In der Mathematik waren die Vermutungen von Weil einige hoch einflussreiche Vorschläge durch auf den Erzeugen-Funktionen (bekannt als lokale Zeta-Funktionen) ist auf das Zählen der Zahl von Punkten auf algebraischen Varianten über begrenzte Felder zurückzuführen gewesen.

Eine Vielfalt V über ein begrenztes Feld mit q Elementen hat eine begrenzte Zahl von vernünftigen Punkten, sowie weist über jedes begrenzte Feld mit q Elementen hin, die dieses Feld enthalten. Die Erzeugen-Funktion ließ auf Koeffizienten die Zahlen N Punkte über das (im Wesentlichen einzigartige) Feld mit q Elementen ableiten.

Weil hat vermutet, dass solche Zeta-Funktionen vernünftige Funktionen sein sollten, eine Form der funktionellen Gleichung befriedigen sollten, und ihren zeroes in eingeschränkten Plätzen haben sollten. Die letzten zwei Teile wurden auf dem Riemann zeta Funktion und Hypothese von Riemann ganz bewusst modelliert.

Die Vernunft wurde durch, die funktionelle Gleichung durch bewiesen, und die Entsprechung der Hypothese von Riemann wurde durch bewiesen

Hintergrund und Geschichte

Das frühste vorangegangene Ereignis der Vermutungen von Weil ist durch Carl Friedrich Gauss und erscheint im Abschnitt VII seines Disquisitiones Arithmeticae, der mit Wurzeln der Einheit und Perioden von Gaussian betroffen ist. Im Artikel 358 geht er von den Perioden weiter, die Türme von quadratischen Erweiterungen für den Aufbau von regelmäßigen Vielecken aufbauen; und nimmt an, dass p eine solche Primzahl ist, der durch 3 teilbar ist. Dann gibt es ein zyklisches Kubikfeld innerhalb des cyclotomic Feldes von pth Wurzeln der Einheit und einer normalen integrierten Basis von Perioden für die ganzen Zahlen dieses Feldes (ein Beispiel des Hilbert-Speiser Lehrsatzes). Gauss baut die Perioden des Auftrags 3, entsprechend der zyklischen Gruppe (Z/pZ) von Nichtnullrückständen modulo p unter der Multiplikation und seiner einzigartigen Untergruppe des Index drei. Gauss lässt, und

Die Weil-Vermutungen im speziellen Fall von algebraischen Kurven wurden dadurch vermutet. Der Fall von Kurven über begrenzte Felder wurde von Weil bewiesen, das Projekt beendend, das mit dem Lehrsatz von Hasse auf elliptischen Kurven über begrenzte Felder angefangen ist. Ihr Interesse war aus der Zahlentheorie offensichtlich genug: Sie haben obere Grenzen für Exponentialsummen, eine grundlegende Sorge in der analytischen Zahlentheorie einbezogen.

Was aus dem Gesichtswinkel von anderen mathematischen Gebieten wirklich auffallend war, war die vorgeschlagene Verbindung mit der algebraischen Topologie. Vorausgesetzt, dass begrenzte Felder in der Natur getrennt sind, und Topologie nur über das dauernde spricht, schlug die ausführliche Formulierung von Weil (gestützt darauf, einige Beispiele auszuarbeiten), und Roman. Es hat darauf hingewiesen, dass die Geometrie über begrenzte Felder wohl bekannte Muster in Zusammenhang mit Zahlen von Betti, der Fixpunktsatz von Lefschetz und so weiter einbauen sollte.

Die Analogie mit der Topologie hat darauf hingewiesen, dass eine neue homological Theorie aufgestellt wird, innerhalb der algebraischen Geometrie geltend. Das hat zwei Jahrzehnte genommen (es war ein Hauptziel der Arbeit und Schule von Alexander Grothendieck) das Aufbauen auf anfänglichen Vorschlägen von Serre. Der Vernunft-Teil der Vermutungen wurde erst durch, mit p-adic Methoden bewiesen. und seine Mitarbeiter haben die Vernunft-Vermutung, die funktionelle Gleichung und die Verbindung zu Zahlen von Betti eingesetzt, indem sie die Eigenschaften von étale cohomology, eine neue cohomology Theorie verwendet haben, die von Grothendieck und Artin entwickelt ist, für die Vermutungen von Weil, wie entworfen, darin anzugreifen.

