In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist der Lehrsatz von Bayes (wechselweise das Gesetz von Bayes oder die Regierung von Bayes) ein Lehrsatz mit zwei verschiedenen Interpretationen. In der Interpretation von Bayesian drückt es aus, wie sich ein subjektiver Grad des Glaubens zur Rechnung für Beweise vernünftig ändern sollte. In der frequentist Interpretation verbindet es umgekehrte Darstellungen der Wahrscheinlichkeiten bezüglich zwei Ereignisse. In der Interpretation von Bayesian ist der Lehrsatz von Buchten für die Statistik von Bayesian grundsätzlich, und hat Anwendungen in Feldern einschließlich Wissenschaft, Technik, Medizin und Gesetzes. Die Anwendung des Lehrsatzes von Buchten, um Glauben zu aktualisieren, wird Schlussfolgerung von Bayesian genannt.

Der Lehrsatz von Bayes wird für Thomas Bayes genannt ((1701 - 1761)), wer zuerst vorgeschlagen hat, den Lehrsatz zu verwenden, um Glauben zu aktualisieren. Jedoch wurde seine Arbeit postum veröffentlicht. Seine Ideen haben beschränkte Aussetzung gewonnen, bis sie unabhängig wieder entdeckt und weiter von Laplace entwickelt wurden, der zuerst die moderne Formulierung in seinem 1812-Théorie analytique des probabilités veröffentlicht hat. Bis zur zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts hat die Interpretation von Bayesian weit verbreitete Meinungsverschiedenheit von der Mathematik-Gemeinschaft angezogen, die allgemein Frequentist-Ansichten gehabt hat, Bayesianism als unwissenschaftlich zurückweisend. Jedoch wird es jetzt weit akzeptiert. Das kann wegen der Entwicklung der Computerwissenschaft gewesen sein, die die erfolgreiche Anwendung von Bayesianism zu vielen komplizierten Problemen ermöglicht hat.

Einleitendes Beispiel

Wenn jemand Ihnen gesagt hat, dass er ein nettes Gespräch im Zug, die Wahrscheinlichkeit hatte es war eine Frau, mit der er gesprochen hat, ist 50 %. Wenn er Ihnen die Person erzählt hat, dass er damit gesprochen hat, war dabei, eine Steppdecke-Ausstellung zu besuchen, es ist viel wahrscheinlicher als 50 % es ist eine Frau. Nennen Sie das Ereignis "er hat mit einer Frau" und dem Ereignis "ein Besucher der Steppdecke-Ausstellung" gesprochen. Dann: aber mit den Kenntnissen des aktualisierten Werts ist das kann mit der Formel von Buchten als berechnet werden:

:

in dem (Mann) die Ergänzung dessen ist. Als und wird der aktualisierte Wert ganz 1 nah sein.

Behauptung und Interpretation

Mathematisch gibt der Lehrsatz von Buchten die Beziehung zwischen den Wahrscheinlichkeiten und, und, und den bedingten Wahrscheinlichkeiten von gegebenen und gegebenen, und. In seiner dem grössten Teil der Standardform ist es:

:

Die Bedeutung dieser Behauptung hängt von der Interpretation der den Begriffen zugeschriebenen Wahrscheinlichkeit ab:

Interpretation von Bayesian

In Bayesian (oder erkenntnistheoretisch) Interpretation misst Wahrscheinlichkeit einen Grad des Glaubens. Der Lehrsatz von Buchten verbindet dann den Grad des Glaubens an einen Vorschlag vorher und nach der Erklärung von Beweisen. Nehmen Sie zum Beispiel an, dass jemand vorschlägt, dass eine voreingenommene Münze zweimal so wahrscheinlich ist, Köpfe zu landen, als Schwänze. Der Grad des Glaubens daran könnte 50 % am Anfang sein. Die Münze wird dann verschiedene Male geschnipst, um Beweise zu sammeln. Glaube kann sich zu 70 % erheben, wenn die Beweise den Vorschlag unterstützen.

Für den Vorschlag und die Beweise,

:*, das vorherige, ist der anfängliche Grad des Glaubens daran.

:*, das spätere, ist der Grad des Glaubens, der dafür verantwortlich gewesen ist.

:* vertritt die Unterstützung sorgt.

Für mehr auf der Anwendung des Lehrsatzes von Buchten unter der Interpretation von Bayesian der Wahrscheinlichkeit, sieh Schlussfolgerung von Bayesian.

