Mechanik von Hamiltonian ist eine neue Darlegung der klassischen Mechanik, die 1833 vom irischen Mathematiker William Rowan Hamilton eingeführt wurde.

Es ist aus der Mechanik von Lagrangian, einer vorherigen neuen Darlegung der klassischen Mechanik entstanden, die von Joseph Louis Lagrange 1788 eingeführt ist, aber kann ohne Zuflucht zur Mechanik von Lagrangian mit symplectic Räume formuliert werden (sieh Mathematischen Formalismus, unten). Die Hamiltonian Methode unterscheidet sich von der Methode von Lagrangian darin, anstatt Differenzialeinschränkungen der zweiten Ordnung auf einen N-Dimensional-Koordinatenraum auszudrücken (wo n die Zahl von Graden der Freiheit des Systems ist), drückt es Einschränkungen der ersten Ordnung auf einen 2n-dimensional Phase-Raum aus.

Als mit der Mechanik von Lagrangian stellen die Gleichungen von Hamilton eine neue und gleichwertige Weise zur Verfügung, auf die Newtonische Physik zu schauen. Allgemein stellen diese Gleichungen keine günstigere Weise zur Verfügung, ein besonderes Problem in der klassischen Mechanik zu beheben. Eher gewähren sie tiefere Einblicke sowohl in die allgemeine Struktur der klassischen Mechanik als auch in seine Verbindung zur Quant-Mechanik, wie verstanden, durch die Mechanik von Hamiltonian, sowie seine Verbindung zu anderen Gebieten der Wissenschaft.

Vereinfachte Übersicht des Gebrauches

Der Wert von Hamiltonian ist die Gesamtenergie des Systems, das wird beschreibt. Für ein geschlossenes System ist es die Summe der kinetischen und potenziellen Energie im System. Es gibt eine Reihe von Differenzialgleichungen, die als die Gleichungen von Hamilton bekannt ist, die die Zeitevolution des Systems geben. Hamiltonians kann verwendet werden, um solche einfachen Systeme als ein strammer Ball, ein Pendel oder ein schwingender Frühling zu beschreiben, in den sich Energie vom kinetischen bis Potenzial und zurück wieder mit der Zeit ändert. Hamiltonians kann auch angestellt werden, um die Energie anderer komplizierterer dynamischer Systeme wie planetarische Bahnen in der himmlischen Mechanik und auch in der Quant-Mechanik zu modellieren.

Die Gleichungen von Hamilton werden allgemein wie folgt geschrieben:

{\\teilweiser q_j }\\\

& \dot q_j = + \frac {\\teilweiser \mathcal {H}} {\\teilweiser p_j }\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

|cellpadding = 6

|border

|border-Farbe =

#0073CF

|background colour=#F5FFFA} }\

wo der Punkt die gewöhnliche Ableitung in Bezug auf die Zeit der verallgemeinerten Koordinaten und verallgemeinerten Schwünge, wo j = 1,2... n anzeigt.

Ausführlicher kann man gleichwertig schreiben

::

wo die Funktionen q und p Werte in einem Vektorraum nehmen, und Funktion (Skalar geschätzt) Funktion von Hamiltonian ist, und geben Sie das Gebiet von Werten an, in denen sich der Parameter t (Zeit) ändert.

Die Gleichungen von Hamilton sind in den verallgemeinerten Koordinaten und Schwüngen symmetrisch, den Austausch bedeutend, und verlässt folglich die Gleichungen unverändert. Natürlich, je mehr Grade der Freiheit, die das System hat, desto mehr kompliziert sein Verhalten (vorausgesagt durch die Lösungen) da die Grade der Freiheit der Konfiguration des Systems d. h. (der verallgemeinerten) Positionen, der Schwünge und der Raten entsprechen, an denen sich diese (Zeitableitungen) ändern. Als solcher für mehr als zwei massive Partikeln können die Lösungen nicht genau - das Vielkörperproblem gefunden werden. Es ist noch möglich, qualitative Kenntnisse über das System durch die Näherungsberechnung der Differenzialgleichungen zu erhalten.

Für eine ausführliche Abstammung dieser Gleichungen von der Mechanik von Lagrangian, sieh unten.

