Venn-Diagramme oder Satz-Diagramme sind Diagramme, die alle möglichen logischen Beziehungen zwischen einer begrenzten Sammlung von Sätzen (Ansammlung von Dingen) zeigen. Venn-Diagramme wurden 1880 von John Venn konzipiert. Sie werden verwendet, um elementare Mengenlehre zu unterrichten, sowie einfache Satz-Beziehungen in Wahrscheinlichkeit, Logik, Statistik, Linguistik und Informatik zu illustrieren (sieh logische Bindewörter).

Übersicht

File:Venn0001.svg|Intersection zwei Sätze:

File:Venn0111.svg|Union zwei Sätze:

File:Venn0010.svg|Relative Ergänzung (link) in B (Recht):

File:Venn0110.svg|Symmetric differenceof zwei Sätze:

File:Venn1010.svg|Absolute Ergänzung in U:

Ein Venn-Diagramm wird mit einer Sammlung von einfachen geschlossenen in einem Flugzeug gezogenen Kurven gebaut. Gemäß Lewis (1918) ist der "Grundsatz dieser Diagramme, dass Klassen [oder Sätze], durch Gebiete in solcher Beziehung zu einander vertreten werden, dass alle möglichen logischen Beziehungen dieser Klassen in demselben Diagramm angezeigt werden können. D. h. das Diagramm verlässt am Anfang Zimmer für jede mögliche Beziehung der Klassen und die wirkliche oder gegebene Beziehung, kann dann durch das Anzeigen angegeben werden, dass ein besonderes Gebiet ungültig ist oder nicht - ungültig ist".

Venn-Diagramme umfassen normalerweise überlappende Kreise. Das Interieur des Kreises vertritt symbolisch die Elemente des Satzes, während das Äußere Elemente vertritt, die nicht Mitglieder des Satzes sind. Zum Beispiel, in einem Zwei-Sätze-Venn-Diagramm, kann ein Kreis die Gruppe aller Holzgegenstände vertreten, während ein anderer Kreis den Satz aller Tische vertreten kann. Das überlappende Gebiet oder die Kreuzung würden dann den Satz aller Holztische vertreten. Gestalten außer Kreisen, können wie gezeigt, unten von Venn eigen höher Satz-Diagramme verwendet werden. Venn-Diagramme enthalten Information über die relativen oder absoluten Größen (cardinality) Sätze nicht allgemein; d. h. sie sind schematische Diagramme.

Venn-Diagramme sind Diagrammen von Euler ähnlich. Jedoch muss ein Venn-Diagramm für n Teilsätze alle 2 hypothetisch möglichen Zonen enthalten, die einer Kombination der Einschließung oder des Ausschlusses in jedem der Teilsätze entsprechen. Diagramme von Euler enthalten nur die wirklich möglichen Zonen in einem gegebenen Zusammenhang. In Venn-Diagrammen kann eine beschattete Zone eine leere Zone vertreten, wohingegen in einem Diagramm von Euler die entsprechende Zone aus dem Diagramm vermisst wird. Zum Beispiel, wenn ein Satz Milchprodukte und einen anderen Käse vertritt, enthält das Venn-Diagramm eine Zone für Käse, die nicht Milchprodukte sind. Annehmend, der im Zusammenhang-Käse einen Typ von Milchprodukt bedeutet, hat das Diagramm von Euler die innerhalb der Milchprodukt-Zone völlig enthaltene Käse-Zone — es gibt keine Zone für (nicht existierenden) Nichtmolkereikäse. Das bedeutet, dass als die Zahl von Konturen zunehmen, sind Diagramme von Euler normalerweise weniger visuell kompliziert als das gleichwertige Venn-Diagramm besonders wenn die Zahl von nichtleeren Kreuzungen klein ist.

Geschichte

Venn-Diagramme wurden 1880 von John Venn (1834-1923) in einer Zeitung betitelt "Auf der Diagrammatischen und Mechanischen Darstellung von Vorschlägen und Denken" in der "Philosophischen Zeitschrift und Zeitschrift der Wissenschaft", über die verschiedenen Weisen eingeführt, Vorschläge durch Diagramme zu vertreten. Der Gebrauch dieser Typen von Diagrammen in der formalen Logik, gemäß Ruskey und M. Weston, ist "nicht eine leichte Geschichte, um zu verfolgen, aber es ist sicher, dass die Diagramme, die mit Venn, tatsächlich, hervorgebracht viel früher populär vereinigt werden. Sie werden mit Venn jedoch richtig vereinigt, weil er umfassend überblickt hat und ihren Gebrauch formalisiert hat und erst war, um sie zu verallgemeinern".