Der vier Vermutungen war die Entsprechung der Hypothese von Riemann am härtesten sich zu erweisen. Motiviert durch den Beweis einer Entsprechung der Vermutungen von Weil für Sammelleitungen von Kähler hat sich Grothendieck einen Beweis vorgestellt, der auf seinen Standardvermutungen auf algebraischen Zyklen gestützt ist. Jedoch bleiben die Standardvermutungen offen (abgesehen vom harten Lehrsatz von Lefschetz, der von Deligne durch das Verlängern seiner Arbeit an den Vermutungen von Weil bewiesen wurde), und die Entsprechung der Hypothese von Riemann durch, mit dem étale cohomology Theorie bewiesen wurde, aber den Gebrauch von Standardvermutungen durch ein geniales Argument überlistend.

gefunden und hat eine Generalisation der Vermutungen von Weil bewiesen, die Gewichte des pushforward eines Bündels begrenzend.

Behauptung der Vermutungen von Weil

Nehmen Sie an, dass X eine nichtsinguläre n-dimensional projektive algebraische Vielfalt über Feld F mit q Elementen ist. Die Zeta-Funktion ζ (X, s) X ist definitionsgemäß

:

wo N die Zahl von Punkten X definiert über den Grad M Erweiterung F von F ist.

Der Weil vermutet Staat:

1. (Vernunft) ζ (X, s) ist eine vernünftige Funktion von T = q. Genauer, ζ (X, s) kann als ein begrenztes Wechselprodukt geschrieben werden
2. (Funktionelle Gleichung und Dualität von Poincaré) Die Zeta-Funktion befriedigt
3. (Hypothese von Riemann) α = q für alle und den ganzen j. Das deutet an, dass alle Nullen von P (T) auf der "kritischen Linie" von komplexen Zahlen s mit dem echten Teil k/2 liegen.
4. (Zahlen von Betti), Wenn X die (gute) "Verminderung mod p" von einer nichtsingulären projektiven Vielfalt Y definiert über ein im Feld von komplexen Zahlen eingebettetes numerisches Feld ist, dann ist der Grad von P ich Zahl von Betti des Raums von komplizierten Punkten von Y.

Beispiele

Die projektive Linie

Das einfachste Beispiel (anders als ein Punkt) soll X nehmen, um die projektive Linie zu sein. Die Zahl von Punkten X über ein Feld mit q Elementen ist gerade N = q + 1 (wohin "+ 1" aus dem "Punkt an der Unendlichkeit" kommt). Die Zeta-Funktion ist gerade

:1/(1 − q) (1 − q).

Es ist leicht zu überprüfen, dass alle Teile von Weil direkt mutmaßen. Zum Beispiel ist die entsprechende komplizierte Vielfalt der Bereich von Riemann und seine Initiale Zahlen von Betti sind 1, 0, 1.

Projektiver Raum

Es ist nicht viel härter, n dimensionalen projektiven Raum zu tun.

Die Zahl von Punkten X über ein Feld mit q Elementen ist

gerade N = 1 + q + q +... + q. Die Zeta-Funktion ist gerade

:1/(1 − q) (1 − q) (1 − q)... (1 − q).

Es ist wieder leicht zu überprüfen, dass alle Teile von Weil direkt mutmaßen. (Komplizierter projektiver Raum gibt die relevanten Zahlen von Betti, die fast die Antwort bestimmen.)

Die Zahl von Punkten auf der projektiven Linie und dem projektiven Raum ist so leichter talculate, weil sie als zusammenhanglose Vereinigungen einer begrenzten Zahl von Kopien von affine Räumen geschrieben werden können. Es ist auch leicht, die Vermutungen von Weil für andere Räume, wie Grassmannians und Fahne-Varianten zu beweisen, die dasselbe "Pflastern"-Eigentum haben.

Elliptische Kurven

Diese geben die ersten nichttrivialen Fälle der Vermutungen von Weil (bewiesen von Hasse).

