In der abstrakten Algebra ist die direkte Summe ein Aufbau, der mehrere Module in ein neues, größeres Modul verbindet. Das Ergebnis der direkten Summierung von Modulen ist das "kleinste allgemeine" Modul, das die gegebenen Module als Untermodule enthält. Das ist ein Beispiel eines coproduct. Die Unähnlichkeit mit dem direkten Produkt, das der Doppelbegriff ist.

Die vertrautesten Beispiele dieses Aufbaus kommen vor, wenn sie Vektorräume (Module über ein Feld) und abelian Gruppen (Module über den Ring Z von ganzen Zahlen) denken. Der Aufbau kann auch erweitert werden, um Räume von Banach spaces und Hilbert zu bedecken.

Aufbau für Vektorräume und abelian Gruppen

Wir geben den Aufbau zuerst in diesen zwei Fällen unter der Annahme, dass wir nur zwei Gegenstände haben. Dann verallgemeinern wir zu einer willkürlichen Familie von willkürlichen Modulen. Die Schlüsselelemente des allgemeinen Aufbaus werden klarer identifiziert, indem sie diese zwei Fälle eingehend in Betracht gezogen wird.

Aufbau für zwei Vektorräume

Denken Sie V, und W sind Vektorräume über Feld K. Das kartesianische Produkt V × W kann die Struktur eines Vektorraums über K durch das Definieren der Operationen componentwise gegeben werden:

• (v, w) + (v, w) = (v + v, w + w)
• α (v, w) = (α v, α w)

für v, v, v  V, w, w, w  W, und α  K.

Der resultierende Vektorraum wird die direkte Summe V und W genannt und wird gewöhnlich durch plus das Symbol innerhalb eines Kreises angezeigt:

:

Es ist üblich, um die Elemente einer bestellten Summe nicht als befohlene Paare (v, w), aber als eine Summe v + w zu schreiben.

Der Subraum sind V × {0} von V  W zu V isomorph und werden häufig mit V identifiziert; ähnlich für {0} × W und W. (Sieh innere direkte Summe unten.) Mit dieser Identifizierung kann jedes Element von V  W auf eine und nur eine Weise als die Summe eines Elements V und eines Elements von W geschrieben werden. Die Dimension von V  W ist der Summe der Dimensionen V und W gleich.

Dieser Aufbau verallgemeinert sogleich zu jeder begrenzten Zahl von Vektorräumen.

Aufbau für zwei abelian Gruppen

Für abelian Gruppen G und H, die zusätzlich geschrieben werden, wird das direkte Produkt von G und H auch eine direkte Summe genannt. So wird das kartesianische Produkt G × H mit der Struktur einer abelian Gruppe durch das Definieren der Operationen componentwise ausgestattet:

• (g, h) + (g, h) = (g + g, h + h)

für g, g in G und h, h in H.

Integrierte Vielfachen werden componentwise durch ähnlich definiert

• n (g, h) = (ng, nh)

für g in G, h in H und n eine ganze Zahl. Das passt der Erweiterung des Skalarprodukts von Vektorräumen zur direkten Summe oben an.

Die resultierende abelian Gruppe wird die direkte Summe von G und H genannt und wird gewöhnlich durch plus das Symbol innerhalb eines Kreises angezeigt:

:

Es ist üblich, um die Elemente einer bestellten Summe nicht als befohlene Paare (g, h), aber als eine Summe g + h zu schreiben.

Die Untergruppe G × {0} von G  H ist zu G isomorph und wird häufig mit G identifiziert; ähnlich für {0} × H und H. (Sieh innere direkte Summe unten.) Mit dieser Identifizierung ist es wahr, dass jedes Element von G  H auf eine und nur eine Weise als die Summe eines Elements von G und eines Elements von H geschrieben werden kann. Die Reihe von G  H ist der Summe der Reihen von G und H gleich.

Dieser Aufbau verallgemeinert sogleich zu jeder begrenzten Zahl von abelian Gruppen.

Aufbau für eine willkürliche Familie von Modulen

Man sollte eine klare Ähnlichkeit zwischen den Definitionen der direkten Summe von zwei Vektorräumen und von zwei abelian Gruppen bemerken. Tatsächlich ist jeder ein spezieller Fall des Aufbaus der direkten Summe von zwei Modulen. Zusätzlich, indem man die Definition modifiziert, kann man die direkte Summe einer unendlichen Familie von Modulen anpassen. Die genaue Definition ist wie folgt.

