Nicht-euklidische Geometrie ist irgendein zwei spezifischer Geometrie, die, lose das Sprechen ist, das durch das Verneinen des Euklidischen parallelen Postulates, nämlich hyperbolischer und elliptischer Geometrie erhalten ist. Das ist ein Begriff, der, aus historischen Gründen, eine Bedeutung in der Mathematik hat, die viel schmaler ist, als es scheint, auf der allgemeinen englischen Sprache zu haben. Es gibt sehr viel Geometrie, die nicht Euklidische Geometrie ist, aber nur diese zwei werden die nicht-euklidische Geometrie genannt.

Der wesentliche Unterschied zwischen der Euklidischen und nicht-euklidischen Geometrie ist die Natur von parallelen Linien. Das fünfte Postulat von Euklid, das parallele Postulat, ist zum Postulat von Playfair gleichwertig, das feststellt, dass, innerhalb eines zweidimensionalen Flugzeugs, für jede gegebene Linie  und ein Punkt A, der nicht auf  ist, es genau eine Linie durch gibt, der  nicht durchschneidet. In der Hyperbelgeometrie, im Vergleich, gibt es ungeheuer viele Linien durch Ein nicht Schneiden , während in der elliptischen Geometrie jede Linie durch A  durchschneidet (sieh die Einträge auf der Hyperbelgeometrie, elliptischen Geometrie und absoluten Geometrie für mehr Information).

Eine andere Weise, die Unterschiede zwischen dieser Geometrie zu beschreiben, soll zwei Geraden unbestimmt als erweitert in einem zweidimensionalen Flugzeug betrachten, die beide auf einer dritten Linie rechtwinklig sind:

• In der Euklidischen Geometrie bleiben die Linien in einer unveränderlichen Entfernung von einander, selbst wenn verlängert zur Unendlichkeit, und als Parallelen bekannt sind.
• In der Hyperbelgeometrie biegen sie sich "weg" von einander, in der Entfernung zunehmend, weil man sich weiter von den Punkten der Kreuzung mit der allgemeinen Senkrechte bewegt; diese Linien werden häufig Ultraparallelen genannt.
• In der elliptischen Geometrie biegen sich die Linien "zu" einander und schneiden sich.

Geschichte

Frühe Geschichte

Während Euklidische Geometrie, genannt nach dem griechischen Mathematiker Euklid, etwas von der ältesten bekannten Mathematik einschließt, wurde nicht-euklidische Geometrie als legitim bis zum 19. Jahrhundert nicht weit akzeptiert.

Die Debatte, die schließlich zur Entdeckung der nicht-euklidischen Geometrie geführt hat, hat fast begonnen, sobald die Arbeitselemente von Euklid geschrieben wurden. In den Elementen hat Euklid mit einer begrenzten Zahl von Annahmen (23 Definitionen, fünf allgemeine Begriffe und fünf Postulate) begonnen und hat sich bemüht, alle anderen Ergebnisse (Vorschläge) in der Arbeit zu beweisen. Das notorischste von den Postulaten wird häufig "das Fünfte Postulat von Euklid," oder einfach das "parallele Postulat" genannt, das in der ursprünglichen Formulierung von Euklid ist:

Andere Mathematiker haben einfachere Formen dieses Eigentums ausgedacht (sieh paralleles Postulat für gleichwertige Behauptungen). Unabhängig von der Form des Postulates, jedoch, scheint es durchweg, mehr kompliziert zu sein, als die anderen Postulate von Euklid (die zum Beispiel einschließen, "Zwischen irgendwelchen zwei Punkten kann eine Gerade" gezogen werden).

