In der Mathematik ist eine Erzeugen-Funktion eine formelle Macht-Reihe in einem unbestimmtem, dessen Koeffizienten Information über eine Folge von Zahlen a verschlüsseln, die durch die natürlichen Zahlen mit einem Inhaltsverzeichnis versehen wird. Erzeugende Funktionen wurden zuerst von Abraham de Moivre 1730 eingeführt, um das allgemeine geradlinige Wiederauftreten-Problem zu beheben. Man kann zur formellen Macht-Reihe in mehr als einem unbestimmt verallgemeinern, um Information über die Reihe von durch mehrere natürliche Zahlen mit einem Inhaltsverzeichnis versehenen Zahlen zu verschlüsseln.

Es gibt verschiedene Typen, Funktionen, einschließlich gewöhnlicher Erzeugen-Funktionen, Exponentialerzeugen-Funktionen, Reihe von Lambert, Reihe von Bell und Reihe von Dirichlet zu erzeugen; Definitionen und Beispiele werden unten gegeben. Jede Folge hat im Prinzip eine Erzeugen-Funktion jedes Typs (außer dass Lambert und Reihe von Dirichlet verlangen, dass Indizes an 1 aber nicht 0 anfangen), aber die Bequemlichkeit, mit der sie behandelt werden können, kann sich beträchtlich unterscheiden. Die besondere Erzeugen-Funktion, falls etwa, der in einem gegebenen Zusammenhang am nützlichsten ist, wird von der Natur der Folge und den Details des Problems abhängen, das wird richtet.

Erzeugende Funktionen werden häufig in der geschlossenen Form (aber nicht als eine Reihe) durch einige für die formelle Macht-Reihe definierte Ausdruck-Beteiligen-Operationen ausgedrückt. Diese Ausdrücke in Bezug auf den unbestimmten x können arithmetische Operationen, Unterscheidung in Bezug auf x und Zusammensetzung mit (d. h., Ersatz in) andere Erzeugen-Funktionen einschließen; da diese Operationen auch für Funktionen definiert werden, sieht das Ergebnis wie eine Funktion von x aus. Tatsächlich kann der geschlossene Form-Ausdruck häufig als eine Funktion interpretiert werden, die an (genug kleinen) konkreten Werten von x bewertet werden kann, und die die formelle Macht-Reihe als seine Reihe von Taylor hat; das erklärt die Benennung "erzeugende Funktionen". Jedoch ist solche Interpretation nicht erforderlich, möglich zu sein, weil formelle Macht-Reihen nicht erforderlich sind, eine konvergente Reihe zu geben, wenn gegen einen numerischen Nichtnullwert x ausgewechselt wird. Außerdem sind nicht alle Ausdrücke, die als Funktionen von x bedeutungsvoll sind, als Ausdrücke bedeutungsvoll, die formelle Macht-Reihe benennen; negative und unbedeutende Mächte von x sind Beispiele davon.

Erzeugende Funktionen sind nicht Funktionen im formellen Sinn, von einem Gebiet bis einen codomain kartografisch darzustellen; der Name ist bloß traditionell, und sie werden manchmal richtiger genannt, Reihe erzeugend.

Definitionen

:A-Erzeugen-Funktion ist eine Wäscheleine, auf der wir eine Folge von Zahlen für die Anzeige aufhängen.

: — Herbert Wilf, Generatingfunctionology (1994)

Gewöhnliche Erzeugen-Funktion

Die gewöhnliche Erzeugen-Funktion einer Folge zu sein

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Wenn die Begriff-Erzeugen-Funktion ohne Qualifikation verwendet wird, wird sie gewöhnlich genommen, um eine gewöhnliche Erzeugen-Funktion zu bedeuten.

Wenn der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion einer getrennten zufälligen Variable zu sein, dann wird seine gewöhnliche Erzeugen-Funktion eine Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktion genannt.

Die gewöhnliche Erzeugen-Funktion kann zur Reihe mit vielfachen Indizes verallgemeinert werden. Zum Beispiel ist die gewöhnliche Erzeugen-Funktion einer zweidimensionalen Reihe (wo n und M natürliche Zahlen sind)

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Exponentialerzeugen-Funktion

Die Exponentialerzeugen-Funktion einer Folge zu sein

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Poisson, der Funktion erzeugt

Der Poisson, der Funktion einer Folge erzeugt zu sein

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Reihe von Lambert

Die Reihe von Lambert einer Folge zu sein

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Bemerken Sie, dass in einer Reihe von Lambert der Index n an 1 anfängt, nicht an 0.

