In den verschiedenen Zweigen der Mathematik, die unter dem Kopfstück der abstrakten Algebra fallen, misst der Kern eines Homomorphismus den Grad, zu dem der Homomorphismus scheitert, injective zu sein. Ein wichtiger spezieller Fall ist der Kern einer Matrix, auch genannt den ungültigen Raum.

Die Definition des Kerns nimmt verschiedene Formen in verschiedenen Zusammenhängen an. Aber in ihnen allen ist der Kern eines Homomorphismus trivial (gewissermaßen wichtig für diesen Zusammenhang), wenn, und nur wenn der Homomorphismus injective ist. Der Hauptsatz auf dem Homomorphismus (oder der erste Isomorphismus-Lehrsatz) ist ein Lehrsatz, wieder verschiedene Formen annehmend, der für die durch den Kern definierte Quotient-Algebra gilt.

In diesem Artikel überblicken wir zuerst Kerne für einige wichtige Typen von algebraischen Strukturen; dann geben wir allgemeine Definitionen von der universalen Algebra für allgemeine algebraische Strukturen.

Überblick über Beispiele

Geradlinige Maschinenbediener

Lassen Sie V und W Vektorräume sein und T eine geradlinige Transformation von V bis W sein zu lassen. Wenn 0 der Nullvektor von W ist, dann ist der Kern von T das Vorimage des Singleton-Satzes {0}; d. h. die Teilmenge V, aus allen jenen Elementen V bestehend, die durch T zum Element 0 kartografisch dargestellt werden. Der Kern wird gewöhnlich als "ker T", oder etwas Schwankung davon angezeigt:

:

Da eine geradlinige Transformation Nullvektoren, den Nullvektoren bewahrt, müssen 0 V dem Kern gehören. Die Transformation T ist injective, wenn, und nur wenn sein Kern nur der Singleton ist {0} untergeht.

Es stellt sich heraus, dass ker T immer ein geradliniger Subraum V ist. So hat es Sinn, vom Quotient-Raum V / (ker T) zu sprechen. Der erste Isomorphismus-Lehrsatz für Vektorräume stellt fest, dass dieser Quotient-Raum zum Image von T natürlich isomorph ist (der ein Subraum von W ist). Demzufolge kommt die Dimension V der Dimension des Kerns plus die Dimension des Images gleich.

Wenn V und W endlich-dimensional sind und Basen gewählt worden sind, dann kann T durch eine MatrixM beschrieben werden, und der Kern kann durch das Lösen des homogenen Systems von geradlinigen Gleichungen M v = 0 geschätzt werden. In dieser Darstellung entspricht der Kern dem ungültigen Raum der M. Die Dimension des ungültigen Raums, genannt die Ungültigkeit der M, wird durch die Zahl von Säulen der M minus die Reihe der M demzufolge des Lehrsatzes der Reihe-Ungültigkeit gegeben.

Das Lösen homogener Differenzialgleichungen beläuft sich häufig auf die Computerwissenschaft des Kerns von bestimmten Differenzialoperatoren.

Zum Beispiel, um zu finden, dass alle zweimal-differentiable f von der echten Linie bis sich solch dass fungieren

: x f

lassen Sie V der Raum von allen zweimal differentiable Funktionen sein, W der Raum aller Funktionen sein, und einen geradlinigen Maschinenbediener T von V bis W durch definieren

lassen

: (T f) (x) = x f

für f in V und x eine willkürliche reelle Zahl.

Dann sind alle Lösungen der Differenzialgleichung in ker T.

Man kann Kerne für den Homomorphismus zwischen Modulen über einen Ring auf eine analoge Weise definieren.

Das schließt Kerne für den Homomorphismus zwischen abelian Gruppen als ein spezieller Fall ein.

Dieses Beispiel gewinnt die Essenz von Kernen in allgemeinen abelian Kategorien; sieh Kern (Kategorie-Theorie).

Gruppenhomomorphismus

Lassen Sie G und H Gruppen sein und f ein Gruppenhomomorphismus von G bis H sein zu lassen.

Wenn e das Identitätselement von H ist, dann ist der Kern von f das Vorimage des Singleton-Satz-{e}; d. h. die Teilmenge von G, der aus allen jenen Elementen von G besteht, die durch f zum Element e kartografisch dargestellt werden.

Der Kern wird gewöhnlich "ker f" (oder eine Schwankung) angezeigt.

In Symbolen:

:

Da ein Gruppenhomomorphismus Identitätselemente bewahrt, muss das Identitätselement e G dem Kern gehören.

Der Homomorphismus f ist injective, wenn, und nur wenn sein Kern nur der Singleton ist {e} untergeht.

Es stellt sich heraus, dass ker f nicht nur eine Untergruppe von G, aber tatsächlich eine normale Untergruppe ist.