Wenn E eine elliptische Kurve über ein begrenztes Feld mit q Elementen ist, dann ist die Zahl von Punkten von E, der über das Feld mit q Elementen definiert ist, 1 − − β + q,

wo α und β kompliziert sind, paart sich mit dem absoluten Wert q.

Die Zeta-Funktion ist

: ζ (E, s) = (1 − αq) (1 − βq) / (1 − q) (1 − q).

Weil cohomology

Weil hat vorgeschlagen, dass die Vermutungen aus der Existenz eines passenden "Weils cohomology Theorie" für Varianten über begrenzte Felder folgen würden, die dem üblichen cohomology mit vernünftigen Koeffizienten für komplizierte Varianten ähnlich sind.

Seine Idee bestand dass darin, wenn F Frobenius automorphism über das begrenzte Feld ist, dann ist die Zahl von Punkten der Vielfalt X über das Feld des Auftrags q die Zahl von festen Punkten von F (allen Punkten der Vielfalt X definiert über den algebraischen Verschluss folgend). In der algebraischen Topologie kann die Zahl von festen Punkten eines automorphism mit Lefschetz befestigter Punkt-Lehrsatz ausgearbeitet werden, der als eine Wechselsumme von Spuren auf den cohomology Gruppen gegeben ist. So, wenn es ähnliche cohomology Gruppen für Varianten über begrenzte Felder gab, dann konnte die Zeta-Funktion in Bezug auf sie ausgedrückt werden.

Das erste Problem damit besteht darin, dass das mitwirkende Feld für eine Theorie von Weil cohomology die rationalen Zahlen nicht sein kann. Das zu sehen, den Fall einer supereinzigartigen elliptischen Kurve über ein begrenztes Feld der Eigenschaft p in Betracht ziehen. Der Endomorphismus-Ring davon ist eine Ordnung in einer quaternion Algebra über den rationals, und sollte der ersten cohomology Gruppe folgen, die ein 2 dimensionaler Vektorraum über das mitwirkende Feld analog mit dem Fall einer komplizierten elliptischen Kurve sein sollte. Jedoch kann eine quaternion Algebra über den rationals keinem 2 dimensionalen Vektorraum über den rationals folgen. Dasselbe Argument beseitigt die Möglichkeit des mitwirkenden Feldes, das der reals oder die p-adic Zahlen ist, weil die quaternion Algebra noch eine Abteilungsalgebra über diese Felder ist. Jedoch beseitigt es die Möglichkeit nicht, dass das mitwirkende Feld das Feld von l-adic Zahlen für einen ersten l  p ist, weil über diese Felder sich die Abteilungsalgebra aufspaltet und eine Matrixalgebra wird, die einem 2-dimensionalen Vektorraum folgen kann. Grothendieck und Michael Artin haben geschafft, passende cohomology Theorien über das Feld von l-adic Zahlen für jeden ersten l  p, genannt l-adic cohomology zu bauen.

Die Formel von Grothendieck für die Zeta-Funktion

Grothendieck hat eine Entsprechung von Lefschetz bewiesen die befestigte Punkt-Formel für l-adic cohomology Theorie, und durch die Verwendung davon auf Frobenius automorphism F ist im Stande gewesen, die folgende Formel für die Zeta-Funktion zu beweisen.

:

wo jedes Polynom P die Determinante von mir &minus ist; TF auf dem l-adic cohomology Gruppe H.

Die Vernunft der Zeta-Funktion folgt sofort. Die funktionelle Gleichung für die Zeta-Funktion folgt aus Dualität von Poincaré für l-adic cohomology und der Beziehung mit dem Komplex Zahlen von Betti eines Hebens folgen aus einem Vergleich-Lehrsatz zwischen l-adic und gewöhnlichem cohomology für komplizierte Varianten.

Mehr allgemein hat Grothendieck eine ähnliche Formel für die zeta Funktion eines Bündels F bewiesen:

:

als ein Produkt über cohomology Gruppen:

:

Der spezielle Fall des unveränderlichen Bündels gibt die übliche Zeta-Funktion.

Der erste Beweis von Deligne

, und hat erklärende Rechnungen des ersten Beweises gegeben. Viel vom Hintergrund in l-adic cohomology wird darin beschrieben.

