In der Topologie und den verwandten Zweigen der Mathematik ist ein topologischer Raum X ein T Raum oder Raum von Kolmogorov, wenn für jedes Paar von verschiedenen Punkten X mindestens ein von ihnen eine offene Nachbarschaft haben, die nicht den anderen enthält. Diese Bedingung, genannt die T Bedingung, ist eines der Trennungsaxiome. Seine intuitive Bedeutung ist, dass die Punkte X topologisch unterscheidbar sind. Diese Räume werden nach Andrey Kolmogorov genannt.

Definition

Ein T Raum ist ein topologischer Raum, in dem jedes Paar von verschiedenen Punkten topologisch unterscheidbar ist. D. h. für irgendwelche zwei verschiedenen Punkte x und y dort ist ein offener Satz, der einen dieser Punkte und nicht des anderen enthält.

Bemerken Sie, dass topologisch unterscheidbare Punkte automatisch verschieden sind. Andererseits, wenn der Singleton {x} untergeht und {y} getrennt werden, dann müssen die Punkte x und y topologisch unterscheidbar sein. Das, ist

:separated  topologisch unterscheidbarer  verschiedener

Das Eigentum, topologisch unterscheidbar zu sein, ist im Allgemeinen, stärker als, verschieden, aber schwächer zu sein, als, getrennt zu werden. In einem T Raum, dem zweiten Pfeil über Rückseiten; Punkte sind verschieden, wenn, und nur wenn sie unterscheidbar sind. Das ist, wie das T Axiom mit dem Rest der Trennungsaxiome einfügt.

Beispiele und Nichtbeispiele

Fast alle topologischen in der Mathematik normalerweise studierten Räume sind T. Insbesondere alle Hausdorff (T) Räume und T Räume sind T.

Räume, die nicht T sind

• Ein Satz mit mehr als einem Element, mit der trivialen Topologie. Keine Punkte sind unterscheidbar.
• Der Satz R, wo die offenen Sätze das Kartesianische Produkt eines offenen Satzes in R und R selbst, d. h., die Produkttopologie von R mit der üblichen Topologie und R mit der trivialen Topologie sind; Punkte (a, b) und (a, c) sind nicht unterscheidbar.
• Der Raum aller messbaren Funktionen f von der echten Linie R zum komplizierten Flugzeug C solch, dass Lebesgue, der von f (x) über die komplette echte Linie integriert ist, begrenzt ist. Zwei Funktionen, die fast überall gleich sind, sind nicht zu unterscheidend. Siehe auch unten.

Räume, die T, aber nicht T sind

• Die Topologie von Zariski auf Spec(R), das Hauptspektrum eines Ersatzrings R ist immer T, aber allgemein nicht T. Die nichtgeschlossenen Punkte entsprechen Hauptidealen, die nicht maximal sind. Sie sind für das Verstehen von Schemas wichtig.
• Die besondere Punkt-Topologie auf jedem Satz mit mindestens zwei Elementen ist T, aber nicht T, da der besondere Punkt nicht geschlossen wird (sein Verschluss ist der ganze Raum). Ein wichtiger spezieller Fall ist der Raum von Sierpiński, der die besondere Punkt-Topologie auf dem Satz {0,1} ist.
• Die ausgeschlossene Punkt-Topologie auf jedem Satz mit mindestens zwei Elementen ist T, aber nicht T. Der einzige geschlossene Punkt ist der ausgeschlossene Punkt.
• Die Topologie von Alexandrov auf einem teilweise bestellten Satz ist T, aber wird nicht T sein, wenn die Ordnung nicht getrennt ist (stimmt mit Gleichheit überein). Jeder begrenzte T Raum ist dieses Typs. Das schließt auch den besonderen Punkt und die ausgeschlossenen Punkt-Topologien als spezielle Fälle ein.
• Die richtige Ordnungstopologie auf einem völlig bestellten Satz ist ein zusammenhängendes Beispiel.
• Die überlappende Zwischenraum-Topologie ist der besonderen Punkt-Topologie ähnlich, da jeder offene Satz 0 einschließt.
• Ganz allgemein wird ein topologischer Raum X T sein, wenn, und nur wenn die Spezialisierungsvorordnung auf X eine teilweise Ordnung ist. Jedoch, X wird T sein, wenn, und nur wenn die Ordnung getrennt ist (d. h. stimmt mit Gleichheit überein). So wird ein Raum T, aber nicht T sein, wenn, und nur wenn die Spezialisierungsvorordnung auf X eine nichtgetrennte teilweise Ordnung ist.

