Feldtheorie ist ein Zweig der Mathematik, die die Eigenschaften von Feldern studiert. Ein Feld ist eine mathematische Entität, für die Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation und Abteilung bestimmt sind.

Beziehen Sie sich bitte auf das Wörterverzeichnis der Feldtheorie für einige grundlegende Definitionen in der Feldtheorie.

Geschichte

Das Konzept des Feldes wurde implizit von Niels Henrik Abel und Évariste Galois in ihrer Arbeit an der Lösbarkeit von Gleichungen verwendet.

1871, Richard Dedekind, genannt eine Reihe von reellen Zahlen oder komplexe Zahlen, der unter den vier arithmetischen Operationen ein "Feld" geschlossen wird.

1881 hat Leopold Kronecker definiert, was er ein "Gebiet der Vernunft" genannt hat, die tatsächlich ein Feld von Polynomen in modernen Begriffen ist.

1893 hat Heinrich M. Weber die erste klare Definition eines abstrakten Feldes gegeben.

1910 hat Ernst Steinitz das sehr einflussreiche Papier Algebraische Theorie der Körper veröffentlicht (Deutsch: Algebraische Theorie von Feldern). In dieser Zeitung studiert er axiomatisch die Eigenschaften von Feldern und definiert viele wichtige theoretische Feldkonzepte wie Hauptfeld, vollkommenes Feld und der Überlegenheitsgrad einer Felderweiterung.

Galois, der den Begriff "Feld" im Sinn nicht hatte, wird geehrt, um der erste Mathematiker zu sein, der Gruppentheorie und Feldtheorie verbindet. Theorie von Galois wird nach ihm genannt. Jedoch war es Emil Artin, der zuerst die Beziehung zwischen Gruppen und Feldern im großen Detail während 1928-1942 entwickelt hat.

Einführung

Felder sind wichtige Gegenstände der Studie in der Algebra, da sie eine nützliche Generalisation von vielen Zahl-Systemen, wie die rationalen Zahlen, reellen Zahlen und komplexen Zahlen zur Verfügung stellen. Insbesondere die üblichen Regeln von associativity, commutativity und distributivity halten. Felder erscheinen auch in vielen anderen Gebieten der Mathematik; sieh die Beispiele unten.

Als abstrakte Algebra zuerst entwickelt wurde, hat die Definition eines Feldes gewöhnlich commutativity der Multiplikation nicht eingeschlossen, und was wir heute nennen, würde ein Feld entweder ein Ersatzfeld oder ein vernünftiges Gebiet genannt worden sein. Im zeitgenössischen Gebrauch ist ein Feld immer auswechselbar. Eine Struktur, die alle Eigenschaften eines Feldes außer vielleicht für commutativity befriedigt, wird heute einen Abteilungsring oder Abteilungsalgebra oder manchmal ein verdrehen Feld genannt. Auch Nichtersatzfeld wird noch weit verwendet. In Französisch werden Felder Korps (wörtlich, Körper) allgemein unabhängig von ihrem commutativity genannt. Wenn notwendig, wird ein (auswechselbares) Feld Korps commutatif und ein verdrehen linkisches Feldkorps genannt. Das deutsche Wort für den Körper ist Körper, und dieses Wort wird verwendet, um Felder anzuzeigen; folglich der Gebrauch der Wandtafel, die kühn ist, um ein Feld anzuzeigen.

Das Konzept von Feldern wurde zuerst (implizit) verwendet, um zu beweisen, dass es kein allgemeines Formel-Ausdrücken in Bezug auf Radikale die Wurzeln eines Polynoms mit vernünftigen Koeffizienten des Grads 5 oder höher gibt.

Erweiterungen eines Feldes

Eine Erweiterung eines Feldes k ist gerade Feld K, das k als ein Teilfeld enthält. Man unterscheidet zwischen Erweiterungen, die verschiedene Qualitäten haben. Zum Beispiel wird eine Erweiterung K eines Feldes k algebraisch genannt, wenn jedes Element von K eine Wurzel von einem Polynom mit Koeffizienten in k ist. Sonst wird die Erweiterung transzendental genannt.

Das Ziel der Theorie von Galois ist die Studie von algebraischen Erweiterungen eines Feldes.

Verschlüsse eines Feldes

In Anbetracht eines Feldes k können verschiedene Arten von Verschlüssen von k eingeführt werden. Zum Beispiel der algebraische Verschluss, der trennbare Verschluss, der zyklische Verschluss und so weiter. Die Idee ist immer dasselbe: Wenn P ein Eigentum von Feldern ist, dann ist ein P-Verschluss von k Feld K, das k enthält, Eigentum P habend, und der im Sinn minimal ist, dass kein richtiges Teilfeld von K, der k enthält, Eigentum P. hat

Zum Beispiel, wenn wir P (K) nehmen, um das Eigentum "jedes nichtunveränderliche Polynom f in K [t] zu sein, hat eine Wurzel in K" dann ist ein P-Verschluss von k gerade ein algebraischer Verschluss von k.

Im Allgemeinen, wenn P-Verschlüsse für ein Eigentum P und Feld k bestehen, sind sie alle isomorph. Jedoch gibt es im Allgemeinen keinen vorzuziehenden Isomorphismus zwischen zwei Verschlüssen.

Anwendungen der Feldtheorie

Das Konzept eines Feldes ist von Nutzen, zum Beispiel, im Definieren von Vektoren und matrices, zwei Strukturen in der geradlinigen Algebra, deren Bestandteile Elemente eines willkürlichen Feldes sein können.

Begrenzte Felder werden in der Zahlentheorie, Theorie von Galois und Codiertheorie verwendet, und wieder ist algebraische Erweiterung ein wichtiges Werkzeug.

Binäre Felder, Felder der Eigenschaft 2, sind in der Informatik nützlich.

Einige nützliche Lehrsätze

• Isomorphismus-Erweiterungslehrsatz
• Primitiver Element-Lehrsatz

Siehe auch

• Ring
• Vektorraum
• Kategorie von Feldern