Der erste Beweis von Deligne der Vermutungen von Weil hat die folgenden Schritte verwendet:

Gebrauch von Bleistiften von Lefschetz

• Grothendieck hat die Zeta-Funktion in Bezug auf die Spur von Frobenius auf l-adic cohomology Gruppen ausgedrückt, so hängen die Vermutungen von Weil für eine d-dimensional Vielfalt V über ein begrenztes Feld mit q Elementen davon ab zu zeigen, dass die eigenvalues α Frobenius, der dem i'th l-adic cohomology Gruppe H (V) V folgt, absolute Werte α=q (für ein Einbetten der algebraischen Elemente von Q in die komplexen Zahlen) haben.
• Nach explodieren V und das Verlängern des Grundfeldes kann man annehmen, dass die Vielfalt V einen morphism auf die projektive Linie P mit einer begrenzten Zahl von einzigartigen Fasern mit sehr milden (quadratischen) Eigenartigkeiten hat. Die Theorie von monodromy von Bleistiften von Lefschetz, die für komplizierte Varianten (und gewöhnlicher cohomology) dadurch eingeführt sind, und durch und zu l-adic cohomology erweitert sind, verbindet den cohomology V zu dieser seiner Fasern. Die Beziehung hängt vom Raum E verschwindender Zyklen, des Subraums des cohomology H (V) einer nichtsingulären Faser V, abgemessen durch Klassen ab, die auf einzigartigen Fasern verschwinden.
• Die Leray geisterhafte Folge verbindet die Mitte cohomology Gruppe V zum cohomology der Faser und Basis. Der harte Teil, um sich zu befassen, ist mehr oder weniger eine Gruppe H (P, jE) = H (U, E), wo U die Punkte die projektive Linie mit nichtsingulären Fasern ist, und j die Einschließung von U in die projektive Linie ist, und E das Bündel mit Fasern die Räume E verschwindender Zyklen ist.

Die Schlüsselschätzung

Das Herz des Beweises von Deligne soll zeigen, dass das Bündel E über U rein ist, um mit anderen Worten die absoluten Werte des eigenvalues von Frobenius auf seinen Stielen zu finden. Das wird getan, indem es die zeta Funktionen der gleichen Mächte E E studiert wird und an die Formel von Grothendieck wegen der Zeta-Funktionen als Wechselprodukte über cohomology Gruppen gewandt wird. Die entscheidende Idee, sogar k Mächte von E zu denken, wurde vom Papier begeistert, das eine ähnliche Idee mit k=2 verwendet hat, für die Funktion von Ramanujan tau zu begrenzen. hingewiesen, den eine Generalisation des Ergebnisses von Rankin für höher sogar Werte von k einbeziehen würde, haben die Vermutung von Ramanujan und Deligne begriffen, dass im Fall von zeta Funktionen von Varianten die Theorie von Grothendieck von zeta Funktionen von Bündeln eine Entsprechung dieser Generalisation zur Verfügung gestellt hat.

• Die Pole der zeta Funktion von E werden mit der Formel von Grothendieck gefunden

::

:and, der die cohomology Gruppen im Nenner ausführlich berechnet. Der H-Begriff ist gewöhnlich gerade 1, weil U gewöhnlich nicht kompakt ist, und der H ausführlich wie folgt berechnet werden kann. Dualität von Poincaré verbindet H (E) mit H (E), der der Reihe nach der Raum von covariants der monodromy Gruppe ist, die die geometrische grundsätzliche Gruppe des U-Folgens der Faser von E an einem Punkt ist. Die Faser von E ließ eine bilineare Form durch das Tasse-Produkt veranlassen, das antisymmetrisch ist, wenn d sogar ist, und E in einen symplectic Raum macht. (Das ist etwas ungenau: Deligne hat wirklich später gezeigt, dass E∩E = 0 durch das Verwenden des harten Lehrsatzes von Lefschetz das die Vermutungen von Weil verlangt, und der Beweis der Vermutungen von Weil wirklich ein ein bisschen mehr kompliziertes Argument mit E/E∩E aber nicht E. verwenden muss) Ein Argument von Kazhdan und Margulis zeigt, dass das Image der monodromy Gruppe, die E, gegeben durch die Picard-Lefschetz Formel folgt, Zariski ist, der in einer symplectic Gruppe dicht ist, und deshalb dieselben invariants hat, die aus der klassischen invariant Theorie weithin bekannt sind. Das Nachgehen der Handlung von Frobenius in dieser Berechnung zeigt, dass seine eigenvalues der ganze q sind, so hat die zeta Funktion von Z (E, T) Pole nur an T=1/q