Grundlegende physische Interpretation

Die einfachste Interpretation der Gleichungen von Hamilton ist wie folgt, sie auf ein eindimensionales System anwendend, das aus einer Partikel der MassenM unter zeitunabhängigen Grenzbedingungen besteht:

Der Hamiltonian vertritt die Energie des Systems (vorausgesetzt, dass es KEINE Außenkräfte oder zusätzliche Energie gibt, die zum System hinzugefügt ist),

der die Summe der kinetischen und potenziellen Energie ist, traditionell hat T und V, beziehungsweise angezeigt. Hier ist q die X-Koordinate, und p ist der Schwung, mv. Dann

:

Bemerken Sie, dass T eine Funktion von p allein ist, während V eine Funktion von x (oder q) allein ist.

Jetzt kommt die Zeitableitung des Schwungs p der Newtonischen Kraft gleich, und so hier die erste Gleichung von Hamilton bedeutet, dass die Kraft auf der Partikel der Rate gleichkommt, an der es potenzielle Energie in Bezug auf Änderungen in x, seiner Position verliert. (Kraft kommt dem negativen Anstieg der potenziellen Energie gleich.)

Die Zeitableitung von q hier bedeutet die Geschwindigkeit: Die zweite Gleichung von Hamilton hier bedeutet, dass die Geschwindigkeit der Partikel der Ableitung seiner kinetischen Energie in Bezug auf seinen Schwung gleichkommt. (Weil die Ableitung in Bezug auf p von p/2m p/m = mv/m = v. gleichkommt)

Technik, die Gleichungen von Hamilton zu verwenden

Die Gleichungen von Hamilton werden folgendermaßen verwendet. In Bezug auf die verallgemeinerten Koordinaten q und verallgemeinerten Geschwindigkeiten q :

1. Der Lagrangian wird gefunden.
2. Die Schwünge werden durch das Unterscheiden von Lagrangian in Bezug auf die (verallgemeinerten) Geschwindigkeiten berechnet:.
3. Die Geschwindigkeiten q  werden in Bezug auf die Schwünge p durch das Umkehren der Ausdrücke im vorherigen Schritt ausgedrückt.
4. Der Hamiltonian wird mit der üblichen Definition von H als die Transformation von Legendre von L berechnet:. Dann wird die Geschwindigkeiten ausgewechselt, die vorherigen Ergebnisse zu verwenden.
5. Die Gleichungen von Hamilton werden angewandt, um die Gleichungen der Bewegung des Systems zu erhalten.

Das Abstammen der Gleichungen von Hamilton

Die Gleichungen von Hamilton können durch das Schauen darauf abgeleitet werden, wie das Gesamtdifferenzial von Lagrangian rechtzeitig, verallgemeinerte Positionen und verallgemeinerte Geschwindigkeiten abhängt

:

\mathrm {d} \mathcal {L} = \sum_i \left (\frac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser q_i} \mathrm {d} q_i + \frac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\punktieren teilweise {\\q_i}} \mathrm {d} {\\, punktieren q_i} \right) + \frac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweise t\\mathrm {d} t

\. </Mathematik>

Jetzt wurden die verallgemeinerten Schwünge als definiert, und die Gleichungen von Lagrange erzählen uns das

:

\frac {\\mathrm {d}} {\\mathrm {d} t\\frac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser {\\punktieren q_i}} - \frac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser q_i} =0.

\</Mathematik>

Wir können das umordnen, um zu bekommen

:

\frac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser q_i} = {\\Punkt p} _i

\</Mathematik>

und setzen Sie das Ergebnis ins Gesamtdifferenzial von Lagrangian ein

:\. </Mathematik>

Wir können das als umschreiben

:

\mathrm {d} \mathcal {L} = \sum_i \left [{\\Punkt p} _i \mathrm {d} q_i + \mathrm {d }\\link (p_i {\\punktieren q_i} \right) - {\\punktieren q_i} \mathrm {d} p_i \right] + \frac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser t }\\mathrm {d} t

\</Mathematik>

und ordnen Sie wieder um, um zu bekommen

:

\mathrm {d} \left (\sum_i p_i {\\punktieren q_i} - \mathcal {L} \right), = \sum_i \left [-{\\Punkt p} _i \mathrm {d} q_i + {\\punktieren q_i} \mathrm {d} p_i \right] - \frac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser t }\\mathrm {d} t

\. </Mathematik>

Der Begriff ist auf der linken Seite gerade Hamiltonian, den wir vorher definiert haben, so finden wir das

:

\mathrm {d} \mathcal {H} = \sum_i \left [-{\\Punkt p} _i \mathrm {d} q_i + {\\punktieren q_i} \mathrm {d} p_i \right] - \frac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser t }\\mathrm {d} t = \sum_i \left [\frac {\\teilweiser \mathcal {H}} {\\teilweiser q_i} \mathrm {d} q_i +

