Im mathematischen Teilfeld der geradlinigen Algebra oder mehr allgemein Funktionsanalyse ist die geradlinige Spanne (hat auch den geradlinigen Rumpf genannt), einer Reihe von Vektoren in einem Vektorraum die Kreuzung aller Subräume, die diesen Satz enthalten. Die geradlinige Spanne von einer Reihe von Vektoren ist deshalb ein Vektorraum.

Definition

In Anbetracht eines Vektorraums V über Feld K wird die Spanne eines Satzes S (nicht notwendigerweise begrenzt) definiert, um die Kreuzung W von allen Subräumen V zu sein, die S enthalten. W wird den Subraum genannt, der durch S, oder durch die Vektoren in S abgemessen ist. Umgekehrt wird S einen Überspannen-Satz von W genannt

Wenn eine begrenzte Teilmenge V ist, dann ist die Spanne

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Die Spanne von S kann auch als der Satz aller geradlinigen Kombinationen der Elemente von S definiert werden, der aus der obengenannten Definition folgt.

Matroids

Die Definition der Spanne von Punkten im Raum, eine Teilmenge verallgemeinernd X des Boden-Satzes eines matroid werden einen Überspannen-Satz genannt, wenn die Reihe X der Reihe des kompletten Boden-Satzes gleichkommt.

Beispiele

Der echte Vektorraum R hat {(2,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} als ein Überspannen-Satz. Dieser besondere Überspannen-Satz ist auch eine Basis. Wenn (2,0,0) durch (1,0,0) ersetzt würden, würde es auch die kanonische Basis von R bilden.

Ein anderer Überspannen-Satz für denselben Raum wird durch {(1,2,3), (0,1,2), (−1,1/2,3), (1,1,1)} gegeben, aber dieser Satz ist nicht eine Basis, weil es linear abhängig ist.

Der Satz {(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)} ist nicht ein Überspannen-Satz von R; stattdessen ist seine Spanne der Raum aller Vektoren in R, dessen letzter Bestandteil Null ist.

Lehrsätze

Lehrsatz 1: Der Subraum, der durch eine nichtleere Teilmenge S eines Vektorraums V abgemessen ist, ist der Satz aller geradlinigen Kombinationen von Vektoren in S.

Dieser Lehrsatz ist so weithin bekannt, dass zuweilen er die Definition der Spanne eines Satzes genannt wird.

Lehrsatz 2: Jedes Überspannen ist untergegangen S eines Vektorraums V muss mindestens so viele Elemente enthalten wie jeder linear unabhängige Satz von Vektoren von V.

Lehrsatz 3: Lassen Sie V ein begrenzter dimensionaler Vektorraum sein. Jeder Satz von Vektoren, der V abmisst, kann auf eine Basis für V durch die Verschrottung von Vektoren nötigenfalls reduziert werden (d. h. wenn es lineare abhängig Vektoren im Satz gibt). Wenn das Axiom der Wahl hält, ist das ohne die Annahme wahr, die V begrenzte Dimension hat.

Das zeigt auch an, dass eine Basis ein minimaler Überspannen-Satz ist, wenn V dimensional begrenzt ist.

Geschlossene geradlinige Spanne

In der Funktionsanalyse ist eine geschlossene geradlinige Spanne von einer Reihe von Vektoren der minimale geschlossene Satz, der die geradlinige Spanne dieses Satzes enthält.

Nehmen Sie an, dass X ein normed Vektorraum ist und lassen Sie E jede nichtleere Teilmenge X sein. Die geschlossene geradlinige Spanne von E, der dadurch angezeigt ist, oder, ist die Kreuzung aller geschlossenen geradlinigen Subräume X, die E enthalten.

Eine mathematische Formulierung davon ist

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Referenzen

Die geradlinige Spanne eines Satzes ist in der geschlossenen geradlinigen Spanne dicht. Außerdem, wie festgesetzt, in unter dem Lemma, ist die geschlossene geradlinige Spanne tatsächlich der Verschluss der geradlinigen Spanne.

Geschlossene geradlinige Spannen sind wichtig, wenn, sich mit geschlossenen geradlinigen Subräumen befassend (die selbst hoch wichtig sind, das Lemma von Riesz denken Sie).

Ein nützliches Lemma

Lassen Sie X ein normed Raum sein und E jede nichtleere Teilmenge X sein zu lassen. Dann

(a) ist ein geschlossener geradliniger Subraum X, der E, enthält

(b), nämlich ist der Verschluss,

(c)

(So soll die übliche Weise, die geschlossene geradlinige Spanne zu finden, die geradlinige Spanne zuerst, und dann den Verschluss dieser geradlinigen Spanne finden.)

• Rynne & Youngson (2001). Geradlinige Funktionsanalyse, Springer.