• Das Euler Produkt für die zeta Funktion von E ist

::

:If k ist sogar dann alle Koeffizienten der Faktoren rechts (betrachtet als Macht-Reihe in T) sind nichtnegativ; das folgt durch das Schreiben

::

:and mit der Tatsache, dass die Spuren von Mächten von F vernünftig sind, so sind ihre k Mächte als k nichtnegativ, ist gleich. Deligne beweist die Vernunft der Spuren durch die Verbindung von ihnen mit Zahlen von Punkten von Varianten, die immer (vernünftige) ganze Zahlen sind.

• Die Macht-Reihe für Z (E, T) läuft für T weniger zusammen als der absolute Wert 1/q von seinem einzigen möglichen Pol. Wenn k sogar die Koeffizienten aller seiner Faktoren von Euler ist, sind nichtnegativ, so dass jeder der Faktoren von Euler Koeffizienten durch eine Konstante Zeiten die Koeffizienten von Z (E, T) begrenzen ließ und deshalb auf demselben Gebiet zusammenläuft und keine Pole in diesem Gebiet hat. So für k haben sogar die Polynome Z (E, T) keine Nullen in diesem Gebiet, oder mit anderen Worten haben die eigenvalues von Frobenius auf den Stielen von E absoluten Wert am grössten Teil von q
• Diese Schätzung kann verwendet werden, um den absoluten Wert jedes eigenvalue α von Frobenius auf einer Faser von E wie folgt zu finden. Für jede ganze Zahl k, α ist ein eigenvalue von Frobenius auf einem Stiel von E, der für k sogar durch q begrenzt wird. So

::

:As, für den das willkürlich großer sogar k wahr ist, bezieht das das ein

::

:Poincaré-Dualität bezieht dann das ein

::

Vollziehung des Beweises

Der Abzug der Hypothese von Riemann von dieser Schätzung ist größtenteils ein ziemlich aufrichtiger Gebrauch von Standardtechniken und wird wie folgt getan.

• Der eigenvalues von Frobenius auf H (U, E) kann jetzt geschätzt werden, weil sie die Nullen der zeta Funktion des Bündels E sind. Diese Zeta-Funktion kann als ein Produkt von Euler von zeta Funktionen der Stiele von E geschrieben werden, und das Verwenden der Schätzung für den eigenvalues auf diesen Stielen zeigt, dass dieses Produkt für T zusammenläuft, so dass es keine Nullen der Zeta-Funktion in diesem Gebiet gibt. Das deutet an, dass die eigenvalues von Frobenius auf E am grössten Teil von q im absoluten Wert sind (tatsächlich, wird es bald gesehen, dass sie absoluten Wert genau q haben). Dieser Schritt des Arguments ist dem üblichen Beweis sehr ähnlich, dass der Riemann zeta Funktion keine Nullen mit dem echten Teil hat, der größer ist als 1, indem er es als ein Produkt von Euler schreibt.
• Der Beschluss davon besteht darin, dass die eigenvalues α Frobenius einer Vielfalt sogar der Dimension d auf der Mitte cohomology Gruppe befriedigen

::

:To erhalten die Hypothese von Riemann man muss den 1/2 von der Hochzahl beseitigen. Das kann wie folgt getan werden. Die Verwendung dieser Schätzung zu jeder gleichen Macht V V und das Verwenden der Formel von Kunneth zeigen, dass die eigenvalues von Frobenius auf der Mitte cohomology einer Vielfalt V jeder Dimension d befriedigen

:::As, für den das willkürlich großer sogar k wahr ist, bezieht das das ein:::Poincaré-Dualität bezieht dann das ein::

• Das beweist die Vermutungen von Weil für die Mitte cohomology von einer Vielfalt. Die Weil-Vermutungen für den cohomology unter der mittleren Dimension folgen daraus durch die Verwendung des schwachen Lehrsatzes von Lefschetz, und die Vermutungen für cohomology über der mittleren Dimension folgen dann aus Dualität von Poincaré.