\frac {\\teilweiser \mathcal {H}} {\\teilweiser p_i} \mathrm {d} p_i \right] + \frac {\\teilweiser \mathcal {H}} {\\teilweiser t }\\mathrm {d} t

\</Mathematik>

wo die zweite Gleichheit wegen der Definition des Gesamtdifferenzials in Bezug auf seine partiellen Ableitungen hält. Das Verbinden von Begriffen von beiden Seiten der Gleichung gibt oben die Gleichungen von Hamilton nach

:

Als eine neue Darlegung der Mechanik von Lagrangian

Mit der Mechanik von Lagrangian anfangend, basieren die Gleichungen der Bewegung auf verallgemeinerten Koordinaten

:

und verallgemeinerte Geschwindigkeiten vergleichend

:

Wir schreiben Lagrangian als

:

mit den subscripted Variablen, die verstanden sind, alle N Variablen dieses Typs zu vertreten. Mechanik von Hamiltonian hat zum Ziel, die verallgemeinerten Geschwindigkeitsvariablen durch verallgemeinerte Schwung-Variablen, auch bekannt als verbundenen Schwünge zu ersetzen. Durch das Tun so ist es möglich, bestimmte Systeme wie Aspekte der Quant-Mechanik zu behandeln, die sonst noch mehr kompliziert sein würde.

Für jede verallgemeinerte Geschwindigkeit gibt es einen entsprechenden verbundenen Schwung, definiert als:

:

In Kartesianischen Koordinaten sind die verallgemeinerten Schwünge genau die physischen geradlinigen Schwünge. In kreisförmigen Polarkoordinaten ist der verallgemeinerte Schwung entsprechend der winkeligen Geschwindigkeit der physische winkelige Schwung. Für eine willkürliche Wahl von verallgemeinerten Koordinaten kann es nicht möglich sein, eine intuitive Interpretation der verbundenen Schwünge zu erhalten.

Ein Ding, das in dieser abhängigen Koordinatenformulierung nicht zu offensichtlich ist, besteht darin, dass verschiedene verallgemeinerte Koordinaten wirklich nichts anderes als verschiedene Koordinatenflecke auf derselben Symplectic-Sammelleitung sind (sieh Mathematischen Formalismus, unten).

Der Hamiltonian ist Legendre verwandeln sich von Lagrangian:

:

Wenn die Transformationsgleichungen, die die verallgemeinerten Koordinaten definieren, von t unabhängig sind, und Lagrangian eine Summe von Produkten von Funktionen ist (in den verallgemeinerten Koordinaten), die vom Auftrag 0, 1 oder 2 homogen sind, dann kann es gezeigt werden, dass H der Gesamtenergie E = T + V gleich ist.

Jede Seite in der Definition dessen erzeugt ein Differenzial:

:

\mathrm {d }\\mathcal {H} &= \sum_i \left [\left ({\\teilweiser \mathcal {H} \over \partial q_i }\\Recht) \mathrm {d} q_i + \left ({\\teilweiser \mathcal {H} \over \partial p_i }\\Recht) \mathrm {d} p_i \right] + \left ({\\teilweiser \mathcal {H} \over \partial t }\\Recht) \mathrm {d} t\qquad\qquad\quad\quad \\\\

&= \sum_i \left [\dot {q} _i \, \mathrm {d} p_i + p_i \, \mathrm {d }\\Punkt {q} _i - \left ({\\teilweiser \mathcal {L} \over \partial q_i }\\Recht) \mathrm {d} q_i - \left ({\\teilweiser \mathcal {L} \over \partial \dot {q} _i }\\Recht) \mathrm {d }\\Punkt {q} _i \right] - \left ({\\teilweiser \mathcal {L} \over \partial t }\\Recht) \mathrm {d} t.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Die vorherige Definition der verbundenen Schwünge in diese Gleichung und des Zusammenbringens von Koeffizienten einsetzend, erhalten wir die Gleichungen der Bewegung der Mechanik von Hamiltonian, die als die kanonischen Gleichungen von Hamilton bekannt ist:

:

\frac {\\teilweiser \mathcal {H}} {\\teilweiser q_j} = - \dot {p} _j, \qquad

\frac {\\teilweiser \mathcal {H}} {\\teilweiser p_j} = \dot {q} _j, \qquad

\frac {\\teilweiser \mathcal {H}} {\\teilweise t\= - {\\teilweiser \mathcal {L} \over \partial t\.