Seit mindestens eintausend Jahren wurden geometers durch die ungleiche Kompliziertheit des fünften Postulates beunruhigt und haben geglaubt, dass es als ein Lehrsatz von den anderen vier bewiesen werden konnte. Viele haben versucht, einen Beweis durch den Widerspruch, einschließlich persischer Mathematiker Ibn al-Haytham (Alhazen, das 11. Jahrhundert), Omar Khayyám (das 12. Jahrhundert) und Nasīr al-Dīn al-Tūsī (das 13. Jahrhundert) und der italienische Mathematiker Giovanni Girolamo Saccheri (das 18. Jahrhundert) zu finden.

Die Lehrsätze von Ibn al-Haytham, Khayyam und al-Tusi auf Vierseiten, einschließlich des Vierseits von Lambert und Vierseits von Saccheri, waren "die ersten paar Lehrsätze des hyperbolischen und der elliptischen Geometrie." Diese Lehrsätze zusammen mit ihren alternativen Postulaten, wie das Axiom von Playfair, haben eine wichtige Rolle in der späteren Entwicklung der nicht-euklidischen Geometrie gespielt. Diese frühen Versuche des Herausforderns des fünften Postulates hatten einen beträchtlichen Einfluss auf seine Entwicklung unter späterem europäischem geometers, einschließlich Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis und Saccheri. Alle diese frühen beim Versuchen gemachten Versuche, nicht-euklidische Geometrie zu formulieren, haben jedoch rissig gemachte Beweise des parallelen Postulates zur Verfügung gestellt, Annahmen enthaltend, die zum parallelen Postulat im Wesentlichen gleichwertig waren. Diese frühen Versuche haben wirklich jedoch einige frühe Eigenschaften der hyperbolischen und elliptischen Geometrie zur Verfügung gestellt.

Khayyam hat zum Beispiel versucht, es von einem gleichwertigen Postulat abzuleiten, das er von "den Grundsätzen des Philosophen" (Aristoteles) formuliert hat: "Zwei konvergente Geraden schneiden sich, und es ist für zwei konvergente Geraden unmöglich, in der Richtung abzuweichen, in der sie zusammenlaufen." Khayyam hat dann das drei Fall-Recht, stumpf, und akut gedacht, den die Gipfel-Winkel eines Vierseits von Saccheri nehmen können und nach dem Beweis mehrerer Lehrsätze über sie, hat er richtig die stumpfen und akuten Fälle widerlegt, die auf seinem Postulat gestützt sind, und hat folglich das klassische Postulat von Euklid abgeleitet, den er nicht begriffen hat, war zu seinem eigenen Postulat gleichwertig. Ein anderes Beispiel ist der Sohn von al-Tusi, Al-Lärm von Sadr (manchmal bekannt als "Pseudo-Tusi"), wer ein Buch auf dem Thema 1298, gestützt auf den späteren Gedanken von al-Tusi geschrieben hat, die eine andere zum parallelen Postulat gleichwertige Hypothese präsentiert haben." Er hat im Wesentlichen sowohl das Euklidische System von Axiomen als auch die Postulate und die Beweise von vielen Vorschlägen von den Elementen revidiert." Seine Arbeit wurde in Rom 1594 veröffentlicht und wurde durch europäischen geometers einschließlich Saccheri studiert, der diese Arbeit sowie diesen von Wallis kritisiert hat.

Giordano Vitale, in seinem Buch Euclide restituo (1680, 1686), hat das Vierseit von Saccheri verwendet, um dass zu beweisen, wenn drei Punkte auf dem Grund-AB und der Gipfel-CD gleich weit entfernt sind, dann sind AB und CD überall gleich weit entfernt.

In einer Arbeit betitelt Euclides ab hat Omni Naevo Vindicatus (Euklid, der von Allen Fehlern befreit ist), veröffentlicht 1733, Saccheri schnell elliptische Geometrie als eine Möglichkeit verworfen (einige andere der Axiome von Euklid müssen für die elliptische Geometrie modifiziert werden, um zu arbeiten), und machen Sie sich an die Arbeit beweisend, dass eine große Zahl dessen auf Hyperbelgeometrie hinausläuft.

