In der Topologie und den verwandten Gebieten der Mathematik ist ein Produktraum das kartesianische Produkt einer Familie von topologischen Räumen, die mit einer natürlichen Topologie ausgestattet sind, genannt die Produkttopologie. Diese Topologie unterscheidet sich von einem anderen, vielleicht offensichtlicher, Topologie hat die Kasten-Topologie genannt, die auch einem Produktraum gegeben werden kann, und die mit der Produkttopologie übereinstimmt, wenn das Produkt über nur begrenzt viele Räume ist. Jedoch ist die Produkttopologie darin "richtig" sie macht den Produktraum ein kategorisches Produkt seiner Faktoren, wohingegen die Kasten-Topologie zu fein ist; das ist der Sinn, in dem die Produkttopologie "natürlich" ist.

Definition

In Anbetracht X solch dass

:

oder (vielleicht unendlich) Kartesianisches Produkt der topologischen Räume X, mit einem Inhaltsverzeichnis versehen durch, und die kanonischen Vorsprünge p: X → X wird die Produkttopologie auf X definiert, um die rauste Topologie zu sein (d. h. die Topologie mit wenigsten offenen Sätzen), für den alle Vorsprünge p dauernd sind. Die Produkttopologie wird manchmal die Topologie von Tychonoff genannt.

Die offenen Sätze in der Produkttopologie sind Vereinigungen (begrenzt oder unendlich) von Sätzen der Form, wo jeder U in X und U  X nur begrenzt oft offen ist.

Die Produkttopologie auf X ist die Topologie, die durch Sätze der Form p (U) erzeugt ist, wo ich in mir und U eine offene Teilmenge X sind. Mit anderen Worten bilden die Sätze {p (U)} eine Subbasis für die Topologie auf X. Eine Teilmenge X ist offen, wenn, und nur wenn es (vielleicht unendlich) Vereinigung von Kreuzungen von begrenzt vielen Sätzen der Form p (U) ist. Die p (U) werden manchmal offene Zylinder genannt, und ihre Kreuzungen sind Zylindersätze.

Wir können eine Basis für die Produkttopologie mit Basen der Festsetzen-Räume X beschreiben. Eine Basis besteht aus Sätzen, wo für cofinitely viele (alle außer begrenzt vielen) ich, (ist es der ganze Raum), und sonst es ein grundlegender offener Satz dessen ist.

Insbesondere für ein begrenztes Produkt (insbesondere für das Produkt von zwei topologischen Räumen), geben die Produkte von Grundelementen der X eine Basis für das Produkt.

Im Allgemeinen, das Produkt der Topologien von jedem X Formen eine Basis dafür, was die Kasten-Topologie auf X genannt wird. Im Allgemeinen ist die Kasten-Topologie feiner als die Produkttopologie, aber für begrenzte Produkte fallen sie zusammen.

Beispiele

Wenn man mit der Standardtopologie auf der echten Linie R anfängt und eine Topologie auf dem Produkt von n Kopien von R auf diese Mode definiert, erhält man die gewöhnliche Euklidische Topologie auf R.

Der Kantor ist untergegangen ist homeomorphic zum Produkt von zählbar vielen Kopien des getrennten Raums {0,1}, und der Raum von irrationalen Zahlen ist homeomorphic zum Produkt von zählbar vielen Kopien der natürlichen Zahlen, wohin wieder jede Kopie die getrennte Topologie trägt.

Mehrere zusätzliche Beispiele werden im Artikel über die anfängliche Topologie angeführt.

Eigenschaften

Der Produktraum X, zusammen mit den kanonischen Vorsprüngen, kann durch das folgende universale Eigentum charakterisiert werden: Wenn Y ein topologischer Raum, und für jeden ich in mir, f ist: Y → X ist eine dauernde Karte, dann dort besteht genau eine dauernde Karte f: Y → X solch, dass für jeden ich in mir das folgende Diagramm pendelt:

Das zeigt, dass der Produktraum ein Produkt in der Kategorie von topologischen Räumen ist. Wenn aus dem obengenannten universalen Eigentum dass eine Karte f folgt: Y → X ist dauernd, wenn, und nur wenn f = p o f für alles ich in mir dauernd ist. In vielen Fällen ist es häufig leichter zu überprüfen, dass die Teilfunktionen f dauernd sind. Die Überprüfung ob eine Karte g: X→ Z ist dauernd ist gewöhnlich schwieriger; man versucht, die Tatsache zu verwenden, dass die p irgendwie dauernd sind.