Lassen Sie R ein Ring, und {M sein: Ich  I\eine Familie von linken R-Modulen, die durch den Satz I mit einem Inhaltsverzeichnis versehen sind. Die direkte Summe {der M} wird dann definiert, um der Satz aller Folgen wo und für cofinitely viele Indizes i zu sein. (Das direkte Produkt ist analog, aber die Indizes müssen zu cofinitely nicht verschwinden.)

Es kann auch als Funktionen α von mir bis die zusammenhanglose Vereinigung der Module solche M dass α (i)  M für alles ich  I und α (i) = 0 für cofinitely viele Indizes i definiert werden. Diese Funktionen können als begrenzt unterstützte Abteilungen des Faser-Bündels über den Index-Satz I, mit der Faser darüber gleichwertig betrachtet werden, zu sein.

Dieser Satz erbt die Modul-Struktur über die teilkluge Hinzufügung und Skalarmultiplikation. Ausführlich können zwei solche Folgen (oder Funktionen) α und β durch das Schreiben für alles von mir hinzugefügt werden (bemerken Sie, dass das wieder Null für alle außer begrenzt vielen Indizes ist), und solch eine Funktion mit einem Element r von R durch das Definieren für alles von mir multipliziert werden kann. Auf diese Weise wird die direkte Summe ein linkes R-Modul, und sie wird angezeigt

:

Es ist üblich, um die Folge als eine Summe zu schreiben. Manchmal wird eine primed Summierung verwendet, um anzuzeigen, dass cofinitely viele der Begriffe Null sind.

Eigenschaften

• Die direkte Summe ist ein Untermodul des direkten Produktes der Module M. Das direkte Produkt ist der Satz aller Funktionen α von mir bis die zusammenhanglose Vereinigung der Module M mit α (i) M, aber nicht notwendigerweise für alle außer begrenzt vielen ich verschwindend. Wenn der Index-Satz ich bin begrenzt, dann sind die direkte Summe und das direkte Produkt gleich.
• Jedes der Module M kann mit dem Untermodul der direkten Summe identifiziert werden, die aus jenen Funktionen besteht, die auf allen von mir verschiedenen Indizes verschwinden. Mit diesen Identifizierungen kann jedes Element x der direkten Summe auf eine und nur eine Weise als eine Summe von begrenzt vielen Elementen von den Modulen M geschrieben werden.
• Wenn die M wirklich Vektorräume ist, dann ist die Dimension der direkten Summe der Summe der Dimensionen der M gleich. Dasselbe ist für die Reihe von abelian Gruppen und die Länge von Modulen wahr.
• Jeder Vektorraum über Feld K ist zu einer direkten Summe von genug vielen Kopien von K isomorph, so gewissermaßen müssen nur diese direkten Summen betrachtet werden. Das ist für Module über willkürliche Ringe nicht wahr.
• Das Tensor-Produkt verteilt über direkte Summen im folgenden Sinn: Wenn N ein richtiges R-Modul ist, dann ist die direkte Summe der Tensor-Produkte von N mit der M (die abelian Gruppen sind) zum Tensor-Produkt von N mit der direkten Summe der M natürlich isomorph.
• Direkte Summen sind auch auswechselbar und (bis zum Isomorphismus) assoziativ, bedeutend, dass er egal ist, in der Ordnung man die direkte Summe bildet.
• Die Gruppe des R-linear Homomorphismus von der direkten Summe bis ein linkes R-Modul L ist zum direkten Produkt der Gruppen des R-linear Homomorphismus von der M bis L natürlich isomorph:
• ::
• :Indeed, es gibt klar einen Homomorphismus τ von der linken Seite bis die rechte Seite, wo τ (θ) (i) ist der R-linear Homomorphismus, xM zu θ (x) (das Verwenden der natürlichen Einschließung der M in die direkte Summe) sendend. Das Gegenteil des Homomorphismus τ wird durch definiert

:

• :for jeder α in der direkten Summe der Module M. Der Stichpunkt ist, dass die Definition von τ Sinn hat, weil α (i) Null für alle außer begrenzt vielen ich ist, und so ist die Summe begrenzt.
• Besonderer:In, der Doppelvektorraum einer direkten Summe von Vektorräumen ist zum direkten Produkt des duals jener Räume isomorph.
• Die begrenzte direkte Summe von Modulen ist ein biproduct: Wenn

::

• :are der kanonische Vorsprung mappings und

::

• :are die Einschließung mappings, dann

::

• :equals die Identität morphism Eines  ···  A, und

::

• :is die Identität morphism im Fall l=k, und ist die Nullkarte sonst.