</Mathematik>

Die Gleichungen von Hamilton sind Differenzialgleichungen der ersten Ordnung, und so leichter zu lösen als die Gleichungen von Lagrange, die zweite Ordnung sind. Die Gleichungen von Hamilton sind im Vorteil gegenüber den Gleichungen von Lagrange: Wenn ein System eine Symmetrie, solch hat, dass eine Koordinate in Hamiltonian nicht vorkommt, wird der entsprechende Schwung erhalten, und dass Koordinate in den anderen Gleichungen des Satzes ignoriert werden kann. Effektiv reduziert das das Problem von N-Koordinaten bis (n-1) Koordinaten. Im Fachwerk von Lagrangian natürlich folgt das Ergebnis, dass der entsprechende Schwung noch erhalten wird, sofort, aber alle verallgemeinerten Geschwindigkeiten kommen noch in Lagrangian vor - wir müssen noch ein Gleichungssystem in N-Koordinaten lösen.

Die Annäherungen von Lagrangian und Hamiltonian stellen den Grundstein für tiefere Ergebnisse in der Theorie der klassischen Mechanik, und für Formulierungen der Quant-Mechanik zur Verfügung.

Geometrie von Systemen von Hamiltonian

Ein Hamiltonian System kann als ein Faser-Bündel E mit der Zeit R, mit den Fasern E, t  R verstanden werden der Positionsraum zu sein. Der Lagrangian ist so eine Funktion auf dem Strahlbündel J über E; die Einnahme von fiberwise Legendre verwandelt sich Lagrangian erzeugt eine Funktion auf dem Doppelbündel mit der Zeit, dessen Faser an t der Kotangens-Raum TE ist, der ausgestattet mit einer natürlichen Symplectic-Form kommt, und diese letzte Funktion Hamiltonian ist.

Generalisation zur Quant-Mechanik durch die Klammer von Poisson

Die Gleichungen von Hamilton über der Arbeit gut für die klassische Mechanik, aber nicht für die Quant-Mechanik, seit den besprochenen Differenzialgleichungen nehmen an, dass man die genaue Position und den Schwung der Partikel gleichzeitig an jedem Punkt rechtzeitig angeben kann. Jedoch können die Gleichungen weiter verallgemeinert werden, um dann erweitert zu werden, um für die Quant-Mechanik sowie für die klassische Mechanik, durch die Deformierung der Algebra von Poisson über p und q zur Algebra von Klammern von Moyal zu gelten.

Spezifisch liest die allgemeinere Form der Gleichung von Hamilton

:

wo f etwas Funktion von p und q ist, und H Hamiltonian ist. Um die Regeln herauszufinden, für eine Klammer von Poisson zu bewerten, ohne Differenzialgleichungen aufzusuchen, sieh Liegen Algebra; eine Klammer von Poisson ist der Name für die Lüge-Klammer in einer Algebra von Poisson. Diese Klammern von Poisson können dann zu Klammern von Moyal erweitert werden, die zu einem inequivalent passen, Liegen Algebra,

wie bewiesen, durch H Groenewold, und beschreiben dadurch Quant mechanische Verbreitung im Phase-Raum (Sieh den Unklarheitsgrundsatz und Weyl quantization).

Diese mehr algebraische Annäherung erlaubt nicht nur schließlich

das Verlängern des Wahrscheinlichkeitsvertriebs im Phase-Raum zu

Quasiwahrscheinlichkeitsvertrieb von Wigner, aber, an der bloßen Klammer von Poisson, die klassische Einstellung, auch mehr Macht im Helfen zur Verfügung stellt, analysiert die relevanten erhaltenen Mengen in einem System.

Mathematischer Formalismus

Jede glatte reellwertige Funktion H auf einer Symplectic-Sammelleitung kann verwendet werden, um ein System von Hamiltonian zu definieren. Die Funktion H ist als Hamiltonian oder die Energiefunktion bekannt. Die Symplectic-Sammelleitung wird dann den Phase-Raum genannt. Der Hamiltonian veranlasst ein spezielles Vektorfeld auf der Symplectic-Sammelleitung, die als das Vektorfeld von Hamiltonian bekannt ist.