Interpretation von Frequentist

In der frequentist Interpretation wird Wahrscheinlichkeit in Bezug auf eine Vielzahl von Proben, jeder definiert, ein Ergebnis von einer Reihe möglicher Ergebnisse erzeugend. Ein Ereignis ist eine Teilmenge dessen. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist das Verhältnis von Proben, die ein Ergebnis darin erzeugen. Ähnlich für die Wahrscheinlichkeit. Wenn wir nur Proben denken, in denen vorkommt, ist das Verhältnis, in dem auch vorkommt. Wenn wir nur Proben denken, in denen vorkommt, ist das Verhältnis, in dem auch vorkommt. Der Lehrsatz von Buchten ist eine feste Beziehung zwischen diesen Mengen.

Diese Situation kann mit Baumdiagrammen, gezeigt nach rechts mehr völlig vergegenwärtigt werden. Die zwei Diagramme vertreten dieselbe Information unterschiedlich. Nehmen Sie zum Beispiel an, dass das einen Risikofaktor für eine medizinische Bedingung hat, und die Bedingung hat. In einer Bevölkerung hängt das Verhältnis mit der Bedingung ab, ob diejenigen mit oder ohne den Risikofaktor untersucht werden. Das Verhältnis, das den Risikofaktor hat, hängt ab, ob diejenigen mit oder ohne die Bedingung untersucht werden. Der Lehrsatz von Buchten verbindet diese umgekehrten Darstellungen.

Formen

Für Ereignisse

Einfache Form

Für Ereignisse und, vorausgesetzt, dass.

:

In einem Interferenzschritt von Bayesian ist die Wahrscheinlichkeit von Beweisen für alle Modelle unveränderlich. Das spätere kann dann als proportional zum Zähler ausgedrückt werden:

:

Verlängerte Form

Häufig, für etwas Teilung des Ereignis-Raums, wird der Ereignis-Raum gegeben oder in Bezug auf begrifflich gefasst und. Es ist dann nützlich, das Verwenden des Gesetzes der Gesamtwahrscheinlichkeit zu beseitigen:

::

Im speziellen Fall einer binären Teilung,

:

Drei oder mehr Ereignisse

Erweiterungen auf den Lehrsatz von Buchten können für drei oder mehr Ereignisse gefunden werden. Zum Beispiel, für drei Ereignisse, zwei möglichen Baumdiagramm-Zweig in der Ordnung BCA und Abc. Durch die wiederholte Verwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:

:

Als vorher kann gegen das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit unbekannte Randwahrscheinlichkeiten ausgewechselt werden.

Für zufällige Variablen

Betrachten Sie einen Beispielraum als erzeugt durch zwei zufällige Variablen und. Im Prinzip gilt der Lehrsatz von Buchten für die Ereignisse und. Jedoch werden Begriffe 0 an Punkten, wo jede Variable begrenzte Wahrscheinlichkeitsdichte hat. Um nützlich zu bleiben, kann der Lehrsatz von Buchten in Bezug auf die relevanten Dichten formuliert werden (sieh Abstammung).

Einfache Form

Wenn dauernd ist und, getrennt

ist:

Wenn getrennt ist und, dauernd

ist:

Wenn beide und, dauernd

sind:

Verlängerte Form

Ein dauernder Ereignis-Raum wird häufig in Bezug auf die Zähler-Begriffe begrifflich gefasst. Es ist dann nützlich, den Nenner mit dem Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit zu beseitigen. Da das ein Integral wird:

:

Die Regel von Buchten

Unter der Interpretation von Bayesian der Wahrscheinlichkeit kann von der Regel von Buchten als der Lehrsatz von Buchten in der Verschiedenheitsform gedacht werden.

:

Wo

:

Abstammung

Für allgemeine Ereignisse

Der Lehrsatz von Buchten kann aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit abgeleitet werden:

::::

Für zufällige Variablen

Für zwei dauernde zufällige Variablen und kann der Lehrsatz von Buchten aus der Definition der bedingten Dichte analog abgeleitet werden:

:::

Beispiele

Beispiel von Frequentist

Ein Entomologe entdeckt, was eine seltene Unterart des Käfers wegen des Musters auf seinem Rücken sein könnte. In der seltenen Unterart haben 98 % das Muster. In der allgemeinen Unterart haben 5 % das Muster. Die seltene Unterart ist für nur 0.1 % der Bevölkerung verantwortlich. Wie soll wahrscheinlich der Käfer selten sein?

