In der Mathematik ist Euklidischer Raum das Euklidische Flugzeug und der dreidimensionale Raum der Euklidischen Geometrie, sowie die Generalisationen dieser Begriffe zu höheren Dimensionen. Der Begriff "Euklidischer" unterscheidet diese Räume von den gekrümmten Räumen der nicht-euklidischen Geometrie und der allgemeinen Relativitätstheorie von Einstein, und wird für den griechischen Mathematiker Euklid Alexandrias genannt.

Klassische griechische Geometrie hat das Euklidische Flugzeug und den Euklidischen dreidimensionalen Raum mit bestimmten Postulaten definiert, während die anderen Eigenschaften dieser Räume als Lehrsätze abgeleitet wurden. In der modernen Mathematik ist es üblicher, Euklidischen Raum mit Kartesianischen Koordinaten und den Ideen von der analytischen Geometrie zu definieren. Diese Annäherung bringt den Werkzeugen der Algebra und Rechnung dazu, sich auf Fragen der Geometrie zu beziehen, und hat den Vorteil, den es leicht zu Euklidischen Räumen von mehr als drei Dimensionen verallgemeinert.

Aus dem modernen Gesichtspunkt gibt es im Wesentlichen nur einen Euklidischen Raum jeder Dimension. In der Dimension ein ist das die echte Linie; in der Dimension zwei ist es das Kartesianische Flugzeug; und in höheren Dimensionen ist es ein Koordinatenraum mit drei oder mehr Koordinaten der reellen Zahl. Kurz gesagt, ein n-dimensional echter Koordinatenraum. Ein Punkt im Euklidischen Raum kann durch ein Tupel von reellen Zahlen identifiziert werden, und Entfernungen werden mit der Euklidischen Entfernungsformel definiert. Mathematiker zeigen häufig den n-dimensional Euklidischen Raum durch, oder manchmal an, wenn sie seine Euklidische Natur betonen möchten. Euklidische Räume haben begrenzte Dimension.

Intuitive Übersicht

Eine Weise, an das Euklidische Flugzeug zu denken, ist als eine Reihe von Punkten, die bestimmte Beziehungen, expressible in Bezug auf die Entfernung und den Winkel befriedigt. Zum Beispiel gibt es zwei grundsätzliche Operationen auf dem Flugzeug. Man ist Übersetzung, was eine Verschiebung des Flugzeugs bedeutet, so dass jeder Punkt in derselben Richtung und durch dieselbe Entfernung ausgewechselt wird. Der andere ist Folge über einen festen Punkt im Flugzeug, in dem jeder Punkt im Flugzeug diesen festen Punkt durch denselben Winkel umdreht. Eine der grundlegenden Doktrinen der Euklidischen Geometrie ist, dass zwei Zahlen (d. h. Teilmengen) des Flugzeugs gleichwertig (kongruent) betrachtet werden sollten, wenn man in anderen durch eine Folge von Übersetzungen, Folgen und Nachdenken umgestaltet werden kann. (Sieh Euklidische Gruppe.)

Um all diesen mathematisch genau zu machen, muss man klar die Begriffe von Entfernung, Winkel, Übersetzung und Folge definieren. Die Standardweise zu tun soll das, das so im Rest dieses Artikels ausgeführt ist, das Euklidische Flugzeug definieren, wie ein zweidimensionaler echter Vektorraum mit einem Skalarprodukt ausgestattet hat. Für dann:

• die Vektoren im Vektorraum entsprechen den Punkten des Euklidischen Flugzeugs,
• die Hinzufügungsoperation im Vektorraum entspricht Übersetzung und
• das Skalarprodukt bezieht Begriffe des Winkels und der Entfernung ein, die verwendet werden kann, um Folge zu definieren.

Sobald das Euklidische Flugzeug auf dieser Sprache beschrieben worden ist, ist es wirklich eine einfache Sache, um sein Konzept zu willkürlichen Dimensionen zu erweitern. Größtenteils werden das Vokabular, die Formeln und die Berechnungen nicht mehr schwierig durch die Anwesenheit von mehr Dimensionen gemacht. (Jedoch sind Folgen in hohen Dimensionen feiner, und das Vergegenwärtigen hoch-dimensionaler Räume bleibt schwierig sogar für erfahrene Mathematiker.)

Eine Endrunzel ist, dass Euklidischer Raum nicht technisch ein Vektorraum, aber eher ein affine Raum ist, auf dem ein Vektorraum handelt. Intuitiv sagt die Unterscheidung gerade, dass es keine kanonische Wahl dessen gibt, wohin der Ursprung in den Raum hineingehen sollte, weil es überall übersetzt werden kann. In diesem Artikel wird dieser Fachausdruck größtenteils ignoriert.

