Strahlen des Lichtes vom Kreis bis die Linse zum Bildflugzeug bilden dann einen Kegel mit der kreisförmigen bösen Abteilung, deren Spitze die Linse ist. Das Bildflugzeug begreift konkret das abstrakte Schneidflugzeug im konischen Abteilungsmodell.

Wenn außerdem der Zuschauer direkt dem Kreis gegenübersteht, wird der Kreis treu auf dem Bildflugzeug ohne Perspektiveverzerrung nämlich als ein schuppiger unten Kreis gemacht. Wenn der Zuschauer Aufmerksamkeit oder Blick weg vom Zentrum des Kreises lenkt, schneidet das Bildflugzeug dann den Kegel in einer Ellipse, Parabel oder Hyperbel je nachdem, wie weit der Zuschauer, entsprechend genau dem wird, was geschieht, wenn die Oberfläche, den Kegel schneidend, um eine konische Abteilung zu bilden, rotieren gelassen wird.

Eine Parabel entsteht, wenn das Linse-Flugzeug Tangente zu (Berührungen) der Kreis ist. Ein Zuschauer mit der vollkommenen 180-Grade-Weitwinkel-Vision wird die ganze Parabel sehen; in der Praxis ist das unmöglich, und nur ein begrenzte Teil der Parabel wird auf dem Film oder der Netzhaut gewonnen.

Wenn sich der Zuschauer weiter dreht, so dass das Linse-Flugzeug den Kreis in zwei Punkten schneidet, wird die Gestalt auf dem Bildflugzeug die einer Hyperbel. Der Zuschauer sieht noch nur eine begrenzte Kurve, nämlich ein Teil eines Zweigs der Hyperbel und ist unfähig, den zweiten Zweig überhaupt zu sehen, der dem Teil des Kreises hinter dem Zuschauer genauer auf derselben Seite des Linse-Flugzeugs als der Zuschauer entspricht. In der Praxis macht das begrenzte Ausmaß des Bildflugzeugs es unmöglich, jeden Teil des Kreises nahe zu sehen, wo es durch das Linse-Flugzeug geschnitten wird. Weiter zurück jedoch konnte man sich vorstellen, dass Strahlen vom Teil des Kreises ganz hinter dem Zuschauer, der die Linse durchführt, der durchsichtige Zuschauer waren. In diesem Fall würden die Strahlen das Bildflugzeug vor der Linse, noch ein anderer impracticality das Sicherstellen durchführen, dass kein Teil des zweiten Zweigs vielleicht sichtbar sein konnte.

Die Tangenten zum Kreis, wo es durch das Linse-Flugzeug geschnitten wird, setzen die Asymptoten der Hyperbel ein. Waren diese Tangenten, die in Tinte im Flugzeug des Kreises zu ziehen sind, das Auge würde sie als Asymptoten zum sichtbaren Zweig wahrnehmen. Ob sie davor zusammenlaufen oder hinter dem Zuschauer abhängt, ob das Linse-Flugzeug vor oder hinter dem Zentrum des Kreises beziehungsweise ist.

Wenn der Kreis angezogen wird, übertragen der Boden und der Zuschauer allmählich Blick vom geraden unten am Kreis zum Horizont, das Linse-Flugzeug schneidet schließlich den Kreis, der zuerst eine Parabel dann eine Hyperbel auf dem Bildflugzeug erzeugt. Als der Blick fortsetzt, sich die Asymptoten der Hyperbel, wenn begriffen, konkret zu erheben, eingehend vom linken und richtigen zu scheinen, zu einander schwingend und am Horizont zusammenlaufend, wenn der Blick horizontal ist. Die weitere Erhebung des Blicks in den Himmel bringt dann den Punkt der Konvergenz der Asymptoten zum Zuschauer.

Durch denselben Grundsatz, mit dem der Rücken des Kreises auf dem Bildflugzeug erscheint, waren alle physischen Hindernisse für seinen zu überwindenden Vorsprung, der Teil der zwei Tangenten hinter dem Zuschauer erscheinen auf dem Bildflugzeug als eine Erweiterung des sichtbaren Teils der Tangenten vor dem Zuschauer. Wie der zweite Zweig verwirklicht sich diese Erweiterung im Himmel aber nicht auf dem Boden mit dem Horizont, der die Grenze zwischen dem physisch sichtbaren (Szene in der Vorderseite) und unsichtbar (Szene hinten), und die sichtbaren und unsichtbaren Teile der Tangenten kennzeichnet, die sich in einer Single X Gestalt verbinden. Da der Blick erhoben und über den Horizont gesenkt wird, bewegt sich die X Gestalt entgegengesetzt, sinkend, weil der Blick erhoben wird und umgekehrt aber immer mit dem sichtbaren Teil, der auf dem Boden ist und am Horizont mit dem Zentrum der X anhält, die auf dem Horizont sind, wenn der Blick horizontal ist.