Von der verlängerten Form des Lehrsatzes von Buchten,

:

&= \frac {0.98 \times 0.001} {0.98 \times 0.001 + 0.05 \times 0.999} \\[8pt]

&\\etwa 1.9 \% \end {richten} </Mathematik> {aus}

Rauschgift-Prüfung

Nehmen Sie an, dass ein Rauschgift-Test um 99 % empfindlich und um 99 % spezifisch ist. D. h. der Test wird positive wahre 99-%-Ergebnisse für Rauschgift-Benutzer und negative wahre 99-%-Ergebnisse für Nichtrauschgift-Benutzer erzeugen. Nehmen Sie an, dass 0.5 % von Leuten Benutzer des Rauschgifts sind. Wenn eine zufällig ausgewählte Person positiv prüft, wie ist die Wahrscheinlichkeit, ist er oder sie ein Benutzer?

:

\begin {richten }\aus

P (\text {Benutzer} | \text {+}) &= \frac {P (\text {+} | \text {Benutzer}) P (\text {Benutzer})} {P (\text {+} | \text {Benutzer}) P (\text {Benutzer}) + P (\text {+} | \text {Nichtausübung eines Rechts}) P (\text {Nichtausübung eines Rechts})} \\[8pt]

&= \frac {0.99 \times 0.005} {0.99 \times 0.005 + 0.01 \times 0.995} \\[8pt]

&\\etwa 33.2 \%

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Trotz der offenbaren Genauigkeit des Tests, wenn eine Person positiv prüft, ist es wahrscheinlicher, dass sie das Rauschgift nicht verwenden als das, tun sie.

Dieses überraschende Ergebnis entsteht, weil die Zahl der Nichtausübung eines Rechts im Vergleich zur Zahl von Benutzern sehr groß, solch ist, dass die Zahl von falschem positives (0.995 %) die Zahl von wahrem positives (0.495 %) überwiegt. Um konkrete Zahlen zu verwenden, wenn 1000 Personen geprüft werden, dort werden erwartet, 995 Nichtausübung eines Rechts und 5 Benutzer zu sein. Von der 995 Nichtausübung eines Rechts werden falsche positives erwartet. Von den 5 Benutzern werden wahre positives erwartet. Aus 15 positiven Ergebnissen sind nur 5, ungefähr 33 %, echt.

Geschichte

Der Lehrsatz von Bayes wurde nach dem Ehrwürdigen Thomas Bayes (1702-61) genannt, wer studiert hat, wie man einen Vertrieb für den Wahrscheinlichkeitsparameter eines binomischen Vertriebs (in der modernen Fachsprache) schätzt. Sein Freund Richard Price hat editiert und hat diese Arbeit 1763, nach dem Tod von Bayes, als Ein Aufsatz zum Beheben eines Problems in der Doktrin von Chancen präsentiert. Der französische Mathematiker Pierre-Simon Laplace hat sich vermehrt und hat sich ausgestreckt Bayes läuft auf 1774 hinaus, der der Arbeit von Bayes anscheinend ziemlich unbewusst ist. Stephen Stigler hat 1983 vorgeschlagen, dass der Lehrsatz von Bayes von Nicholas Saunderson eine Zeit vor Bayes entdeckt wurde: Jedoch ist diese Interpretation diskutiert worden.

Stephen Fienberg beschreibt die Evolution von der "umgekehrten Wahrscheinlichkeit" zur Zeit von Bayes und Laplace, einem Begriff, der noch von Harold Jeffreys (1939), zu "Bayesian" in den 1950er Jahren gebraucht ist.

Komischerweise hat Ronald A. Fisher das "Bayesian"-Etikett in einem abschätzigen Sinn eingeführt.

Siehe auch

• Dempster-Shafer Theorie - Generalisation des Lehrsatzes von Buchten

Referenzen

Weiterführende Literatur

• Pierre-Simon Laplace. (1774/1986), "Biografie auf der Wahrscheinlichkeit der Ursachen von Ereignissen", Statistische Wissenschaft 1 (3):364-378.
• Stephen M. Stigler (1986), "die 1774-Biografie von Laplace auf der Umgekehrten Wahrscheinlichkeit", Statistische Wissenschaft 1 (3):359-363.
• Die Regel von Buchten: Eine Tutoreinführung durch den JV Stein.

Links

• Frühster Bekannter Gebrauch von Einigen der Wörter von Ursprüngen von Mathematics (B). Contains von "Bayesian", "der Lehrsatz von Buchten", "Bayes Schätzung/Gefahr/Lösung", "Empirischer Bayes", und "Bayes Faktor".
• Bayesian Statistikzusammenfassung von Scholarpedia.
• Ein Tutorenkurs auf der Wahrscheinlichkeit und dem Lehrsatz von Buchten, der für Psychologie-Studenten der Universität Oxford ausgedacht ist
• Eine grafische Erklärung des Lehrsatzes von Bayes.