In der Mathematik, besonders geradlinigen Algebra, ist eine orthonormale Basis für den Skalarprodukt-Raum V mit der begrenzten Dimension eine Basis für V, dessen Vektoren orthonormal sind. Zum Beispiel ist die Standardbasis für einen Euklidischen Raum R eine orthonormale Basis, wo das relevante Skalarprodukt das Punktprodukt von Vektoren ist. Das Image der Standardbasis unter einer Folge oder Nachdenken (oder jede orthogonale Transformation) ist auch orthonormal, und jede orthonormale Basis für R entsteht auf diese Mode.

Für einen allgemeinen Skalarprodukt-Raum V kann eine orthonormale Basis verwendet werden, um normalisierte orthogonale Koordinaten auf V zu definieren. Unter diesen Koordinaten wird das Skalarprodukt Punktprodukt von Vektoren. So reduziert die Anwesenheit einer orthonormalen Basis die Studie eines endlich-dimensionalen Skalarprodukt-Raums zur Studie von R unter dem Punktprodukt. Jeder endlich-dimensionale Skalarprodukt-Raum hat eine orthonormale Basis, die bei einer willkürlichen Basis mit dem Prozess des Gramms-Schmidt erhalten werden kann.

In der Funktionsanalyse kann das Konzept einer orthonormalen Basis zu willkürlichen (unendlich-dimensionalen) Skalarprodukt-Räumen (oder pre-Hilbert Räumen) verallgemeinert werden. In Anbetracht eines pre-Hilbert Raums H ist eine orthonormale Basis für H ein orthonormaler Satz von Vektoren mit dem Eigentum, dass jeder Vektor in H als eine unendliche geradlinige Kombination der Vektoren in der Basis geschrieben werden kann. In diesem Fall wird die orthonormale Basis manchmal eine Basis von Hilbert nach H genannt. Bemerken Sie, dass eine orthonormale Basis in diesem Sinn nicht allgemein eine Basis von Hamel ist, da unendliche geradlinige Kombinationen erforderlich sind. Spezifisch muss die geradlinige Spanne der Basis in H dicht sein, aber es kann nicht der komplette Raum sein.

Beispiele

• Der Satz von Vektoren {e = (1, 0, 0), e = (0, 1, 0), e = (0, 0, 1)} (die Standardbasis) bildet eine orthonormale Basis von R.

:: Beweis: Eine aufrichtige Berechnung zeigt, dass die Skalarprodukte dieser Vektoren Null, <e, e&gt gleichkommen; = <e, e> = <e, e> = 0, und dass jeder ihrer Umfänge ein, || e = || e = || e = 1 gleich ist. Das bedeutet {e, e, e} ist ein orthonormaler Satz. Alle Vektoren (x, y, z) in R können ausgedrückt werden, weil eine Summe der Basisvektoren erklettert

:::

:: so {e, e, e} misst R ab und muss folglich eine Basis sein. Es kann auch gezeigt werden, dass die Standardbasis, die über eine Achse durch den Ursprung rotieren gelassen ist, oder in einem Flugzeug durch die Ursprung-Formen eine orthonormale Basis von R widerspiegelt hat.

• Der Satz {f: n  Z\mit f (x) = exp (2πinx) bildet eine orthonormale Basis des komplizierten Raums L ([0,1]). Das ist für die Studie der Reihe von Fourier grundsätzlich.
• Der Satz {e: b  B\mit e (c) = 1 wenn b = c und 0 sonst Formen eine orthonormale Basis von  (B).
• Eigenfunctions von Sturm-Liouville eigenproblem.
• Eine orthogonale Matrix ist eine Matrix, deren Spaltenvektoren einen orthonormalen Satz bilden.

Grundlegende Formel

Wenn B eine orthogonale Basis von H ist, dann kann jedes Element x H als geschrieben werden

Wenn B orthonormal ist, haben wir stattdessen

und die Norm von x kann durch gegeben werden

Selbst wenn B nur zählbar unzählbar ist, werden viele Begriffe in dieser Summe Nichtnull sein, und der Ausdruck ist deshalb bestimmt. Diese Summe wird auch die Vergrößerung von Fourier von x genannt, und die Formel ist gewöhnlich als die Identität von Parseval bekannt. Siehe auch Verallgemeinerte Reihe von Fourier.

Wenn B eine orthonormale Basis von H ist, dann ist H zu  (B) im folgenden Sinn isomorph: Dort besteht eine bijektive geradlinige solche Karte dass

für den ganzen x und y in H.

Unvollständige orthogonale Sätze

In Anbetracht eines Raums von Hilbert H und eines Satzes S gegenseitig orthogonaler Vektoren in H können wir den kleinsten geschlossenen geradlinigen Subraum V von H nehmen, die S enthalten. Dann wird S eine orthogonale Basis V sein; der natürlich kleiner sein als H selbst, ein unvollständiger orthogonaler Satz seiend, oder H sein kann, wenn es ein ganzer orthogonaler Satz ist.

Existenz

Mit dem Lemma von Zorn und dem Prozess des Gramms-Schmidt (oder einfacher gut bestellender und transfiniter recursion) kann man zeigen, dass jeder Raum von Hilbert eine Basis und so eine orthonormale Basis zulässt; außerdem haben irgendwelche zwei orthonormalen Basen desselben Raums denselben cardinality (das kann gewissermaßen verwandt mit diesem des Beweises des üblichen Dimensionslehrsatzes für Vektorräume mit getrennten Fällen je nachdem bewiesen werden, ob der größere Basiskandidat zählbar ist oder nicht). Ein Hilbert Raum ist trennbar, wenn, und nur wenn er eine zählbare orthonormale Basis zulässt. (Man kann diese letzte Behauptung beweisen, ohne das Axiom der Wahl zu verwenden).

Als ein homogener Raum

Der Satz von orthonormalen Basen für einen Raum ist ein homogener Hauptraum für die orthogonale Gruppe O (n), und wird die Sammelleitung von Stiefel von orthonormalen N-Rahmen genannt.

Mit anderen Worten ist der Raum von orthonormalen Basen der orthogonalen Gruppe, aber ohne eine Wahl des Grundpunkts ähnlich: In Anbetracht eines orthogonalen Raums gibt es keine natürliche Wahl der orthonormalen Basis, aber sobald man ein gegeben wird, gibt es eine isomorphe Ähnlichkeit zwischen Basen und der orthogonalen Gruppe.

Konkret wird eine geradlinige Karte dadurch bestimmt, wohin sie eine gegebene Basis sendet: Da eine Invertible-Karte jede Basis in jede andere Basis bringen kann, kann eine orthogonale Karte jede orthogonale Basis in jede andere orthogonale Basis bringen.

Anderer Stiefel vervielfältigt dafür

Siehe auch

• Basis (geradlinige Algebra)
• Basis von Schauder
• Gramm-Schmidt