Innere direkte Summe

Nehmen Sie an, dass M ein R-Modul ist, und M ein Untermodul der M für jeden ich in mir ist. Wenn jeder x in der M auf eine und nur eine Weise als eine Summe von begrenzt vielen Elementen der M geschrieben werden kann, dann sagen wir, dass M die innere direkte Summe der Untermodule M ist. In diesem Fall ist M zur (äußerlichen) direkten Summe der M, wie definiert, oben natürlich isomorph.

Ein Untermodul N der M ist ein direkter summand der M, wenn dort ein anderes Untermodul N  von der solcher M besteht, dass M die innere direkte Summe von N und N  ist. In diesem Fall sind N und N  Ergänzungssubräume.

Universales Eigentum

Auf der Sprache der Kategorie-Theorie ist die direkte Summe ein coproduct und folglich ein colimit in der Kategorie von linken R-Modulen, was bedeutet, dass es durch das folgende universale Eigentum charakterisiert wird. Für jeden ich in mir, denken Sie das natürliche Einbetten

:

der die Elemente der M zu jenen Funktionen sendet, die Null für alle Argumente, aber mich sind. Wenn f: M  M ist willkürliche R-Linear-Karten für jeden ich, dann dort besteht genau ein R-linear stellt kartografisch dar

:

solch dass f o j = f für alles ich.

Doppel-ist das direkte Produkt das Produkt.

Gruppe von Grothendieck

Die direkte Summe gibt eine Sammlung von Gegenständen die Struktur eines auswechselbaren monoid, darin die Hinzufügung von Gegenständen wird definiert, aber nicht Subtraktion. Tatsächlich kann Subtraktion definiert werden, und jeder auswechselbare monoid kann zu einer abelian Gruppe erweitert werden. Diese Erweiterung ist als die Gruppe von Grothendieck bekannt. Die Erweiterung wird durch das Definieren von Gleichwertigkeitsklassen von Paaren von Gegenständen getan, der bestimmten Paaren erlaubt, als Gegenteile behandelt zu werden. Der Aufbau, der im Artikel über die Gruppe von Grothendieck ausführlich berichtet ist, ist "universal", in dem es das universale Eigentum hat, und homomorphic zu jedem anderen Einbetten eines abelian monoid in einer abelian Gruppe einzigartig zu sein.

Direkte Summe von Modulen mit der zusätzlichen Struktur

Wenn die Module, die wir denken, eine zusätzliche Struktur tragen (z.B eine Norm oder ein Skalarprodukt), dann kann die direkte Summe der Module häufig gemacht werden, diese zusätzliche Struktur ebenso zu tragen. In diesem Fall erhalten wir den coproduct in der passenden Kategorie aller Gegenstände, die die zusätzliche Struktur tragen. Drei prominente Beispiele kommen für Algebra über ein Feld, Banach spaces und Räume von Hilbert vor.

Direkte Summe von Algebra

Eine direkte Summe von Algebra X und Y ist die direkte Summe als Vektorräume, mit dem Produkt

:

Denken Sie diese klassischen Beispiele:

: ist als komplexe Zahlen des Spalts, studiert worden

: ist die Algebra von tessarines, der von James Cockle 1848 und eingeführt ist

:, genannt den Spalt-biquaternions, wurde von William Kingdon Clifford 1873 eingeführt.

Joseph Wedderburn hat das Konzept einer direkten Summe von Algebra in seiner Klassifikation von hyperkomplizierten Zahlen ausgenutzt. Sieh seine Vorträge auf Matrices (1934), Seite 151.

Wedderburn macht die Unterscheidung zwischen einer direkten Summe und einem direkten Produkt von Algebra verständlich: Für die direkte Summe handelt das Feld von Skalaren gemeinsam auf beiden Teilen: Während für das direkte Produkt ein Skalarfaktor abwechselnd mit den Teilen, aber nicht both: gesammelt werden kann.

