In der Mathematik ist es möglich, mehrere Ringe in einen großen Produktring zu verbinden. Das wird wie folgt getan: Wenn ich ein Index-Satz bin und R ein Ring für jeden ich in mir ist, dann kann das kartesianische Produkt Π R in einen Ring durch das Definieren der Operationen coordinatewise verwandelt werden, d. h.

: (a) + (b) = (+ b)

: (a) · (b) = (a · b)

Der resultierende Ring wird ein direktes Produkt der Ringe R genannt. Das direkte Produkt von begrenzt vielen Ringen R..., R wird auch als R &times geschrieben; R ×... × R oder R  R ...  R, und kann auch die direkte Summe (und manchmal die ganze direkte Summe) der Ringe R genannt werden.

Beispiele

Ein wichtiges Beispiel ist der Ring Z/nZ von ganzen Zahlen modulo n. Wenn n als ein Produkt von Hauptmächten geschrieben wird (sieh Hauptsatz der Arithmetik):

wo die p verschiedene Blüte sind, dann ist Z/nZ zum Produkt Ring natürlich isomorph

Das folgt aus dem chinesischen Rest-Lehrsatz.

Eigenschaften

Wenn R = Π R ein Produkt von Ringen ist, dann für jeden ich in mir haben wir einen Surjective-Ringhomomorphismus p: R  R, der das Produkt auf der I-Th-Koordinate plant. Das Produkt R, zusammen mit den Vorsprüngen p, hat das folgende universale Eigentum:

:if S ist jeder Ring und f: S → R ist ein Ringhomomorphismus für jeden ich in mir, dann dort besteht genau ein Ringhomomorphismus f: S → R solch dass p o f = f für jeden ich in mir.

Das zeigt, dass das Produkt von Ringen ein Beispiel von Produkten im Sinne der Kategorie-Theorie ist. Jedoch trotz, auch der direkten Summe von Ringen genannt zu werden, wenn ich begrenzt bin, ist das Produkt von Ringen nicht ein coproduct im Sinne der Kategorie-Theorie. Insbesondere wenn ich mehr als ein Element, die Einschließungskarte R habe

Wenn in R ein Ideal für jeden ich in mir ist, dann = Π ist A ein Ideal von R. Wenn ich begrenzt bin, dann ist das gegenteilige wahr, d. h. jedes Ideal von R ist dieser Form. Jedoch, wenn ich unendlich bin und die Ringe R Nichtnull sind, dann ist das gegenteilige falsch; der Satz von Elementen mit allen außer begrenzt vielen Nichtnullkoordinaten bildet ein Ideal, das nicht ein direktes Produkt von Idealen des R ist. Das Ideal A ist ein Hauptideal in R, wenn alle außer einem der A R gleich sind und der restliche A ein Hauptideal in R ist. Jedoch ist das gegenteilige nicht wahr, wenn ich unendlich bin. Zum Beispiel, die direkte Summe des R bilden ein Ideal, das nicht in irgendwelchem solch ein enthalten ist, aber das Axiom der Wahl gibt das es wird in einem maximalen Ideal enthalten, das eine fortiori Blüte ist.

Ein Element x in R ist eine Einheit, wenn, und nur wenn alle seine Bestandteile Einheiten sind, d. h. wenn, und nur wenn p (x) eine Einheit in R für jeden ich in mir ist. Die Gruppe von Einheiten von R ist das Produkt der Gruppen von Einheiten von R.

Ein Produkt von mehr als einem Nichtnullringen hat immer Nullteiler: Wenn x ein Element des Produktes ist alle sind dessen Koordinaten Null außer p (x), und y ist ein Element des Produktes mit der ganzen Koordinatennull außer p (y) (mit mir  j), dann xy = 0 im Produktring.

Siehe auch

• Direktes Produkt

Referenzen