So hat es Sinn, von der Quotient-Gruppe G / (ker f) zu sprechen.

Der erste Isomorphismus-Lehrsatz für Gruppen stellt fest, dass diese Quotient-Gruppe zum Image von f natürlich isomorph ist (der eine Untergruppe von H ist).

Im speziellen Fall von abelian Gruppen arbeitet das auf genau dieselbe Weise wie in der vorherigen Abteilung.

Ringhomomorphismus

Lassen Sie R, und S, Ringe sein (hat unital angenommen), und lassen Sie f ein Ringhomomorphismus von R bis S sein.

Wenn 0 das Nullelement von S ist, dann ist der Kern von f das Vorimage des Singleton-Satzes {0}; d. h. die Teilmenge von R, der aus allen jenen Elementen von R besteht, die durch f zum Element 0 kartografisch dargestellt werden.

Der Kern wird gewöhnlich "ker f" (oder eine Schwankung) angezeigt.

In Symbolen::

Da ein Ringhomomorphismus Nullelemente, das Nullelement bewahrt, müssen 0 von R dem Kern gehören.

Der Homomorphismus f ist injective, wenn, und nur wenn sein Kern nur der Singleton ist {0} untergeht.

Es stellt sich heraus, dass, obwohl ker f allgemein nicht ein Subring von R ist, da es die multiplicative Identität nicht enthalten kann, es dennoch ein zweiseitiges Ideal von R ist.

So hat es Sinn, vom Quotient-RingR / (ker f) zu sprechen.

Der erste Isomorphismus-Lehrsatz für Ringe stellt fest, dass dieser Quotient-Ring zum Image von f natürlich isomorph ist (der ein Subring von S ist).

Einigermaßen kann davon als ein spezieller Fall der Situation für Module gedacht werden, da das der ganze bimodules über einen Ring R ist:

• R selbst;
• jedes zweiseitige Ideal von R (wie ker f);
• jeder Quotient-Ring von R (wie R / (ker f)); und
• der codomain jedes Ringhomomorphismus, dessen Gebiet R (wie S, der codomain von f) ist.

Jedoch gibt der Isomorphismus-Lehrsatz ein stärkeres Ergebnis, weil Ringisomorphismus Multiplikation bewahrt, während Modul-Isomorphismus (sogar zwischen Ringen) im Allgemeinen nicht tut.

Dieses Beispiel gewinnt die Essenz von Kernen in Algebra von General Mal'cev.

Homomorphismus von Monoid

Lassen Sie M und N monoids sein und f ein monoid Homomorphismus von der M bis N sein zu lassen.

Dann ist der Kern von f die Teilmenge des direkten Produktes M × M, die aus allen jenen befohlenen Paaren von Elementen der M besteht, deren Bestandteile beide durch f zu demselben Element in N kartografisch dargestellt werden.

Der Kern wird gewöhnlich "ker f" (oder eine Schwankung) angezeigt.In Symbolen::

Da f eine Funktion ist, müssen die Elemente der Form (M, m) dem Kern gehören.

Der Homomorphismus f ist injective, wenn, und nur wenn sein Kern nur der diagonale Satz {(M, m) ist: M in M\.

Es stellt sich heraus, dass ker f eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf der M, und tatsächlich eine Kongruenz-Beziehung ist.

So hat es Sinn, vom Quotienten monoid M / (ker f) zu sprechen.

Der erste Isomorphismus-Lehrsatz für monoids stellt fest, dass dieser Quotient monoid zum Image von f natürlich isomorph ist (der ein submonoid von N ist).

Das ist im Geschmack von den obengenannten Beispielen sehr verschieden.

Insbesondere das Vorimage des Identitätselements von N ist nicht genug, um den Kern von f zu bestimmen.

Das ist, weil monoids nicht Algebra von Mal'cev sind.

Universale Algebra

Alle obengenannten Fälle können vereinigt und in der universalen Algebra verallgemeinert werden.

Allgemeiner Fall

Lassen Sie A und B algebraische Strukturen eines gegebenen Typs sein und f ein Homomorphismus dieses Typs von bis B sein zu lassen.

Dann ist der Kern von f die Teilmenge des direkten Produktes × A, aus allen jenen befohlenen Paaren von Elementen bestehend, wessen Bestandteile beide durch f zu demselben Element in B kartografisch dargestellt werden.

Der Kern wird gewöhnlich "ker f" (oder eine Schwankung) angezeigt.In Symbolen::

Da f eine Funktion ist, müssen die Elemente der Form (a, a) dem Kern gehören.

Der Homomorphismus f ist injective, wenn, und nur wenn sein Kern nur der diagonale Satz {(a, a) ist: in A\.

Es stellt sich heraus, dass ker f eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf A, und tatsächlich eine Kongruenz-Beziehung ist.