Der ganze obengenannte war für den Fall, wenn der Kreis dem Zuschauer mit nur dem Blick-Verändern des Zuschauers ins Gesicht sieht. Wenn der Kreis anfängt, weg vom Zuschauer zu liegen, ist die Linse des Zuschauers nicht mehr auf der Achse. In diesem Fall ist die böse Abteilung des Kegels nicht mehr ein Kreis, aber eine Ellipse (nie eine Parabel oder Hyperbel). Jedoch hängt der Grundsatz von konischen Abteilungen von der bösen Abteilung des Kegels nicht ab, der kreisförmig ist, und gilt modifikationsfrei für den Fall von exzentrischen Kegeln.

Es ist nicht schwierig zu sehen, dass sogar im Fall außer Achse ein Kreis kreisförmig nämlich scheinen kann, wenn das Bildflugzeug (und folglich Linse-Flugzeug) zum Flugzeug des Kreises parallel sind. D. h. um einen Kreis als ein Kreis zu sehen, wenn Sie es schief ansehen, schauen Sie nicht auf den Kreis selbst, aber auf das Flugzeug, in dem es liegt. Davon kann es gesehen werden, dass, als man ein Flugzeug angesehen hat, sich mit vielen Kreisen gefüllt hat, werden sie alle kreisförmig gleichzeitig scheinen, wenn das Flugzeug auf direkt geschaut wird.

Ein allgemeiner misperception über die Hyperbel ist, dass es eine mathematische Kurve, selten wenn jemals gestoßen, im täglichen Leben ist. Die Wirklichkeit ist, dass man eine Hyperbel sieht man hat Anblick des Teils eines durch jemandes Linse-Flugzeug geschnittenen Kreises gefangen (und eine Parabel, wenn das Linse-Flugzeug Tangente dazu ist, d. h. sich gerade, der Kreis berührt). Die Unfähigkeit, sehr viel der Arme des sichtbaren Zweigs zu sehen, der mit der ganzen Abwesenheit des zweiten Zweigs verbunden ist, macht es eigentlich unmöglich für das menschliche Sehsystem, die Verbindung mit Hyperbeln wie y = 1/x anzuerkennen, wo beide Zweige auf der Anzeige gleichzeitig sind.

Abgeleitete Kurven

Mehrere andere Kurven können aus der Hyperbel durch die Inversion, die so genannten umgekehrten Kurven der Hyperbel abgeleitet werden. Wenn das Zentrum der Inversion als das eigene Zentrum der Hyperbel gewählt wird, ist die umgekehrte Kurve der lemniscate von Bernoulli; der lemniscate ist auch der Umschlag von Kreisen, die auf eine rechteckige Hyperbel und das Durchführen des Ursprungs in den Mittelpunkt gestellt sind. Wenn das Zentrum der Inversion an einem Fokus oder einem Scheitelpunkt der Hyperbel gewählt wird, sind die resultierenden umgekehrten Kurven ein limaçon oder ein strophoid beziehungsweise.

Koordinatensysteme

Kartesianische Koordinaten

Eine öffnende Ostwesthyperbel, die an (h, k) in den Mittelpunkt gestellt ist, hat die Gleichung

:

Die Hauptachse bohrt das Zentrum der Hyperbel durch und schneidet beide Arme der Hyperbel an den Scheitelpunkten (Kurve-Punkte) von den Armen durch. Die Fokusse liegen auf der Erweiterung der Hauptachse der Hyperbel.

Die geringe Achse bohrt das Zentrum der Hyperbel durch und ist auf der Hauptachse rechtwinklig.

In beiden Formeln a ist die Halbhauptachse (Hälfte der Entfernung zwischen den zwei Armen der Hyperbel, die entlang der Hauptachse gemessen ist), und b ist die halbgeringe Achse (Hälfte der Entfernung zwischen den Asymptoten entlang einer Linientangente zur Hyperbel an einem Scheitelpunkt).

Wenn man ein Rechteck mit Scheitelpunkten auf den Asymptoten und zwei Seiten bildet, die Tangente zur Hyperbel sind, die Seitentangente zur Hyperbel sind 2b in der Länge, während die Seiten, die zur Linie zwischen den Fokussen parallel verlaufen (die Hauptachse) 2a in der Länge sind. Bemerken Sie, dass b größer sein kann als trotz der Namen gering und größer.