Das Funktionieren mit T Räumen

Beispiele des topologischen normalerweise studierten Raums sind T.

Tatsächlich, wenn Mathematiker in vielen Feldern, namentlich Analyse, natürlich auf non-T Räume stoßen, ersetzen sie sie gewöhnlich durch T Räume, um gewissermaßen unten beschrieben zu werden. Um die beteiligten Ideen zu motivieren, denken Sie ein wohl bekanntes Beispiel. RaumL(R) wird gemeint, um der Raum aller messbaren Funktionen f von der echten Linie R zum komplizierten Flugzeug C solch zu sein, dass Lebesgue, der von |f (x) | über die komplette echte Linie integriert ist, begrenzt ist.

Dieser Raum sollte ein normed Vektorraum durch das Definieren der Norm || f werden, um die Quadratwurzel dieses Integrals zu sein. Das Problem besteht darin, dass das nicht wirklich eine Norm, nur eine Halbnorm ist, weil es Funktionen außer der Nullfunktion gibt, deren (halb)-Normen Null sind.

Die Standardlösung ist, L(R) zu definieren, um eine Reihe von Gleichwertigkeitsklassen von Funktionen statt einer Reihe von Funktionen direkt zu sein.

Das baut einen Quotient-Raum des ursprünglichen seminormed Vektorraums, und dieser Quotient ist ein normed Vektorraum. Es erbt mehrere günstige Eigenschaften vom seminormed Raum; sieh unten.

Im Allgemeinen, wenn, sich mit einer festen Topologie T auf einem Satz X befassend, es nützlich ist, wenn diese Topologie T ist. Andererseits, wenn X befestigt wird, aber T wird erlaubt, sich innerhalb von bestimmten Grenzen zu ändern, T zu zwingen, T zu sein, kann ungünstig sein, seitdem non-T Topologien sind häufig wichtige spezielle Fälle. So kann es wichtig sein, sowohl T als auch non-T Versionen der verschiedenen Bedingungen zu verstehen, die auf einem topologischen Raum gelegt werden können.

Der Quotient von Kolmogorov

Topologischer indistinguishability von Punkten ist eine Gleichwertigkeitsbeziehung. Egal was topologischer Raum X zunächst sein könnte, ist der Quotient-Raum unter dieser Gleichwertigkeitsbeziehung immer T. Dieser Quotient-Raum wird den Quotienten von Kolmogorov X genannt, der wir KQ (X) anzeigen werden. Natürlich, wenn X T zunächst war, dann sind KQ (X) und X natürlich homeomorphic.

Kategorisch sind Räume von Kolmogorov eine reflektierende Unterkategorie von topologischen Räumen, und der Quotient von Kolmogorov ist der Reflektor.

Topologische Räume X und Y sind gleichwertiger Kolmogorov, wenn ihre Quotienten von Kolmogorov homeomorphic sind. Viele Eigenschaften von topologischen Räumen werden durch diese Gleichwertigkeit bewahrt; d. h. wenn X und Y gleichwertiger Kolmogorov sind, dann X hat solch ein Eigentum, wenn, und nur wenn Y tut.

Andererseits beziehen die meisten anderen Eigenschaften von topologischen Räumen T-Vorgebirge ein; d. h. wenn X solch ein Eigentum hat, dann X muss T sein.

Nur einige Eigenschaften, solcher als seiend ein homogener Raum, sind Ausnahmen zu dieser Faustregel.

Noch besser können viele auf topologischen Räumen definierte Strukturen zwischen X und KQ (X) übertragen werden.