Das Hamiltonian Vektorfeld (ein spezieller Typ des symplectic Vektorfeldes) veranlasst einen Fluss von Hamiltonian auf der Sammelleitung. Das ist eine Ein-Parameter-Familie von Transformationen der Sammelleitung (der Parameter der Kurven wird die Zeit allgemein genannt); mit anderen Worten ein isotopy von symplectomorphisms, mit der Identität anfangend. Durch den Lehrsatz von Liouville bewahrt jeder symplectomorphism die Volumen-Form auf dem Phase-Raum. Die Sammlung von durch den Fluss von Hamiltonian veranlasstem symplectomorphisms wird die Mechanik von Hamiltonian des Systems von Hamiltonian allgemein genannt.

Die symplectic Struktur veranlasst eine Klammer von Poisson. Die Klammer von Poisson gibt den Raum von Funktionen auf der Sammelleitung die Struktur einer Lüge-Algebra.

In Anbetracht einer Funktion f

:

Wenn wir einen Wahrscheinlichkeitsvertrieb, ρ haben, dann (seit der Phase-Raumgeschwindigkeit hat Nullabschweifung, und wird Wahrscheinlichkeit erhalten), wie man zeigen kann, ist seine convective Ableitung Null und so

:

Das wird den Lehrsatz von Liouville genannt. Jede glatte Funktion G über die Symplectic-Sammelleitung erzeugt eine Ein-Parameter-Familie von symplectomorphisms, und wenn {G, H} = 0, dann wird G erhalten und die symplectomorphisms Symmetrie-Transformationen sind.

Ein Hamiltonian kann vielfache erhaltene Mengen G haben. Wenn die Symplectic-Sammelleitung Dimension 2n hat und es n funktionell unabhängige erhaltene Mengen G gibt, die in der Involution sind (d. h., {G, G} = 0), dann ist Hamiltonian Liouville integrable. Der Liouville-Arnol'd Lehrsatz sagt, dass lokal jeder Liouville integrable Hamiltonian über einen symplectomorphism in neuem Hamiltonian mit den erhaltenen Mengen G als Koordinaten umgestaltet werden kann; die neuen Koordinaten werden Handlungswinkel-Koordinaten genannt. Umgestalteter Hamiltonian hängt nur vom G ab, und folglich haben die Gleichungen der Bewegung die einfache Form

:

für etwas Funktion F (Arnol'd u. a. 1988). Es gibt ein komplettes Feld, das sich auf kleine Abweichungen von integrable durch den KAM Lehrsatz geregelten Systemen konzentriert.

Der integrability von Vektorfeldern von Hamiltonian ist eine geöffnete Frage. Im Allgemeinen sind Systeme von Hamiltonian chaotisch; Konzepte des Maßes, der Vollständigkeit, integrability und der Stabilität werden schlecht definiert. In dieser Zeit ist die Studie von dynamischen Systemen in erster Linie, und nicht eine quantitative Wissenschaft qualitativ.

Sammelleitungen von Riemannian

Ein wichtiger spezieller Fall besteht aus jenen Hamiltonians, die quadratische Formen, d. h. Hamiltonians sind, der als geschrieben werden kann

:

wo ein glatt unterschiedliches Skalarprodukt auf den Fasern, dem Kotangens-Raum zum Punkt q im Konfigurationsraum, manchmal genannt einen cometric ist. Dieser Hamiltonian besteht völlig aus dem kinetischen Begriff.

Wenn man eine Sammelleitung von Riemannian oder eine Pseudo-Riemannian-Sammelleitung denkt, veranlasst metrischer Riemannian einen geradlinigen Isomorphismus zwischen der Tangente und den Kotangens-Bündeln. (Sieh Musikisomorphismus). Mit diesem Isomorphismus kann man einen cometric definieren. (In Koordinaten ist die Matrix, die den cometric definiert, das Gegenteil der Matrix, die das metrische definiert.) Die Lösungen der Gleichungen von Hamilton-Jacobi für diesen Hamiltonian sind dann dasselbe als der geodesics auf der Sammelleitung. Insbesondere der Fluss von Hamiltonian ist in diesem Fall dasselbe Ding wie der geodätische Fluss. Die Existenz solcher Lösungen und die Vollständigkeit des Satzes von Lösungen, werden im Detail im Artikel über geodesics besprochen. Siehe auch Geodesics als Flüsse von Hamiltonian.

Sub-Riemannian Sammelleitungen

Wenn der cometric degeneriert ist, dann ist es nicht invertible. In diesem Fall lässt man keinen Riemannian vervielfältigen, weil man keinen metrischen hat. Jedoch besteht Hamiltonian noch. Im Fall, wo der cometric an jedem Punkt q des Konfigurationsraums degeneriert ist, vervielfältigen Q, so dass die Reihe des cometric weniger ist als die Dimension der Sammelleitung Q, hat man eine Sub-Riemannian-Sammelleitung.