Er hat schließlich einen Punkt erreicht, wo er geglaubt hat, dass seine Ergebnisse die Unmöglichkeit der Hyperbelgeometrie demonstriert haben. Sein Anspruch scheint, auf Euklidischen Voraussetzungen basiert zu haben, weil kein logischer Widerspruch da gewesen ist. In diesem Versuch, Euklidische Geometrie zu beweisen, hat er stattdessen unabsichtlich eine neue lebensfähige Geometrie entdeckt, aber hat es nicht begriffen.

1766 hat Johann Lambert geschrieben, aber, hat Theorie der Parallellinien nicht veröffentlicht, in dem er versucht hat, wie Saccheri getan hat, um das fünfte Postulat zu beweisen. Er hat mit einer Zahl gearbeitet, dass heute wir ein Vierseit von Lambert nennen, ein Vierseit mit drei richtigen Winkeln (kann als Hälfte eines Vierseits von Saccheri betrachtet werden). Er hat schnell die Möglichkeit beseitigt, dass der vierte Winkel stumpf ist, wie Saccheri und Khayyam hatte, und dann fortgefahren ist, viele Lehrsätze unter der Annahme eines akuten Winkels zu beweisen. Verschieden von Saccheri hat er nie gefunden, dass er einen Widerspruch mit dieser Annahme erreicht hatte. Er hatte das nicht-euklidische Ergebnis bewiesen, das die Summe der Winkel in einem Dreieck vergrößert, als das Gebiet des Dreiecks abnimmt, und das ihn dazu gebracht hat, über die Möglichkeit eines Modells des akuten Falls auf einem Bereich des imaginären Radius nachzusinnen. Er hat diese Idee noch weiter nicht getragen.

In dieser Zeit wurde es weit geglaubt, dass das Weltall gemäß den Grundsätzen der Euklidischen Geometrie gearbeitet hat.

Entwicklung der nicht-euklidischen Geometrie

Der Anfang des 19. Jahrhunderts würde schließlich entscheidende Schritte in der Entwicklung der nicht-euklidischen Geometrie bezeugen. 1830 haben der ungarische Mathematiker János Bolyai und der russische Mathematiker Nikolai Ivanovich Lobachevsky getrennt Abhandlungen auf der Hyperbelgeometrie veröffentlicht. Folglich wird Hyperbelgeometrie Bolyai-Lobachevskian Geometrie genannt, weil beide Mathematiker, die von einander unabhängig sind, die grundlegenden Autoren der nicht-euklidischen Geometrie sind. Gauss hat dem Vater von Bolyai, wenn gezeigt, die Arbeit des jüngeren Bolyais erwähnt, dass er solch eine Geometrie ungefähr 20 Jahre vorher entwickelt hatte, obwohl er nicht veröffentlicht hat. Während Lobachevsky eine nicht-euklidische Geometrie geschaffen hat, indem er das parallele Postulat verneint hat, hat Bolyai eine Geometrie ausgearbeitet, wo sowohl das Euklidische als auch die Hyperbelgeometrie abhängig von einem Parameter k möglich sind. Bolyai beendet seine Arbeit, indem er erwähnt, dass es nicht möglich ist, durch das mathematische Denken allein zu entscheiden, wenn die Geometrie des physischen Weltalls euklidisch oder nicht-euklidisch ist; das ist eine Aufgabe für die physischen Wissenschaften.

Bernhard Riemann, in einem berühmten Vortrag 1854, hat das Feld der Geometrie von Riemannian gegründet, insbesondere die Ideen jetzt genannt Sammelleitungen, Riemannian metrisch, und Krümmung besprechend.

Er hat eine unendliche Familie der Geometrie gebaut, die durch das Geben einer Formel für eine Familie der Metrik von Riemannian auf dem Einheitsball im Euklidischen Raum nicht Euklidisch ist. Der einfachste von diesen wird elliptische Geometrie genannt, und, wie man betrachtet, ist es eine nicht-euklidische Geometrie wegen seines Mangels an parallelen Linien.