Wenn man die Entfernung von einem Punkt auf der Hyperbel zu jedem Fokus berechnet, ist der absolute Wert des Unterschieds jener zwei Entfernungen immer 2a.

Die Seltsamkeit wird durch gegeben

:

Wenn c der Entfernung vom Zentrum bis jeden Fokus, dann gleichkommt

:

wo

:.

Die Entfernung c ist als die geradlinige Seltsamkeit der Hyperbel bekannt. Die Entfernung zwischen den Fokussen ist 2c oder 2aε.

Die Fokusse für eine öffnende Ostwesthyperbel werden durch gegeben

:

und weil eine öffnende Nordsüdhyperbel durch gegeben werden

:.

Die directrices für eine öffnende Ostwesthyperbel werden durch gegeben

:und weil eine öffnende Nordsüdhyperbel durch gegeben werden:.

Polarkoordinaten

Die Polarkoordinaten verwendet meistens für die Hyperbel werden hinsichtlich des Kartesianischen Koordinatensystems definiert, das seinen Ursprung in einem Fokus und seine X-Achse hat, die zum Ursprung des "kanonischen Koordinatensystems", wie illustriert, in der Zahl der Abteilung "Wahre Anomalie" hinweist.

Hinsichtlich dieses Koordinatensystems hat man das

:

und die Reihe der wahren Anomalie ist:

:

Mit der Polarkoordinate hinsichtlich des "kanonischen Koordinatensystems"

::

man hat das

:

Für den richtigen Zweig der Hyperbel ist die Reihe dessen:

:

Parametrische Gleichungen

Öffnende Ostwesthyperbel:

:

x = a\sec t + h \\

y = b\tan t + k \\

\end {Matrix-}\

\qquad \mathrm {oder} \qquad\begin {Matrix-}\

x = \pm a\cosh t + h \\

y = b\sinh t + k \\

\end {Matrix-}\</Mathematik>

Öffnende Nordsüdhyperbel:

:

x = a\tan t + h \\

y = b\sec t + k \\

\end {Matrix-}\\qquad \mathrm {oder} \qquad\begin {Matrix-}\

x = a\sinh t + h \\

y = \pm b\cosh t + k \\

\end {Matrix-}\</Mathematik>

In allen Formeln (h, k) sind die Zentrum-Koordinaten der Hyperbel, der Länge der Halbhauptachse zu sein, und b ist die Länge der halbgeringen Achse.

Elliptische Koordinaten

Eine Familie von confocal Hyperbeln ist die Basis des Systems von elliptischen Koordinaten in zwei Dimensionen. Diese Hyperbeln werden durch die Gleichung beschrieben

:

\left (\frac {x} {c \cos\theta }\\Recht) ^2 - \left (\frac {y} {c \sin\theta }\\Recht) ^2 = 1

</Mathematik>

wo die Fokusse in einer Entfernung c vom Ursprung auf der X-Achse gelegen werden, und wo θ der Winkel der Asymptoten mit der X-Achse ist. Jede Hyperbel in dieser Familie ist zu jeder Ellipse orthogonal, die dieselben Fokusse teilt. Dieser orthogonality kann durch eine conformal Karte des Kartesianischen Koordinatensystems w = z + 1/z gezeigt werden, wo z = x + iy die ursprünglichen Kartesianischen Koordinaten sind, und w=u + iv diejenigen nach der Transformation sind.

Andere orthogonale zweidimensionale Koordinatensysteme, die Hyperbeln einschließen, können durch anderen conformal mappings erhalten werden. Zum Beispiel gestaltet der kartografisch darstellende w = z das Kartesianische Koordinatensystem in zwei Familien von orthogonalen Hyperbeln um.

Rechteckige Hyperbel mit horizontalen/vertikalen Asymptoten (Kartesianische Koordinaten)

Rechteckige Hyperbeln mit der Koordinatenaxt-Parallele zu ihren Asymptoten haben die Gleichung

:.

Das sind gleichseitige Hyperbeln (Seltsamkeit) mit der Halbhauptachse und halbgeringen Achse, die dadurch gegeben ist.

Das einfachste Beispiel von rechteckigen Hyperbeln kommt vor, wenn das Zentrum (h, k) am Ursprung ist:

:

das Beschreiben von Mengen x und y, die umgekehrt proportional sind. Durch das Drehen der Koordinatenäxte gegen den Uhrzeigersinn durch 45 Grade mit den neuen etikettierten Koordinatenäxten wird die Gleichung der Hyperbel durch die kanonische Form gegeben

:.