Der Hamiltonian ist in diesem Fall als sub-Riemannian Hamiltonian bekannt. Jeder solcher Hamiltonian bestimmt einzigartig den cometric, und umgekehrt. Das deutet an, dass jede Sub-Riemannian-Sammelleitung von seinem sub-Riemannian Hamiltonian einzigartig bestimmt wird, und dass das gegenteilige wahr ist: Jede Sub-Riemannian-Sammelleitung hat einzigartigen sub-Riemannian Hamiltonian. Die Existenz von sub-Riemannian geodesics wird durch den Lehrsatz des Chow-Chows-Rashevskii gegeben.

Die dauernde, reellwertige Gruppe von Heisenberg stellt ein einfaches Beispiel einer Sub-Riemannian-Sammelleitung zur Verfügung. Für die Gruppe von Heisenberg wird Hamiltonian durch gegeben

:

wird an Hamiltonian nicht beteiligt.

Algebra von Poisson

Systeme von Hamiltonian können auf verschiedene Weisen verallgemeinert werden. Anstatt einfach auf die Algebra von glatten Funktionen über eine Symplectic-Sammelleitung zu schauen, kann Mechanik von Hamiltonian auf allgemeinen echten unital Ersatzalgebra von Poisson formuliert werden. Ein Staat ist ein dauernder geradliniger funktioneller auf der Algebra von Poisson (ausgestattet mit einer passenden Topologie) solch, dass für jedes Element der Algebra Ein ² zu einer nichtnegativen reellen Zahl kartografisch darstellt.

Eine weitere Generalisation wird durch die Dynamik von Nambu gegeben.

Beladene Partikel in einem elektromagnetischen Feld

Eine gute Illustration der Mechanik von Hamiltonian wird von Hamiltonian einer beladenen Partikel in einem elektromagnetischen Feld gegeben. In Kartesianischen Koordinaten (d. h.)., Lagrangian einer nichtrelativistischen klassischen Partikel in einem elektromagnetischen Feld ist (in SI-Einheiten):

:

wo e die elektrische Anklage der Partikel ist (nicht notwendigerweise die Elektronanklage), ist das elektrische Skalarpotenzial, und der Bestandteile des magnetischen Vektor-Potenzials zu sein (diese können durch eine Maß-Transformation modifiziert werden). Das wird minimale Kopplung genannt.

Die verallgemeinerten Schwünge können abgeleitet werden durch:

:

Umordnen, wir können die Geschwindigkeiten in Bezug auf die Schwünge als ausdrücken:

:

Wenn wir die Definition der Schwünge und die Definitionen der Geschwindigkeiten in Bezug auf die Schwünge in die Definition von Hamiltonian einsetzen, der oben gegeben ist, und dann vereinfachen und umordnen, kommen wir:

:

Diese Gleichung wird oft in der Quant-Mechanik verwendet.

Relativistische beladene Partikel in einem elektromagnetischen Feld

Durch den Lagrangian für eine relativistische beladene Partikel wird gegeben:

:

So ist der kanonische (ganze) Schwung der Partikel

:

d. h. die Summe des kinetischen Schwungs und des potenziellen Schwungs.

Für die Geschwindigkeit lösend, bekommen wir

:

So ist Hamiltonian

:

Davon bekommen wir die Kraft-Gleichung (gleichwertig zur Euler-Lagrange Gleichung)

:

von dem ableiten kann

:

Ein gleichwertiger Ausdruck für Hamiltonian als Funktion des relativistischen (kinetischen) Schwungs, ist

:

Das hat den Vorteil, der experimentell gemessen werden kann, wohingegen nicht kann. Bemerken Sie, dass Hamiltonian (Gesamtenergie) als die Summe der relativistischen Energie (kinetic+rest), plus die potenzielle Energie, angesehen werden kann

Siehe auch

• Kanonische Transformation
• Klassische Feldtheorie
• Klassische Mechanik
• Dynamische Systemtheorie
• Gleichung von Hamilton-Jacobi
• Mechanik von Lagrangian
• Die Gleichungen von Maxwell
• Hamiltonian (Quant-Mechanik)
• Quant-Gleichungen von Hamilton
• Quant-Feldtheorie
• Optik von Hamiltonian

Kommentare

Anderer

Links