Fachsprache

Es war Gauss, der den Begriff "nicht-euklidische Geometrie" ins Leben gerufen hat. Er bezog sich auf seine eigene Arbeit, die heute wir Hyperbelgeometrie nennen. Mehrere moderne Autoren denken noch, "dass nicht-euklidische Geometrie" und "Hyperbelgeometrie" Synonyme ist. 1871 war Felix Klein, indem er einen metrischen angepasst hat, der von Arthur Cayley 1852, besprochen ist, im Stande, metrisch Eigenschaften in projektiv Einstellung bringen, und war deshalb im Stande, Behandlungen hyperbolisch, euklidisch und elliptisch Geometrie unter Regenschirm projektiv Geometrie vereinigen. Klein ist für die Begriffe "hyperbolischer" verantwortlich und "elliptisch" (in seinem System er hat Euklidische Geometrie "parabolisch", ein Begriff genannt, der den Test der Zeit nicht überlebt hat). Sein Einfluss hat zum aktuellen Gebrauch des Begriffes "nicht-euklidische Geometrie" geführt, um entweder "hyperbolische" oder "elliptische" Geometrie zu bedeuten.

Es gibt einige Mathematiker, die die Liste der Geometrie erweitern würden, die "nicht-euklidisch" auf verschiedene Weisen genannt werden sollte. In anderen Disziplinen, am meisten namentlich mathematischer Physik, wird der Begriff "nicht-euklidischer" häufig genommen, um nicht Euklidisch zu bedeuten.

Axiomatische Basis der nicht-euklidischen Geometrie

Euklidische Geometrie kann auf mehrere Weisen axiomatisch beschrieben werden. Leider ist das ursprüngliche System von Euklid von fünf Postulaten (Axiome) nicht einer von diesen, weil sich seine Beweise auf mehrere unfestgesetzte Annahmen verlassen haben, die auch als Axiome genommen worden sein sollten. Das System von Hilbert, das aus 20 Axiomen am nächsten besteht, folgt der Annäherung von Euklid und stellt die Rechtfertigung für alle Beweise von Euklid zur Verfügung. Andere Systeme das Verwenden erhalten verschiedene Sätze von unbestimmten Begriffen dieselbe Geometrie durch verschiedene Pfade. In allen Annäherungen, jedoch, gibt es ein Axiom, das zum fünften Postulat von Euklid, dem parallelen Postulat logisch gleichwertig ist. Hilbert verwendet die Axiom-Form von Playfair, während Birkhoff zum Beispiel das Axiom verwendet, das sagt, dass "dort ein Paar von ähnlichen, aber nicht kongruenten Dreiecken besteht." In einigen dieser Systeme erzeugt die Eliminierung eines Axioms, das zum parallelen Postulat in beliebiger Form gleichwertig ist, die es, und das Verlassen aller anderen intakten Axiome annimmt, absolute Geometrie. Da die ersten 28 Vorschläge von Euklid (in Den Elementen) den Gebrauch des parallelen Postulates oder irgendetwas Gleichwertigen dazu nicht verlangen, sind sie alle wahren Behauptungen in der absoluten Geometrie.

