In der Mathematik, besonders in der Ordnungstheorie, ist ein oberer, der einer Teilmenge S eines teilweise bestellten Satzes (P, ) gebunden ist, ein Element von P, der größer oder gleich jedem Element von S ist. Der tiefer gebundene Begriff wird Doppel-als ein Element von P definiert, der weniger ist als oder gleich jedem Element von S. Wie man sagt, wird ein Satz mit einem gebundenen oberen von oben dadurch gebunden begrenzt, wie man sagt, wird ein Satz mit einem gebundenen niedrigeren von unten dadurch gebunden begrenzt. Die Begriffe, die oben begrenzt sind (begrenzt unten) werden auch in der mathematischen Literatur für Sätze gebraucht, die ober (beziehungsweise tiefer) Grenzen haben.

Eigenschaften

Eine Teilmenge S eines teilweise bestellten Satzes P kann scheitern, irgendwelche Grenzen zu haben, oder kann viele verschiedene obere und niedrigere Grenzen haben. Durch transitivity ist jedes Element größer oder gleich einem S gebundenen oberen wieder ein oberer, der S gebunden ist, und jedes Element weniger als oder gleich etwas tiefer gebundenem S ist wieder ein S gebundener niedrigerer. Das führt zur Rücksicht von kleinsten oberen Grenzen (oder suprema) und größten niedrigeren Grenzen (oder infima).

Die Grenzen einer Teilmenge S eines teilweise bestellten Satzes P können oder können nicht Elemente von S selbst sein. Wenn S einen oberen gebunden dann enthält, dass ober gebunden einzigartig ist und das größte Element von S genannt wird. Das größte Element von S (wenn es besteht) ist auch das S gebundene am wenigsten obere. Eine spezielle Situation kommt wirklich vor, wenn eine Teilmenge dem Satz von niedrigeren Grenzen seines eigenen Satzes von oberen Grenzen gleich ist. Diese Beobachtung führt zur Definition von Kürzungen von Dedekind.

herkömmlich betrachtet, wird die leere Teilmenge  eines teilweise bestellten Satzes P von oben sowohl begrenzt und von unten mit jedem Element von P begrenzt, der beide ein oberer und  gebundenes niedrigeres ist.

Beispiele

2 und 5 sind beide niedrigere Grenzen für den Satz {5, 10, 34, 13934}, aber 8 ist nicht. 42 ist sowohl ein oberer als auch ein niedrigerer, der für den Satz {42} gebunden ist; alle anderen Zahlen sind entweder ein oberer gebunden oder ein für diesen Satz gebundener niedrigerer.

Jede Teilmenge der natürlichen Zahlen hat einen gebundenen niedrigeren, da die natürlichen Zahlen kleinstes Element (0, oder 1 abhängig von der genauen Definition von natürlichen Zahlen) haben. Eine unendliche Teilmenge der natürlichen Zahlen kann von oben nicht begrenzt werden. Eine unendliche Teilmenge der ganzen Zahlen kann von unten begrenzt oder von oben, aber nicht beide begrenzt werden. Eine unendliche Teilmenge der rationalen Zahlen kann oder darf von unten nicht begrenzt werden, und können, oder kann von oben nicht begrenzt werden.

Jede begrenzte Teilmenge eines völlig bestellten Satzes hat sowohl obere als auch niedrigere Grenzen.

Grenzen von Funktionen

Die Definitionen können zu Sätzen von Funktionen verallgemeinert werden.

In Anbetracht eines Satzes S Funktionen mit dem Gebiet F und einem teilweise bestellten Satz als codomain ist eine Funktion g mit dem Gebiet ein S gebundener oberer wenn für jede Funktion f in S und für jeden x in F. Insbesondere wie man sagt, ist g ein f gebundener oberer, wenn S aus nur einer Funktion f besteht (d. h. S ist ein Singleton). Das deutet nicht an, dass f ein g gebundener niedrigerer ist.

Siehe auch

• Infimum (am größten tiefer gebunden)
• Supremum (am wenigsten ober gebunden)