So hat es Sinn, von der Quotient-Algebra / (ker f) zu sprechen.

Der erste Isomorphismus-Lehrsatz in der allgemeinen universalen Algebra stellt fest, dass diese Quotient-Algebra zum Image von f natürlich isomorph ist (der eine Subalgebra von B ist).

Bemerken Sie, dass die Definition des Kerns hier (als im monoid Beispiel) von der algebraischen Struktur nicht abhängt; es ist ein rein mit dem Satz theoretisches Konzept.

Für mehr auf diesem Gesamtkonzept, außerhalb der abstrakten Algebra, sieh Kern einer Funktion.

Algebra von Mal'cev

Im Fall von Algebra von Mal'cev kann dieser Aufbau vereinfacht werden. Jede Algebra von Mal'cev hat ein spezielles neutrales Element (der Nullvektor im Fall von Vektorräumen, das Identitätselement im Fall von Gruppen und das Nullelement im Fall von Ringen oder Modulen). Die charakteristische Eigenschaft einer Algebra von Mal'cev ist, dass wir die komplette Gleichwertigkeitsbeziehung ker f von der Gleichwertigkeitsklasse des neutralen Elements wieder erlangen können.

Um spezifisch zu sein, lassen Sie A und B Mal'cev algebraische Strukturen eines gegebenen Typs sein und f ein Homomorphismus dieses Typs von bis B sein zu lassen. Wenn e das neutrale Element von B ist, dann ist der Kern von f das Vorimage des Singleton-Satz-{e}; d. h. die Teilmenge von A, der aus allen jenen Elementen besteht, die durch f zum Element e kartografisch dargestellt werden.

Der Kern wird gewöhnlich "ker f" (oder eine Schwankung) angezeigt. In Symbolen:

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Da ein Algebra-Homomorphismus von Mal'cev neutrale Elemente bewahrt, muss das Identitätselement e A dem Kern gehören. Der Homomorphismus f ist injective, wenn, und nur wenn sein Kern nur der Singleton ist {e} untergeht.

Der Begriff des Ideales verallgemeinert zu jeder Algebra von Mal'cev (als geradliniger Subraum im Fall von Vektorräumen, normale Untergruppe im Fall von Gruppen, zweiseitiges Ringideal im Fall von Ringen und Untermodul im Fall von Modulen).

Es stellt sich heraus, dass, obwohl ker f keine Subalgebra von A sein kann, es dennoch ein Ideal ist.

Dann hat es Sinn, von der Quotient-Algebra G / (ker f) zu sprechen.

Der erste Isomorphismus-Lehrsatz für Algebra von Mal'cev stellt fest, dass diese Quotient-Algebra zum Image von f natürlich isomorph ist (der eine Subalgebra von B ist).

Die Verbindung dazwischen und der Kongruenz-Beziehung ist für allgemeinere Typen von Algebra ist wie folgt.

Erstens ist der Kern als ein Ideal die Gleichwertigkeitsklasse des neutralen Elements e unter dem Kern als eine Kongruenz. Für die gegenteilige Richtung brauchen wir den Begriff des Quotienten in der Algebra von Mal'cev (der Abteilung auf beiden Seiten für Gruppen und Subtraktion für Vektorräume, Module und Ringe ist).

Damit sind Elemente a und' A unter dem Kern als eine Kongruenz gleichwertig, wenn, und nur wenn ihr Quotient a/a' ein Element des Kerns als ein Ideal ist.

Algebra mit der nichtalgebraischen Struktur

Manchmal werden Algebra mit einer nichtalgebraischen Struktur zusätzlich zu ihren algebraischen Operationen ausgestattet.

Zum Beispiel kann man topologische Gruppen denken, oder topologische Vektorräume, damit werden mit einer Topologie ausgestattet.

In diesem Fall würden wir annehmen, dass der Homomorphismus f diese zusätzliche Struktur bewahrt; in den topologischen Beispielen würden wir wollen, dass f eine dauernde Karte ist.

Der Prozess kann in einen Baumstumpf mit den Quotient-Algebra geraten, die nicht wohl erzogen sein können.

In den topologischen Beispielen können wir Probleme vermeiden, indem wir verlangen, dass topologische algebraische Strukturen Hausdorff sind (wie gewöhnlich getan wird); dann der Kern (jedoch wird es gebaut) wird ein geschlossener Satz sein, und der Quotient-Raum wird fein arbeiten (und auch Hausdorff sein).

Kerne in der Kategorie-Theorie

Der Begriff des Kerns in der Kategorie-Theorie ist eine Verallgemeinerung der Kerne von abelian Algebra; sieh Kern (Kategorie-Theorie).

Die kategorische Verallgemeinerung des Kerns als eine Kongruenz-Beziehung ist das Kernpaar.

(Es gibt auch den Begriff des Unterschied-Kerns oder binären equaliser.)