Um eine nicht-euklidische Geometrie zu erhalten, muss das parallele Postulat (oder seine Entsprechung) durch seine Ablehnung ersetzt werden. Das Verneinen der Axiom-Form von Playfair, da es eine zusammengesetzte Behauptung ist (... dort besteht ein und nur ein...) Kann auf zwei Weisen getan werden. Entweder dort wird mehr als eine Linie durch die Punkt-Parallele zur gegebenen Linie bestehen oder dort wird keine Linien durch die Punkt-Parallele zur gegebenen Linie bestehen. Im ersten Fall, das parallele Postulat (oder seine Entsprechung) mit der Behauptung "In einem Flugzeug, in Anbetracht eines Punkts P und einer Linie l nicht ersetzend, P durchgehend, dort bestehen zwei Linien durch P, die l" und das Halten aller anderen Axiome nicht entsprechen, gibt Hyperbelgeometrie nach. Der zweite Fall wird als leicht nicht befasst. Einfach das Ersetzen des parallelen Postulates mit der Behauptung, "In einem Flugzeug, in Anbetracht eines Punkts P und einer Linie l nicht, P durchgehend, entsprechen alle Linien durch P l", gibt keine konsistente Menge von Axiomen. Das folgt, da parallele Linien in der absoluten Geometrie bestehen, aber diese Behauptung sagt, dass es keine parallelen Linien gibt. Dieses Problem war (in einer verschiedenen Gestalt) Khayyam, Saccheri und Lambert bekannt und war die Basis für ihre Zurückweisung, was als der "stumpfe Winkelfall" bekannt war. Um eine konsistente Menge von Axiomen zu erhalten, die dieses Axiom darüber einschließt, keine parallelen Linien zu haben, müssen einige der anderen Axiome gezwickt werden. Die zu machenden Anpassungen hängen vom Axiom-System ab, das wird verwendet. Unter anderen werden diese Kniffe die Wirkung haben, das zweite Postulat von Euklid von der Behauptung zu modifizieren, dass Liniensegmente unbestimmt zur Behauptung erweitert werden können, dass Linien unbegrenzt sind. Die elliptische Geometrie von Riemann erscheint als die natürlichste Geometrie, die dieses Axiom befriedigt.

Modelle der nicht-euklidischen Geometrie

Zwei dimensionale Euklidische Geometrie wird durch unseren Begriff eines "flachen Flugzeugs modelliert."

Elliptische Geometrie

Das einfachste Modell für die elliptische Geometrie ist ein Bereich, wo Linien "große Kreise" sind (wie der Äquator oder die Meridiane auf einem Erdball), und Punkte gegenüber einander (gerufen hat, antipodische Punkte) werden (betrachtet identifiziert, dasselbe zu sein). Das ist auch eines der Standardmodelle des echten projektiven Flugzeugs. Der Unterschied ist, dass als ein Modell der elliptischen Geometrie ein metrischer eingeführt wird, das Maß von Längen und Winkeln, während als ein Modell des projektiven Flugzeugs erlaubend, gibt es nicht solches metrisches.

Im elliptischen Modell, für jede gegebene Linie  und ein Punkt A, der nicht auf  ist, werden alle Linien durch A  durchschneiden.

Hyperbelgeometrie

Sogar nach der Arbeit von Lobachevsky, Gauss und Bolyai, ist die Frage geblieben: Besteht solch ein Modell für die Hyperbelgeometrie? Auf das Modell für die Hyperbelgeometrie wurde von Eugenio Beltrami 1868 geantwortet, wer zuerst gezeigt hat, dass eine Oberfläche gerufen hat, hat der Pseudobereich die passende Krümmung, um einen Teil des Hyperbelraums, und in einer zweiten Zeitung in demselben Jahr zu modellieren, hat das Modell von Klein definiert, das die Gesamtheit des Hyperbelraums modelliert, und das verwendet hat, um zu zeigen, dass Euklidische Geometrie und Hyperbelgeometrie equiconsistent waren, so dass Hyperbelgeometrie logisch entsprochen hat, wenn, und nur wenn Euklidische Geometrie war. (Die Rückimplikation folgt aus dem horosphere Modell der Euklidischen Geometrie.)

Im Hyperbelmodell, innerhalb eines zweidimensionalen Flugzeugs, für jede gegebene Linie  und ein Punkt A, der nicht auf  ist, gibt es ungeheuer viele Linien durch, die  nicht durchschneiden.

In diesen Modellen werden die Konzepte der nicht-euklidischen Geometrie durch Euklidische Gegenstände in einer Euklidischen Einstellung vertreten. Das führt eine perceptual Verzerrung ein, worin die Geraden der nicht-euklidischen Geometrie durch Euklidische Kurven vertreten werden, die sich visuell biegen. Dieses "Verbiegen" ist nicht ein Eigentum der nicht-euklidischen Linien, nur ein Kunstgriff der Weise, wie sie vertreten werden.

