Transfinite Zahlen sind Zahlen, die im Sinn "unendlich" sind, dass sie größer als alle begrenzten Zahlen, noch nicht notwendigerweise absolut unendlich sind. Der transfinite Begriff wurde von Georg Cantor ins Leben gerufen, der einige der Implikationen des Wortes hat vermeiden wollen, das im Zusammenhang mit diesen Gegenständen unendlich ist, die dennoch nicht begrenzt waren. Wenige zeitgenössische Schriftsteller teilen diese Schwächen; es ist jetzt akzeptierter Gebrauch, um sich auf transfinite Kardinäle und Ordnungszahlen als "unendlich" zu beziehen. Jedoch bleibt der Begriff "transfiniter" auch im Gebrauch.

Definition

Als mit begrenzten Zahlen gibt es zwei Denkarten von transfiniten Zahlen, als Ordinalzahlen und Grundzahlen. Verschieden von den begrenzten Ordnungszahlen und Kardinälen definieren die transfiniten Ordnungszahlen und Kardinäle verschiedene Klassen von Zahlen.

• ω (Omega) wird als die niedrigste transfinite Ordinalzahl definiert und ist der Ordnungstyp der natürlichen Zahlen unter ihrer üblichen geradlinigen Einrichtung.
• Aleph-ungültig wird als die erste transfinite Grundzahl definiert und ist der cardinality des unendlichen Satzes der natürlichen Zahlen. Wenn das Axiom der Wahl hält, ist die folgende höhere Grundzahl aleph ein. Wenn nicht, es kann andere Kardinäle geben, die mit aleph ein unvergleichbar und größer sind als Aleph-Null. Aber jedenfalls gibt es keine Kardinäle zwischen Aleph-Null und aleph ein.

Die Kontinuum-Hypothese stellt fest, dass es keine Zwischengrundzahlen zwischen der Aleph-Null und dem cardinality des Kontinuums (der Satz von reellen Zahlen) gibt: Das heißt, aleph ist man der cardinality des Satzes von reellen Zahlen. (Wenn Zermelo-Fraenkel Mengenlehre (ZFC) entspricht, dann können weder die Kontinuum-Hypothese noch seine Ablehnung von ZFC bewiesen werden.)

Einige Autoren, einschließlich P. Suppes und J. Rubins, gebrauchen den Begriff der transfinite Kardinal, um sich auf den cardinality eines Dedekind-unendlichen Satzes in Zusammenhängen zu beziehen, wo das dem "unendlichen Kardinal" nicht gleichwertig sein kann; d. h. in Zusammenhängen, wo das Axiom der zählbaren Wahl nicht angenommen wird oder nicht bekannt ist zu halten. In Anbetracht dieser Definition ist der folgende die ganze Entsprechung:

• M ist ein transfiniter Kardinal. D. h. es gibt Dedekind unendlicher Satz Ein solcher, dass der cardinality von A M ist.
• M + 1 = M.

•  M.
• es gibt einen grundsätzlichen solchen n dass + n = M.

Siehe auch

• Absolut unendlicher
• Zahl von Aleph
• Zahl von Beth
• Kantor von Georg
• Grundzahl
• Unzugänglicher grundsätzlicher
• Unendlichkeit plus ein
• Unendlich kleiner
• Großer grundsätzlicher
• Großer zählbarer Ordnungs-
• Beschränken Sie Ordnungs-
• Kardinal von Mahlo
• Messbarer grundsätzlicher
• Ordnungsarithmetik
• Ordinalzahl
• Transfinite Induktion
• Erhebung, Azriel, 2002 (1978) Grundlegende Mengenlehre. Veröffentlichungen von Dover. Internationale Standardbuchnummer 0-486-42079-5
• O'Connor, J. J. und E. F. Robertson (1998) "Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor," Geschichte von MacTutor des Mathematik-Archivs.
• Rubin, Jean E., 1967. "Mengenlehre für den Mathematiker". San Francisco: Holden-tägig. Niedergelegt in der Mengenlehre der Morsezeichen-Kelley.
• Rudy Rucker, 2005 (1982) Unendlichkeit und die Meinung. Princeton Univ. Drücken. In erster Linie eine Erforschung der philosophischen Implikationen des Paradieses des Kantoren. Internationale Standardbuchnummer 978-0-691-00172-2.
• Patrick Suppes, 1972 (1960) "Axiomatische Mengenlehre". Dover. Internationale Standardbuchnummer 0-486-61630-4. Niedergelegt in ZFC.