Das Ergebnis besteht darin, dass, wenn Sie einen non-T topologischen Raum mit einer bestimmten Struktur oder Eigentum dann haben, Sie gewöhnlich einen T Raum mit denselben Strukturen und Eigenschaften bilden können, indem Sie den Quotienten von Kolmogorov nehmen.

Das Beispiel von L(R) zeigt diese Eigenschaften.

Aus dem Gesichtswinkel von der Topologie hat der seminormed Vektorraum, mit dem wir angefangen haben, viel Extrastruktur; zum Beispiel ist es ein Vektorraum, und es hat eine Halbnorm, und diese definieren einen pseudometrischen und eine gleichförmige Struktur, die mit der Topologie vereinbar sind.

Außerdem gibt es mehrere Eigenschaften dieser Strukturen; zum Beispiel befriedigt die Halbnorm die Parallelogramm-Identität, und die gleichförmige Struktur ist abgeschlossen. Der Raum ist nicht T seit irgendwelchen zwei Funktionen in L(R), die fast gleich sind, überall sind mit dieser Topologie nicht zu unterscheidend.

Wenn wir den Quotienten von Kolmogorov bilden, werden wirklicher L(R), diese Strukturen und Eigenschaften bewahrt.

So ist L(R) auch ein ganzer seminormed Vektorraum, der die Parallelogramm-Identität befriedigt.

Aber wir kommen wirklich ein bisschen mehr, da der Raum jetzt T ist.

Eine Halbnorm ist eine Norm, wenn, und nur wenn die zu Grunde liegende Topologie T ist, so ist L(R) wirklich ein ganzer normed Vektorraum, der die Parallelogramm-Identität - sonst bekannt als ein Raum von Hilbert befriedigt.

Und es ist ein Raum von Hilbert, den Mathematiker (und Physiker, in der Quant-Mechanik) allgemein studieren wollen. Bemerken Sie, dass die Notation L(R) zeigt gewöhnlich den Quotienten von Kolmogorov, den Satz von Gleichwertigkeitsklassen des Quadrats integrable Funktionen an, die sich auf Sätzen der Maß-Null, aber nicht einfach dem Vektorraum des Quadrats integrable Funktionen unterscheiden, die die Notation andeutet.

Das Entfernen T

Obwohl Normen zuerst historisch definiert wurden, haben Leute die Definition der Halbnorm ebenso präsentiert, die eine Art non-T Version einer Norm ist. Im Allgemeinen ist es möglich, non-T Versionen sowohl von Eigenschaften als auch von Strukturen von topologischen Räumen zu definieren. Denken Sie erstens ein Eigentum von topologischen Räumen, solcher als seiend Hausdorff. Man kann dann ein anderes Eigentum von topologischen Räumen definieren, indem man den Raum X definiert, um das Eigentum zu befriedigen, wenn, und nur wenn der Quotient von Kolmogorov KQ (X) Hausdorff ist. Das ist ein vernünftiger, obgleich weniger berühmt, Eigentum; in diesem Fall wird solch ein Raum X vorregelmäßig genannt. (Es erweist sich sogar, eine direktere Definition der Vorregelmäßigkeit zu geben). Denken Sie jetzt eine Struktur, die auf topologischen Räumen, solcher als ein metrischer gelegt werden kann. Wir können eine neue Struktur auf topologischen Räumen definieren, indem wir ein Beispiel der Struktur auf X einfach ein metrischer auf KQ (X) sein lassen. Das ist eine vernünftige Struktur auf X; es ist ein pseudometrischer. (Wieder gibt es eine direktere Definition von pseudometrischen.)

Auf diese Weise gibt es eine natürliche Weise, T-Vorgebirge von den Voraussetzungen für ein Eigentum oder Struktur zu entfernen. Es ist allgemein leichter, Räume zu studieren, die T sind, aber es kann auch leichter sein, Strukturen zu erlauben, die nicht T sind, um ein volleres Bild zu bekommen. Die T Voraussetzung kann hinzugefügt oder willkürlich mit dem Konzept des Quotienten von Kolmogorov entfernt werden.

Links

• Geschichte von schwachen Trennungsaxiomen (PDF Datei)