Ungewöhnliche Eigenschaften

Euklidische und nicht-euklidische Geometrie hat natürlich viele ähnliche Eigenschaften, nämlich diejenigen, die von der Natur des Parallelismus nicht abhängen. Diese Allgemeinheit ist das Thema der neutralen Geometrie (auch hat absolute Geometrie genannt). Jedoch sind die Eigenschaften, die eine Geometrie von anderen unterscheiden, diejenigen, die den grössten Teil der Aufmerksamkeit historisch erhalten haben.

Außer dem Verhalten von Linien in Bezug auf eine allgemeine Senkrechte, die in der Einführung erwähnt ist, haben wir auch den folgenden:

• Ein Vierseit von Lambert ist ein Vierseit, das drei richtige Winkel hat. Der vierte Winkel eines Vierseits von Lambert ist akut, wenn die Geometrie, ein richtiger Winkel hyperbolisch ist, wenn die Geometrie euklidisch oder stumpf ist, wenn die Geometrie elliptisch ist. Folglich bestehen Rechtecke nur in der Euklidischen Geometrie.
• Ein Saccheri Vierseit ist ein Vierseit, das zwei Seiten der gleichen Länge hat, hat beide Senkrechte zu einer Seite die Basis genannt. Die anderen zwei Winkel eines Vierseits von Saccheri werden die Gipfel-Winkel genannt, und sie haben gleiches Maß. Die Gipfel-Winkel eines Vierseits von Saccheri sind akut, wenn die Geometrie hyperbolische, richtige Winkel ist, wenn die Geometrie Euklidische und stumpfe Winkel ist, wenn die Geometrie elliptisch ist.
• Die Summe der Maßnahmen der Winkel jedes Dreiecks ist weniger als 180 °, wenn die Geometrie hyperbolisch, 180 ° gleich ist, wenn die Geometrie euklidisch, und größer ist als 180 °, wenn die Geometrie elliptisch ist. Der Defekt eines Dreiecks ist der numerische Wert (180 ° - Summe der Maßnahmen der Winkel des Dreiecks). Dieses Ergebnis kann auch als festgesetzt werden: Der Defekt von Dreiecken in der Hyperbelgeometrie ist positiv, der Defekt von Dreiecken in der Euklidischen Geometrie ist Null, und der Defekt von Dreiecken in der elliptischen Geometrie ist negativ.

Wichtigkeit

Nicht-euklidische Geometrie ist ein Beispiel einer Paradigma-Verschiebung in der Geschichte der Wissenschaft. Bevor die Modelle eines nicht-euklidischen Flugzeugs von Beltrami, Klein und Poincaré präsentiert wurden, hat Euklidische Geometrie unbestritten als das mathematische Modell des Raums gestanden. Außerdem, da die Substanz des Themas in der synthetischen Geometrie ein Hauptausstellungsstück der Vernunft war, hat der Euklidische Gesichtspunkt absolute Autorität vertreten. Nicht-euklidische Geometrie, obwohl assimiliert, durch gelehrte Ermittlungsbeamte, setzt fort, Verdächtiger für diejenigen zu sein, die nicht Aussetzung von hyperbolischen und elliptischen Konzepten haben.

Die Entdeckung der nicht-euklidischen Geometrie hatte eine Kräuselungswirkung, die weit außer den Grenzen der Mathematik und Wissenschaft gegangen ist. Die Behandlung des Philosophen Immanuel Kant von menschlichen Kenntnissen hatte eine spezielle Rolle für die Geometrie. Es war sein Hauptbeispiel von synthetischen a priori Kenntnissen; nicht abgeleitet aus den Sinnen noch abgeleitet durch die Logik - unsere Kenntnisse des Raums waren eine Wahrheit, dass mit uns Geduld gehabt wurde. Leider für Kant war sein Konzept dieser unveränderlich wahren Geometrie Euklidisch. Theologie wurde auch durch die Änderung von der absoluten Wahrheit bis Verhältniswahrheit in der Mathematik betroffen, die ein Ergebnis dieser Paradigma-Verschiebung war.