Glockenreihe

Die Glockenreihe einer Folge eines Ausdrucks sowohl in Bezug auf einen unbestimmten x als auch in Bezug auf einen ersten p zu sein, und wird durch gegeben

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Reihe-Erzeugen-Funktionen von Dirichlet

Reihen von Dirichlet werden häufig als das Erzeugen von Funktionen klassifiziert, obwohl sie nicht ausschließlich formelle Macht-Reihe sind. Die Dirichlet Reihe-Erzeugen-Funktion einer Folge zu sein

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Die Dirichlet Reihe-Erzeugen-Funktion ist besonders nützlich, wenn einer Multiplicative-Funktion zu sein, wenn es einen Produktausdruck von Euler in Bezug auf die Reihe von Bell der Funktion hat

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Wenn eines Charakters von Dirichlet dann seine Reihe-Erzeugen-Funktion von Dirichlet zu sein, eine Dirichlet L-Reihe genannt wird.

Polynomische Folge-Erzeugen-Funktionen

Die Idee, Funktionen zu erzeugen, kann zu Folgen anderer Gegenstände erweitert werden. So, zum Beispiel, werden polynomische Folgen des binomischen Typs durch erzeugt

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wo p (x) eine Folge von Polynomen ist und f (t) eine Funktion einer bestimmten Form ist. Folgen von Sheffer werden auf eine ähnliche Weise erzeugt. Sieh, dass der Hauptartikel Polynome von Appell für mehr Information verallgemeinert hat.

Gewöhnliche Erzeugen-Funktionen

Polynome sind ein spezieller Fall von gewöhnlichen Erzeugen-Funktionen, entsprechend begrenzten Folgen, oder gleichwertig Folgen, die nach einem bestimmten Punkt verschwinden. Diese sind darin wichtig viele begrenzte Folgen können als das Erzeugen von Funktionen, wie das Polynom von Poincaré und andere nützlich interpretiert werden.

Eine Schlüsselerzeugen-Funktion ist die unveränderliche Folge 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1..., dessen gewöhnliche Erzeugen-Funktion ist

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Die linke Seite ist die Reihenentwicklung von Maclaurin der Rechte. Wechselweise kann der Rechte-Ausdruck durch das Multiplizieren der Macht-Reihe links durch 1 &minus gerechtfertigt werden; x, und überprüfend, dass das Ergebnis die unveränderliche Macht-Reihe 1, mit anderen Worten ist, dass alle Koeffizienten außer demjenigen von x verschwinden. Außerdem kann es keine andere Macht-Reihe mit diesem Eigentum geben. Die linke Seite benennt deshalb das multiplicative Gegenteil 1 − x im Ring der Macht-Reihe.

Ausdrücke für die gewöhnliche Erzeugen-Funktion anderer Folgen werden aus diesem leicht abgeleitet. Zum Beispiel gibt der Ersatz x  Axt die Erzeugen-Funktion für die geometrische Folge 1, a, a, a... für jeden unveränderlichen a:

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(Die Gleichheit folgt auch direkt von der Tatsache, dass die linke Seite die Reihenentwicklung von Maclaurin der Rechte ist.) In der besonderen Einzelheit,

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Man kann auch regelmäßige "Lücken" in der Folge einführen, indem man x durch etwas Macht von x, also zum Beispiel für die Folge 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0 ersetzt.... man bekommt die Erzeugen-Funktion

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Durch das Quadrieren die anfängliche Erzeugen-Funktion, oder indem man die Ableitung von beiden Seiten in Bezug auf x findet und eine Änderung vornimmt, Variable n  n-1 zu führen, sieht man, dass die Koeffizienten die Folge 1, 2, 3, 4, 5 bilden..., so hat man

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und die dritte Macht hat als Koeffizienten die dreieckigen Nummern 1, 3, 6, 10, 15, 21... wessen Begriff n der binomische Koeffizient, so dass ist

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Mehr allgemein, für jede positive ganze Zahl k, ist es das wahr

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Bemerken Sie das, seitdem

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man kann die gewöhnliche Erzeugen-Funktion für die Folge 0, 1, 4, 9, 16... Quadratzahlen durch die geradlinige Kombination von Erzeugen-Folgen des binomischen Koeffizienten finden;

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Vernünftige Funktionen

Die gewöhnliche Erzeugen-Funktion einer Folge kann als eine vernünftige Funktion ausgedrückt werden (das Verhältnis von zwei Polynomen), wenn, und nur wenn die Folge eine geradlinige rekursive Folge ist; das verallgemeinert die Beispiele oben.