Venn selbst hat den Begriff "Venn-Diagramm" nicht gebraucht, aber hat fortgesetzt, von Eulerian "Kreisen" zu sprechen. Im Anfangssatz seines erklärten 1880-Artikels Venn: "Schemas der diagrammatischen Darstellung sind in logische Abhandlungen während des letzten Jahrhunderts so vertraut eingeführt worden oder so, das viele Leser, sogar diejenigen, die keine Berufsstudie der Logik gemacht haben, die allgemeine Nation und den Gegenstand solcher Geräte können kennen sollen. Dieser Schemas hat sich ein einziger, nämlich der allgemein 'Kreise von Eulerian,' genannt hat, mit jeder allgemeinen Annahme getroffen..." Das erste, um den Begriff "Venn-Diagramm" zu gebrauchen, war Clarence Irving Lewis 1918, in seinem Buch "Ein Überblick über die Symbolische Logik".

Venn-Diagramme sind Diagrammen von Euler sehr ähnlich, die von Leonhard Euler (1708-1783) im 18. Jahrhundert erfunden wurden. M. E. Baron hat bemerkt, dass Leibniz (1646-1716) im 17. Jahrhundert ähnliche Diagramme vor Euler erzeugt hat, aber viel davon war unveröffentlicht. Sie beobachtet auch noch frühere Euler ähnliche Diagramme von Ramon Lull im 13. Jahrhundert.

Im 20. Jahrhundert wurden Venn-Diagramme weiter entwickelt. D.W. Henderson hat 1963 gezeigt, dass die Existenz eines N-Venn-Diagramms mit der n-fold Rotationssymmetrie angedeutet hat, dass n erst war. Er hat auch gezeigt, dass solche symmetrischen Venn-Diagramme bestehen, wenn n 5 oder 7 ist. 2002 hat Peter Hamburger symmetrische Venn-Diagramme für n = 11 und 2003, Griggs, Killian gefunden, und Wilder hat gezeigt, dass symmetrische Venn-Diagramme für ganze andere Blüte bestehen. So bestehen symmetrische Venn-Diagramme, wenn, und nur wenn n eine Primzahl ist.

Venn diagrams und Diagramme von Euler wurden als ein Teil der Instruktion in der Mengenlehre als ein Teil der neuen Mathebewegung in den 1960er Jahren vereinigt. Seitdem sind sie auch durch andere Lehrplan-Felder wie das Lesen angenommen worden.

Beispiel

Das folgende Beispiel schließt zwei Sätze, A und B, vertreten hier als gefärbt Kreise ein. Der Orangenkreis, Satz A, vertritt alle lebenden Wesen, die zweibeinig sind. Der blaue Kreis, Satz B, vertritt die lebenden Wesen, die fliegen können. Jeder getrennte Typ des Wesens kann als ein Punkt irgendwo im Diagramm vorgestellt werden. Lebende Wesen, die sowohl fliegen als auch zwei Beine — zum Beispiel, Papageien haben können — sind dann in beiden Sätzen, so entsprechen sie Punkten im Gebiet, wo die blauen und orange Kreise überlappen. Dieses Gebiet enthält alle diese und nur solche lebenden Wesen.

Menschen und Pinguine sind bipedal, und sind so dann im Orangenkreis, aber da sie nicht fliegen können, erscheinen sie im linken Teil des Orangenkreises, wo es mit dem blauen Kreis nicht überlappt. Moskitos haben sechs Beine und Fliege, so ist der Punkt für Moskitos im Teil des blauen Kreises, der mit dem orange nicht überlappt. Wesen, die nicht zweibeinig sind und nicht fliegen können (zum Beispiel, Walfische und Spinnen) würden alle durch Punkte außerhalb beider Kreise vertreten.

Das vereinigte Gebiet von Sätzen A und B wird die Vereinigung von A und B genannt, der dadurch angezeigt ist.

Die Vereinigung enthält in diesem Fall alle lebenden Wesen, die entweder zweibeinig sind oder das (oder beide) fliegen kann.

Das Gebiet sowohl in A als auch in B, wo die zwei Sätze überlappen, wird die Kreuzung von A und B genannt, der dadurch angezeigt ist. Zum Beispiel ist die Kreuzung der zwei Sätze nicht leer, weil es Punkte gibt, die Wesen vertreten, die sowohl in den orange als auch in blauen Kreisen sind.

Erweiterungen auf höhere Zahlen von Sätzen

Venn-Diagramme unterstützen normalerweise zwei oder drei Sätze, aber es gibt Formen, die höhere Zahlen berücksichtigen. Gezeigt unten bilden vier sich schneidende Bereiche die höchste Ordnung Venn-Diagramm, das völlig symmetrisch ist und visuell vertreten werden kann. Die 16 Kreuzungen entsprechen den Scheitelpunkten eines tesseract (oder die Zellen eines 16-Zellen-beziehungsweise).

Für höhere Zahlen von Sätzen ist ein Verlust der Symmetrie in den Diagrammen unvermeidlich. Venn war sehr interessiert, "symmetrische Zahlen … elegant in sich zu finden," hat das höhere Zahlen von Sätzen vertreten, und er ein Vier-Sätze-Diagramm mit Ellipsen (sieh unten) ausgedacht hat. Er hat auch einen Aufbau für Venn-Diagramme für jede Zahl von Sätzen gegeben, wo jede aufeinander folgende Kurve, die einen Satz Auslassungen mit vorherigen Kurven abgrenzt, mit dem Drei-Kreise-Diagramm anfangend.