Die Existenz der nicht-euklidischen Geometrie hat das "intellektuelle Leben" des viktorianischen Englands auf viele Weisen zusammengepresst und war insbesondere einer der Hauptfaktoren, die eine Nachprüfung des Unterrichtens der auf den Elementen von Euklid gestützten Geometrie verursacht haben. Dieses Lehrplan-Problem wurde zurzeit heiß diskutiert und war sogar das Thema eines Spieles, Euklids und seiner Modernen Rivalen, die vom Autor von Alice im Märchenland geschrieben sind.

Planare Algebra

In der analytischen Geometrie wird ein Flugzeug mit Kartesianischen Koordinaten beschrieben: C = {(x, y): x, y in R\. Die Punkte werden manchmal mit hyperkomplexen Zahlen z = x + y ε identifiziert, wo das Quadrat von ε in {−1, 0, +1} ist.

Das Euklidische Flugzeug entspricht dem Fall ε = −1, da das Modul von z durch gegeben wird

und diese Menge ist das Quadrat der Euklidischen Entfernung zwischen z und dem Ursprung.

Zum Beispiel, {z: z z* = ist 1\der Einheitskreis.

Für die planare Algebra entsteht nicht-euklidische Geometrie in den anderen Fällen.

Wenn dann z eine komplexe Zahl des Spalts ist und herkömmlich j Epsilon ersetzt. Dann

und {z: z z* = ist 1\die Einheitshyperbel.

Wenn dann z eine Doppelzahl ist.

Diese Annäherung an die nicht-euklidische Geometrie erklärt die nicht-euklidischen Winkel: Die Rahmen des Hangs im Doppelzahl-Flugzeug und Hyperbelwinkels im mit dem Spalt komplizierten Flugzeug entsprechen zum Winkel in der Euklidischen Geometrie. Tatsächlich sie entsteht jeder in der polaren Zergliederung einer komplexen Zahl z.

Kinematische Geometrie

Hyperbelgeometrie hat eine Anwendung in kinematics mit der Kosmologie eingeführt von Herman Minkowski 1908 gefunden. Minkowski hat Begriffe wie worldline und richtige Zeit in die mathematische Physik eingeführt. Er hat begriffen, dass die Subsammelleitung, Ereignisse ein Moment der richtigen Zeit in die Zukunft, als ein Hyperbelraum von drei Dimensionen betrachtet werden konnte.

Bereits in den 1890er Jahren plante Alexander Macfarlane diese Subsammelleitung durch seine Algebra der Physik und hyperbolischen quaternions, obwohl Macfarlane kosmologische Sprache nicht verwendet hat, wie Minkowski 1908 getan hat. Die relevante Struktur wird jetzt das hyperboloid Modell der Hyperbelgeometrie genannt.

Die nicht-euklidischen planaren Algebra unterstützen kinematische Geometrie im Flugzeug. Zum Beispiel kann die komplexe Zahl des Spalts z = e ein Raum-Zeit-Ereignis ein Moment in die Zukunft eines Bezugssystems der Schnelligkeit a vertreten. Außerdem beläuft sich die Multiplikation durch z auf eine Zunahme von Lorentz, die den Rahmen mit der Schnelligkeitsnull dazu mit der Schnelligkeit a kartografisch darstellt.