Ian R. Porteous verwendet die drei direkten Summen oben, sie, als Ringe von Skalaren in seiner Analyse von Clifford Algebras und Classical Groups (1995) anzeigend. Diese direkten Summen entstehen auch in der Klassifikation von Zusammensetzungsalgebra.

Direkte Summe von Banachräumen

Die direkte Summe von zwei Banachräumen X und Y ist die direkte Summe X und Y betrachtet als Vektorräume, mit der Norm || (x, y) || = || x + || y für den ganzen x in X und y in Y.

Allgemein, wenn X eine Sammlung von Banachräumen ist, wo ich den Index-Satz I überquere, dann ist die direkte Summe  X ein Modul, das aus allen Funktionen x definiert über mich solch dass x (i)  X für alles ich  I und besteht

:

Die Norm wird durch die Summe oben gegeben. Die direkte Summe mit dieser Norm ist wieder ein Banachraum.

Zum Beispiel, wenn wir den Index-Satz I = N und X = R nehmen, dann ist die direkte Summe  der Raum l, der aus allen Folgen (a) von reals mit der begrenzten Norm || =  |a besteht.

Ein geschlossener Subraum eines Banachraums X wird ergänzt, wenn es einen anderen geschlossenen Subraum B von X solch gibt, dass X der inneren direkten Summe gleich ist. Bemerken Sie, dass nicht jeder geschlossene Subraum beglückwünscht wird, z.B wird c darin nicht beglückwünscht.

Direkte Summe von Räumen von Hilbert

Wenn begrenzt viele Räume von Hilbert H..., H gegeben werden, kann man ihre direkte Summe als oben bauen (da sie Vektorräume sind), und dann verwandeln Sie die direkte Summe in einen Raum von Hilbert, indem Sie das Skalarprodukt als definieren:

:

Das verwandelt die direkte Summe in einen Raum von Hilbert, der die gegebenen Räume von Hilbert als gegenseitig orthogonale Subräume enthält.

Wenn ungeheuer viele Räume von Hilbert H, weil ich in mir gegeben wird, wir denselben Aufbau ausführen können; bemerken Sie, dass, wenn sie das Skalarprodukt nur begrenzt definieren werden, viele summands Nichtnull sein werden. Jedoch wird das Ergebnis nur ein Skalarprodukt-Raum sein, und es wird nicht abgeschlossen sein. Wir definieren dann die direkte Summe der Räume von Hilbert H, um die Vollziehung dieses Skalarprodukt-Raums zu sein.

Wechselweise und gleichwertig kann man die direkte Summe der Räume von Hilbert H als der Raum aller Funktionen α mit dem Gebiet I, solch definieren, dass α (i) ein Element von H für jeden ich in mir ist und:

:

Das Skalarprodukt von zwei solcher Funktion α und β wird dann als definiert:

:

Dieser Raum ist abgeschlossen, und wir bekommen einen Raum von Hilbert.

Zum Beispiel, wenn wir den Index-Satz I = N und X = R nehmen, dann ist die direkte Summe  X der Raum l, der aus allen Folgen (a) von reals mit der begrenzten Norm besteht. Das mit dem Beispiel für Banachräume vergleichend, sehen wir, dass die direkte Banachraum-Summe und die direkte Raumsumme von Hilbert nicht notwendigerweise dasselbe sind. Aber wenn es nur begrenzt viele summands gibt, dann ist die direkte Banachraum-Summe zur direkten Raumsumme von Hilbert isomorph, obwohl die Norm verschieden sein wird.

Jeder Hilbert Raum ist zu einer direkten Summe von genug vielen Kopien des Grundfeldes (entweder R oder C) isomorph. Das ist zur Behauptung gleichwertig, dass jeder Raum von Hilbert eine orthonormale Basis hat. Mehr allgemein wird jeder geschlossene Subraum eines Raums von Hilbert ergänzt: Es lässt eine orthogonale Ergänzung zu. Umgekehrt behauptet der Lindenstrauss-Tzafriri Lehrsatz dass, wenn jeder geschlossene Subraum eines Banachraums ergänzt wird, dann ist der Banachraum (topologisch) zu einem Raum von Hilbert isomorph.

Siehe auch

• Biproduct
• Unzerlegbares Modul
• Lehrsatz des Jordans-Hölder
• Lehrsatz von Krull-Schmidt
• Spalten Sie genaue Folge
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