Multiplikation gibt Gehirnwindung nach

Die Multiplikation von gewöhnlichen Erzeugen-Funktionen gibt eine getrennte Gehirnwindung (das Produkt von Cauchy) von den Folgen nach. Zum Beispiel, die Folge von kumulativen Summen einer Folge mit dem gewöhnlichen Erzeugen fungieren G (a; x) hat die Erzeugen-Funktion, weil 1 / (1-x) die gewöhnliche Erzeugen-Funktion für die Folge (1, 1...) ist.

Die Beziehung zur diskreten Zeit Fourier verwandelt sich

Wenn die Reihe absolut zusammenläuft, ist die diskrete Zeit, die Fourier von der Folge a, a umgestaltet....

Asymptotisches Wachstum einer Folge

In der Rechnung häufig kann die Wachstumsrate der Koeffizienten einer Macht-Reihe verwendet werden, um einen Radius der Konvergenz für die Macht-Reihe abzuleiten. Die Rückseite kann auch halten; häufig kann der Radius der Konvergenz für eine Erzeugen-Funktion verwendet werden, um das asymptotische Wachstum der zu Grunde liegenden Folge abzuleiten.

Zum Beispiel, wenn eine gewöhnliche Erzeugen-Funktion G (a; x) hat das einen begrenzten Radius der Konvergenz von r kann als geschrieben werden

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wo (x) und B (x) Funktionen sind, die zu einem Radius der Konvergenz analytisch sind, die größer ist als r (oder komplett sind), und wo B(r)  0 dann

:

das Verwenden der Gammafunktion.

Asymptotisches Wachstum der Folge von Quadraten

Wie abgeleitet, oben ist die gewöhnliche Erzeugen-Funktion für die Folge von Quadraten Mit r = 1, α = 0, β = 3, (x) = 0, und B (x) = x (x+1), wir können nachprüfen, dass die Quadrate, wie erwartet, wie die Quadrate wachsen:

:

Asymptotisches Wachstum der katalanischen Zahlen

Die gewöhnliche Erzeugen-Funktion für die katalanischen Zahlen ist

Mit r = 1/4, α = 1, β = −1/2, (x) = 1/2, und B (x) = −1/2, können wir dass, für die katalanischen Zahlen, beschließen

:

\frac {-1/2} {(1/4) ^1 \Gamma (-1/2)} \, n^ {-1/2-1} \left (\frac {1} {1/4 }\\Recht) ^n

\frac {n^ {-3/2} \, 4^n} {\\sqrt {\\Pi}} \. </Mathematik>

Bivariate und multivariate erzeugende Funktionen

Man kann Erzeugen-Funktionen in mehreren Variablen für die Reihe mit mehreren Indizes definieren. Diese werden multivariate erzeugende Funktionen genannt oder manchmal super Funktionen erzeugend. Für zwei Variablen werden diese häufig bivariate erzeugende Funktionen genannt.

Zum Beispiel, seitdem ist die gewöhnliche Erzeugen-Funktion für binomische Koeffizienten für einen festen n, man kann um einen bivariate bitten, der Funktion erzeugt, die die binomischen Koeffizienten für den ganzen k und n erzeugt.

Um das zu tun, betrachten Sie als selbst eine Reihe in n, und finden Sie die Erzeugen-Funktion in y, der diese als Koeffizienten hat. Da die Erzeugen-Funktion dafür ist, ist die Erzeugen-Funktion für die binomischen Koeffizienten:

:

Beispiele

Wenn sie

Funktionen für die Folge von Quadratzahlen = erzeugen, sind n:

Gewöhnliche Erzeugen-Funktion

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Exponentialerzeugen-Funktion

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Glockenreihe

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Reihe-Erzeugen-Funktion von Dirichlet

:

das Verwenden vom Riemann zeta Funktion.