Zusätzlich dazu, dauernd, die kanonischen Vorsprünge p zu sein: X → X sind offene Karten. Das bedeutet, dass jede offene Teilmenge des Produktraums offen, wenn geplant, unten zu den X bleibt. Das gegenteilige ist nicht wahr: Wenn W ein Subraum des Produktraums ist, dessen Vorsprünge unten zu allen X offen sind, dann braucht W nicht in X. offen zu sein (Ziehen Sie zum Beispiel W = R \(0,1) in Betracht.) Werden die kanonischen Vorsprünge Karten nicht allgemein geschlossen (denken Sie zum Beispiel den geschlossenen Satz, dessen Vorsprünge auf beide Äxte R \{0} sind).

Die Produkttopologie wird auch die Topologie der pointwise Konvergenz wegen der folgenden Tatsache genannt: Eine Folge (oder Netz) in X läuft zusammen, wenn, und nur wenn alle seine Vorsprünge zu den Räumen X zusammenlaufen. Insbesondere wenn man den Raum X = R aller echten geschätzten Funktionen auf mir denkt, ist die Konvergenz in der Produkttopologie dasselbe als pointwise Konvergenz von Funktionen.

Jedes Produkt von geschlossenen Teilmengen X ist ein geschlossener Satz in X.

Ein wichtiger Lehrsatz über die Produkttopologie ist der Lehrsatz von Tychonoff: Jedes Produkt von Kompakträumen ist kompakt. Das ist leicht, sich für begrenzte Produkte zu zeigen, während die allgemeine Behauptung zum Axiom der Wahl gleichwertig ist.

Beziehung zu anderen topologischen Begriffen

• Trennung
• Jedes Produkt von T Räumen ist T

Jedes Produkt von T Räumen ist T

• Jedes Produkt von Räumen von Hausdorff ist Hausdorff
• Jedes Produkt von regelmäßigen Räumen ist regelmäßiger
• Jedes Produkt von Räumen von Tychonoff ist Tychonoff
• Ein Produkt von normalen Räumen braucht nicht normaler zu sein
• Kompaktheit
• Jedes Produkt von Kompakträumen ist (der Lehrsatz von Tychonoff) kompakt
• Ein Produkt lokal kompakter Räume braucht nicht lokal kompakt zu sein. Jedoch ist ein willkürliches Produkt lokal kompakter Räume, wo alle außer begrenzt vielen kompakt sind, lokal kompakt (Diese Bedingung ist genügend und notwendig).
• Zusammenhang
• Jedes Produkt von verbundenen (resp. Pfad-verbunden) Räume wird (resp. Pfad-verbunden) verbunden
• Jedes Produkt von getrennten Räumen von hereditarily ist getrennter hereditarily.

Axiom der Wahl

Das Axiom der Wahl ist zur Behauptung gleichwertig, dass das Produkt einer Sammlung von nichtleeren Sätzen nichtleer ist. Der Beweis ist leicht genug: Man muss nur ein Element von jedem Satz aufpicken, um einen Vertreter im Produkt zu finden. Umgekehrt ist ein Vertreter des Produktes ein Satz, der genau ein Element von jedem Bestandteil enthält.

Das Axiom der Wahl kommt wieder in der Studie von (topologischen) Produkträumen vor; zum Beispiel ist der Lehrsatz von Tychonoff auf Kompaktsätzen ein komplizierteres und feines Beispiel einer Behauptung, die zum Axiom der Wahl gleichwertig ist.

Siehe auch

• Zusammenhanglose Vereinigung (Topologie)
• Projektive Grenze-Topologie
• Quotient-Raum
• Subraum (Topologie)

Referenzen

• Stephen Willard, allgemeine Topologie, (1970) Addison Wesley Publishing Company, Massachusetts lesend.

Links