Kinematische Studie macht von den Doppelzahlen Gebrauch, um die klassische Beschreibung der Bewegung in der absoluten Zeit und Raum zu vertreten:

Die Gleichungen sind zu einem in der geradlinigen Algebra kartografisch darstellenden Scheren gleichwertig:

Mit Doppelzahlen kartografisch darzustellen, ist

Eine andere Ansicht von der speziellen Relativität als eine nicht-euklidische Geometrie wurde von E. B. Wilson und Gilbert Lewis in Verhandlungen der amerikanischen Kunstakademie und Wissenschaften 1912 vorgebracht. Sie haben die analytische Geometrie aufgemöbelt, die in der Algebra der komplexen Zahl des Spalts in die synthetische Geometrie von Propositionen und Abzügen implizit ist.

Fiktion

Nicht-euklidische Geometrie macht häufig Anschein in Arbeiten der Sciencefiction und Fantasie.

1895 hat H. G. Wells die Novelle Der Bemerkenswerte Fall der Augen von Davidson veröffentlicht. Um diese Geschichte zu schätzen, sollte man wissen, wie antipodische Punkte auf einem Bereich in einem Modell des elliptischen Flugzeugs identifiziert werden. In der Geschichte, in der Mitte eines Gewitters, sieht Sidney Davidson "Wellen und einen bemerkenswert ordentlichen Schoner", während er in einem elektrischen Laboratorium an der Harlow Fachschule arbeitet. Am nahen Davidson der Geschichte erweist sich, H.M.S bezeugt zu haben. Eissturmvogel von der Antipode-Insel.

Nicht-euklidische Geometrie wird manchmal mit dem Einfluss des Entsetzen-Fiktionsschriftstellers des 20. Jahrhunderts H. P. Lovecraft verbunden. In seinen Arbeiten folgen viele unnatürliche Dinge ihren eigenen einzigartigen Gesetzen der Geometrie: Im Cthulhu Mythos von Lovecraft wird die versunkene Stadt R'lyeh durch seine nicht-euklidische Geometrie charakterisiert. Wie man sagt, ist das ein tief beunruhigender Anblick häufig zum Punkt, diejenigen zu steuern, die ihn wahnsinnig betrachten.

Der Hauptcharakter im Zen von Robert Pirsig und der Kunst der Motorrad-Wartung hat Riemannian Geometry bei vielfachen Gelegenheiten erwähnt.

In Den Brüdern Karamazov bespricht Dostoevsky nicht-euklidische Geometrie durch seinen Hauptcharakter Ivan.

Priester von Christopher Die Umgekehrte Welt beschreibt den Kampf des Lebens von einem Planeten mit der Form eines rotierenden Pseudobereichs.

Robert Heinlein Die Zahl des Biestes verwertet nicht-euklidische Geometrie, um sofortigen Transport durch die Zeit und Raum und zwischen dem parallelen und erfundenen Weltall zu erklären.

Der Antiraum von Alexander Bruce verwendet nicht-euklidische Geometrie, um eine hervorragende, minimale, Escher ähnliche Welt zu schaffen, wo Geometrie und Raum fremden Regeln folgen.

In der Tückishen Legionssciencefiction, die für den wargame von FASA, Spielen-Spiel der Rolle und Fiktion als Licht schneller untergeht, sind Reisen und Kommunikationen durch den Gebrauch der Polydimensionalen Nicht-euklidischen Geometrie von Hsieh Ho, veröffentlicht einmal in der Mitte des zweiundzwanzigsten Jahrhunderts möglich.

Siehe auch

• Hyperbelraum
• Projektive Geometrie
• Die Kritik von Schopenhauer der Beweise des Parallelen Postulates

Referenzen

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Links

• Roberto Bonola (1912) nicht-euklidische Geometrie, offenes Gericht, Chicago.
• Artikel Archive von MacTutor über die nicht-euklidische Geometrie
• Nicht-euklidische Geometrie von der Enzyklopädie der Mathematik der europäischen Mathematischen Gesellschaft und des Springers Science+Business Medien
• Synthetische Raum-Zeit, eine Auswahl der Axiome verwendet, und Lehrsätze haben sich, durch Wilson und Lewis erwiesen. Archiviert von WebCite.