Andere Eigenschaften von Hyperbeln

• Wenn eine Linie einen Zweig einer Hyperbel an der M und N durchschneidet und die Asymptoten an P und Q durchschneidet, dann hat MN denselben Mittelpunkt wie PQ.
• Der folgende ist gleichzeitig: (1) ein Kreis, der die Fokusse der Hyperbel und in den Mittelpunkt gestellt am Zentrum der Hyperbel durchführt; (2) jede der Linien, die Tangente zur Hyperbel an den Scheitelpunkten sind; und (3) jede der Asymptoten der Hyperbel.
• Der folgende ist auch gleichzeitig: (1) der Kreis, der am Zentrum der Hyperbel in den Mittelpunkt gestellt wird und führt das die Scheitelpunkte der Hyperbel durch; (2) irgendein directrix; und (3) jede der Asymptoten.
• Das Produkt der Entfernungen von einem Punkt P zu einer der Asymptoten entlang einer Linienparallele zur anderen Asymptote, und zur zweiten Asymptote entlang einer Linienparallele zur ersten Asymptote, ist der Position des Punkts P auf der Hyperbel unabhängig.
• Das Produkt des Hangs von Linien von einem Punkt auf der Hyperbel zu den zwei Scheitelpunkten ist der Position des Punkts unabhängig.
• Ein Liniensegment zwischen den zwei Asymptoten und der Tangente zur Hyperbel wird durch den Tangency-Punkt halbiert.
• Das Gebiet eines Dreiecks zwei lügen deren Seiten auf den Asymptoten, und dessen dritte Seite Tangente zur Hyperbel ist, ist der Position des Tangency-Punkts unabhängig. Spezifisch ist das Gebiet ab, wo der Halbhauptachse und b zu sein, die halbgeringe Achse ist.
• Die Entfernung von jedem Fokus bis jede Asymptote ist b, die halbgeringe Achse; der nächste Punkt zu einem Fokus auf einer Asymptote liegt in einer Entfernung vom Zentrum, das a, der Halbhauptachse gleich ist. Dann zeigt das Verwenden des Pythagoreischen Lehrsatzes auf dem rechtwinkligen Dreieck mit diesen zwei Segmenten als Beine das, wo c die im Brennpunkt halbstehende Länge (die Entfernung von einem Fokus bis das Zentrum der Hyperbel) ist.

Anwendungen

Sonnenuhren

Hyperbeln können in vielen Sonnenuhren gesehen werden. An jedem gegebenen Tag kreist die Sonne in einem Kreis auf dem himmlischen Bereich und seinen Strahlen, die schlagen, dass der Punkt auf einer Sonnenuhr einen Kegel des Lichtes verfolgt. Die Kreuzung dieses Kegels mit der Horizontalebene des Bodens bildet eine konische Abteilung. An bevölkertsten Breiten und in den meisten Malen des Jahres ist diese konische Abteilung eine Hyperbel. In praktischen Begriffen verfolgt der Schatten des Tipps eines Pols eine Hyperbel auf dem Boden über den Kurs eines Tages. Die Gestalt dieser Hyperbel ändert sich mit der geografischen Breite und mit der Zeit des Jahres, da jene Faktoren den Kegel der Strahlen der Sonne hinsichtlich des Horizonts betreffen. Die Sammlung solcher Hyperbeln seit einem ganzen Jahr an einer gegebenen Position wurde einen pelekinon von den Griechen genannt, da sie einer Axt doppelten mit Halmen ähnelt.

Trilateration

Eine Hyperbel ist die Basis, um trilateration Probleme, die Aufgabe zu beheben, einen Punkt von den Unterschieden in seinen Entfernungen zu gegebenen Punkten — oder, gleichwertig, dem Unterschied in der Ankunftszeit von synchronisierten Signalen zwischen dem Punkt und den gegebenen Punkten ausfindig zu machen. Solche Probleme sind in der Navigation besonders auf Wasser wichtig; ein Schiff kann seine Position vom Unterschied in der Ankunftszeit von Signalen von einem LORAN oder GPS Sendern ausfindig machen. Umgekehrt können ein homing Leuchtfeuer oder jeder Sender durch das Vergleichen der Ankunftszeit seiner Signale an zwei getrennten Empfang-Stationen gelegen werden; solche Techniken können verwendet werden, um Gegenstände und Leute zu verfolgen. Insbesondere der Satz von möglichen Positionen eines Punkts, der einen Entfernungsunterschied 2a von zwei gegebenen Punkten hat, ist eine Hyperbel der Scheitelpunkt-Trennung 2a, wessen Fokusse die zwei gegebenen Punkte sind.