Der zweite Beweis von Deligne

gefunden und hat eine Generalisation der Vermutungen von Weil bewiesen, die Gewichte des pushforward eines Bündels begrenzend. In der Praxis ist es diese Generalisation aber nicht die ursprünglichen Vermutungen von Weil, der größtenteils in Anwendungen wie der harte Lehrsatz von Lefschetz verwendet wird. Viel vom zweiten Beweis ist eine Neuordnung der Ideen von seinem ersten Beweis. Die erforderliche Hauptextraidee ist ein Argument, das nah mit dem Lehrsatz von Hadamard und de la Vallée Poussin verbunden ist, der von Deligne verwendet ist, um zu zeigen, dass verschiedene L-Reihen Nullen mit dem echten Teil 1 nicht haben.

Ein constructible Bündel auf einer Vielfalt über ein begrenztes Feld wird rein des Gewichts β genannt, wenn für alle Punkte x der eigenvalues von Frobenius an x alle absoluten Wert N (x) haben, und Misch-des Gewichts  β genannt wird, wenn es als wiederholte Erweiterungen durch reine Bündel mit Gewichten  β geschrieben werden kann.

Der Lehrsatz von Deligne stellt dass fest, wenn f ein morphism von Schemas des begrenzten Typs über ein begrenztes Feld ist, dann nimmt Rf gemischte Bündel des Gewichts  β zu Mischbündeln des Gewichts  β + ich.

Die ursprünglichen Vermutungen von Weil folgen durch die Einnahme f, um ein morphism von einer glatten projektiven Vielfalt bis einen Punkt und das Betrachten des unveränderlichen Bündels Q auf der Vielfalt zu sein. Das gibt einen oberen hat zu den absoluten Werten des eigenvalues von Frobenius gebunden, und Dualität von Poincaré zeigt dann, dass das auch ein gebundener niedrigerer ist.

In allgemeinem Rf bringt reine Bündel in reine Bündel nicht. Jedoch tut es, wenn eine passende Form der Dualität von Poincaré zum Beispiel hält, wenn f glatt und richtig ist, oder wenn man mit perversen Bündeln aber nicht Bündeln als darin arbeitet.

Begeistert durch die Arbeit auf der Morsezeichen-Theorie gefunden verwandelt sich ein anderer Beweis, mit l-adic Fourier von Deligne, der ihm erlaubt hat, den Beweis von Deligne durch das Vermeiden des Gebrauches der Methode von Hadamard und de la Vallée Poussin zu vereinfachen. Sein Beweis verallgemeinert die klassische Berechnung des absoluten Werts von Summen von Gauss mit der Tatsache, dass sich die Norm eines Fouriers verwandelt, hat eine einfache Beziehung zur Norm der ursprünglichen Funktion. der Beweis von verwendetem Laumon als die Basis für ihre Ausstellung des Lehrsatzes von Deligne. hat eine weitere Vereinfachung des Beweises von Laumon, mit monodromy im Geist des ersten Beweises von Deligne gegeben. hat einen anderen Beweis mit dem Fourier gegeben verwandeln sich, etale cohomology mit starrem cohomology ersetzend.

Anwendungen

ist

• im Stande gewesen, die harten Lehrsätze von Lefschetz (ein Teil der Standardvermutungen von Grothendieck) das Verwenden seines zweiten Beweises der Vermutungen von Weil zu beweisen.
• hatte vorher gezeigt, dass die Vermutung von Ramanujan-Petersson aus den Vermutungen von Weil folgt.
• verwendet mutmaßt Weil, um Schätzungen für Exponentialsummen zu beweisen.

• Nachgedruckt in
• Nachgedruckt in Oeuvres Scientifiques/Collected Vorträgen von der internationalen Standardbuchnummer von André Weil 0-387-90330-5