Die durch ein Reihe-Erzeugen von Dirichlet erzeugte Folge fungiert entsprechend:

:

wo der Riemann zeta Funktion ist, hat die gewöhnliche Erzeugen-Funktion:

:

\sum \limits_ {n=1} ^ {\\infty} a_nx^n

x &+ {M \choose 1 }\\summieren \limits_ {a

2\^ {\\infty} x^ {ein}

+ {M \choose 2 }\\summieren \limits_ {a=2} ^ {\\infty} \sum \limits_ {b=2} ^ {\\infty} X^ {ab} \\

&+ {summiert M \choose 3 }\\\limits_ {a=2} ^ {\\infty} \sum \limits_ {b=2} ^ {\\infty} \sum \limits_ {c=2} ^ {\\infty} x^ {Alphabet} + {M \choose 4 }\\summiert \limits_ {a=2} ^ {\\infty} \sum \limits_ {b=2} ^ {\\infty} \sum \limits_ {c=2} ^ {\\infty} \sum \limits_ {d=2} ^ {\\infty} X^ {abcd} +...

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Multivariate, der Funktion erzeugt

Multivariate, die Funktionen erzeugen, entstehen in der Praxis, wenn sie die Zahl von Kontingenztabellen von natürlichen Zahlen mit der angegebenen Reihe und den Säulensummen berechnen. Nehmen Sie an, dass der Tisch r Reihen und c Säulen hat; die Reihe-Summen sind, und die Säulensummen sind. Dann, gemäß mir. J. Gut ist die Zahl solcher Tische der Koeffizient in

:

\prod_ {i=1} ^ {r }\\prod_ {j=1} ^c\frac {1} {1-x_iy_j}.

</Mathematik>

Anwendungen

Erzeugende Funktionen sind an gewöhnt

• Finden Sie eine geschlossene Formel für eine in einer Wiederauftreten-Beziehung gegebene Folge. Denken Sie zum Beispiel Fibonacci-Zahlen.
• Finden Sie Wiederauftreten-Beziehungen für Folgen — die Form einer Erzeugen-Funktion kann eine Wiederauftreten-Formel andeuten.
• Finden Sie Beziehungen zwischen Folgen — wenn die Erzeugen-Funktionen von zwei Folgen eine ähnliche Form haben, dann können die Folgen selbst verbunden sein.
• Erforschen Sie das asymptotische Verhalten von Folgen.
• Beweisen Sie Identität, die Folgen einschließt.
• Beheben Sie Enumerationsprobleme in combinatorics und Verschlüsselung ihrer Lösungen. Saatkrähe-Polynome sind ein Beispiel einer Anwendung in combinatorics.
• Bewerten Sie unendliche Summen.

Andere Erzeugen-Funktionen

Beispiele von polynomischen durch kompliziertere Erzeugen-Funktionen erzeugten Folgen schließen ein:

• Polynome von Appell
• Polynome von Tschebyscheff
• Unterschied-Polynome
• Verallgemeinerte Appell Polynome
• Q-Unterschied-Polynome

Ähnliche Konzepte

Polynomische Interpolation findet ein Polynom, dessen Werte (nicht Koeffizienten) mit einer gegebenen Folge übereinstimmen; das Polynom von Hilbert ist ein abstrakter Fall davon in der Ersatzalgebra.

Siehe auch

• Momentenerzeugungsfunktion
• Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktion
• Der Reziprozitätslehrsatz von Stanley
• Anwendungen auf Teilungen
• Kombinatorische Grundsätze

Referenzen

Links

• Funktionen, Macht-Indizes und Münzänderung an der Knoten-Kürzung erzeugend
• Generatingfunctionology PDF laden Seite herunter

• 1031 Erzeugen-Funktionen
• Ignacio Larrosa Cañestro, León-Sotelo, Marko Riedel, Georges Zeller, Suma de números equilibrados, newsgroup es.ciencia.matematicas
• Frederick Lecue; Riedel, Marko, u. a.

• "Funktionen" durch Ed Pegg den Jüngeren erzeugend. Wolfram-Demonstrationsprojekt, 2007.