Pfad ist durch eine Partikel gefolgt

Die Pfade, die von jeder Partikel im klassischen Problem von Kepler gefolgt sind, sind eine konische Abteilung. Insbesondere wenn die Gesamtenergie E der Partikel größer ist als Null (d. h., wenn die Partikel losgebunden wird), ist der Pfad solch einer Partikel eine Hyperbel. Dieses Eigentum ist im Studieren atomarer und subatomarer Kräfte durch das Zerstreuen energiereicher Partikeln nützlich; zum Beispiel hat das Experiment von Rutherford die Existenz eines Atomkerns durch das Überprüfen des Zerstreuens von Alphateilchen von Goldatomen demonstriert. Wenn die Kernwechselwirkungen für kurze Strecken ignoriert werden, wirken der Atomkern und das Alphateilchen nur durch eine abstoßende Ampere-Sekunde-Kraft aufeinander, die die umgekehrte Quadratgesetzvoraussetzung für ein Problem von Kepler befriedigt.

Korteweg-de Vries Gleichung

Die Hyperbelhemmschuh-Funktion erscheint als eine Lösung der Korteweg-de Vries Gleichung, die die Bewegung einer soliton Welle in einem Kanal beschreibt.

Winkeldreiteilung

Wie gezeigt, zuerst durch Apollonius von Perga kann eine Hyperbel verwendet werden, um jeden Winkel, ein höchst studiertes Problem der Geometrie dreimal zu teilen. In Anbetracht eines Winkels erste Attraktionen hat ein Kreis auf seinen mittleren Punkt O im Mittelpunkt gestanden, der die Beine des Winkels an Punkten A und B durchschneidet. Folgende Attraktionen die Linie durch A und B und Konstruktionen eine Hyperbel der Seltsamkeit ε = 2 mit dieser Linie als seine Querachse und B als ein Fokus. Der directrix der Hyperbel ist die Halbierungslinie von AB, und für jeden Punkt P auf der Hyperbel, der Winkel ABP ist zweimal so groß wie das WEICHE Winkel-BRÖTCHEN. Lassen Sie P ein Punkt auf dem Kreis sein. Durch den eingeschriebenen Winkellehrsatz sind die entsprechenden Zentrum-Winkel ebenfalls durch einen Faktor zwei, AOP = 2×POB verbunden. Aber AOP+POB kommt dem ursprünglichen Winkel AOB gleich. Deshalb ist der Winkel, seitdem 3×POB = AOB dreimal geteilt worden.

Effiziente Mappe-Grenze

In der Mappe-Theorie ist der geometrische Ort der Mittelabweichung effiziente Mappen (hat die effiziente Grenze genannt), die obere Hälfte des ostöffnenden Zweigs einer Hyperbel, die mit der Standardabweichung der Rückkehr der Mappe gezogen ist, geplant horizontal und sein erwarteter Wert geplant vertikal; gemäß dieser Theorie würden alle vernünftigen Kapitalanleger eine Mappe wählen, die durch einen Punkt auf diesem geometrischen Ort charakterisiert ist.

Erweiterungen

Das dreidimensionale Analogon einer Hyperbel ist ein hyperboloid. Hyperboloid kommen in zwei Varianten, denjenigen einer Platte und denjenigen von zwei Platten. Eine einfache Weise, einen hyperboloid zu erzeugen, soll eine Hyperbel über die Achse seiner Fokusse oder über seine Symmetrie-Achse-Senkrechte zur ersten Achse rotieren lassen; diese Folgen erzeugen hyperboloids zwei und eine Platte beziehungsweise.

Siehe auch

• Parabel
• Kreis
• Ellipse
• Hyperbelsektor
• Hyperbelwinkel
• Hyperbelfunktion
• Hyperbelwachstum
• Teilweise Hyperbeldifferenzialgleichung
• Hyperbelstruktur
• Hyperbelschussbahn
• Hyperboloid
• Multilateration
• Apollonius von Perga, der griechische geometer, wer der Ellipse, Parabel und Hyperbel die Namen gegeben hat, durch die wir sie wissen.
• Elliptische Koordinaten, ein orthogonales Koordinatensystem, das auf Familien von Ellipsen und Hyperbeln gestützt ist.

Links

• Die Abstammung von Apollonius der Hyperbel an der Konvergenz