Echter Koordinatenraum

Lassen Sie R das Feld von reellen Zahlen anzeigen. Für jede positive ganze Zahl n bildet der Satz aller N-Tupel von reellen Zahlen einen n-dimensional Vektorraum über R, der R angezeigt und manchmal echten Koordinatenraum genannt wird. Ein Element von R wird geschrieben

:

wo jeder x eine reelle Zahl ist. Die Vektorraum-Operationen auf R werden durch definiert

::

Der Vektorraum R kommt mit einer Standardbasis:

:

\begin {richten }\aus

\mathbf {e} _1 & = (1, 0, \ldots, 0), \\

\mathbf {e} _2 & = (0, 1, \ldots, 0), \\

& {}\\, \, \, \vdots \\

\mathbf {e} _n & = (0, 0, \ldots, 1).

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Ein willkürlicher Vektor in R kann dann in der Form geschrieben werden

:

R ist das archetypische Beispiel eines echten n-dimensional Vektorraums. Tatsächlich ist jeder echte n-dimensional Vektorraum V zu R isomorph. Dieser Isomorphismus ist jedoch nicht kanonisch. Eine Wahl des Isomorphismus ist zu einer Wahl der Basis für V (durch das Schauen auf das Image der Standardbasis für R in V) gleichwertig. Der Grund dafür, mit willkürlichen Vektorräumen statt R zu arbeiten, besteht darin, dass es häufig vorzuziehend ist, auf eine koordinatenfreie Weise zu arbeiten (d. h. ohne eine bevorzugte Basis zu wählen).

Euklidische Struktur

Euklidischer Raum ist mehr als gerade ein echter Koordinatenraum. Um Euklidische Geometrie anzuwenden, muss man im Stande sein, über die Entfernungen zwischen Punkten und die Winkel zwischen Linien oder Vektoren zu sprechen. Die natürliche Weise, diese Mengen zu erhalten, ist durch das Einführen und das Verwenden des Standardskalarprodukts (auch bekannt als das Punktprodukt) auf R. Das Skalarprodukt irgendwelcher zwei echten N-Vektoren x und y wird durch definiert

:

Das Ergebnis ist immer eine reelle Zahl. Außerdem ist das Skalarprodukt von x mit sich immer nichtnegativ. Dieses Produkt erlaubt uns, die "Länge" eines Vektoren x als zu definieren

:

Diese Länge-Funktion befriedigt die erforderlichen Eigenschaften einer Norm und wird die Euklidische Norm auf R genannt.

Der (nichtzurückgebogene) Winkel θ (0 °  θ  180 °) zwischen x und y wird dann durch gegeben

:

wo, weil die Arccosine-Funktion ist.

Schließlich kann man die Norm verwenden, um einen metrischen (oder Entfernungsfunktion) auf R durch zu definieren

:

Diese Entfernungsfunktion wird das Euklidische metrische genannt. Es kann als eine Form des Pythagoreischen Lehrsatzes angesehen werden.

Echter Koordinatenraum zusammen mit dieser Euklidischen Struktur wird Euklidischen Raum genannt und häufig E. angezeigt (Viele Autoren beziehen sich auf R selbst als Euklidischer Raum mit der Euklidischen Struktur, die wird versteht). Die Euklidische Struktur macht E einen Skalarprodukt-Raum (tatsächlich ein Raum von Hilbert), ein normed Vektorraum und ein metrischer Raum.

Folgen des Euklidischen Raums werden dann als Orientierung bewahrende geradlinige Transformationen T dass Konserve-Winkel und Längen definiert:

::

Auf der Sprache von matrices sind Folgen spezieller orthogonaler matrices.

Topologie des Euklidischen Raums

Da Euklidischer Raum ein metrischer Raum ist, ist es auch ein topologischer Raum mit der natürlichen durch das metrische veranlassten Topologie. Die metrische Topologie auf E wird die Euklidische Topologie genannt. Ein Satz ist in der Euklidischen Topologie offen, wenn, und nur wenn es einen offenen Ball um jeden seiner Punkte enthält. Die Euklidische Topologie erweist sich, zur Produkttopologie auf R betrachtet als ein Produkt von n Kopien der echten Linie R (mit seiner Standardtopologie) gleichwertig zu sein.

Ein wichtiges Ergebnis auf der Topologie von R, der alles andere als oberflächlich ist, ist der invariance von Brouwer des Gebiets. Jede Teilmenge von R (mit seiner Subraumtopologie), der homeomorphic zu einer anderen offenen Teilmenge von R ist, ist selbst offen. Eine unmittelbare Folge davon ist, dass R nicht homeomorphic zu R ist, wenn M  n - ein intuitiv "offensichtliches" Ergebnis, das dennoch schwierig ist sich zu erweisen.

Generalisationen

In der modernen Mathematik bilden Euklidische Räume die Prototypen für anderen, mehr komplizierte geometrische Gegenstände. Zum Beispiel ist eine glatte Sammelleitung Hausdorff topologischer Raum, der lokal diffeomorphic zum Euklidischen Raum ist. Diffeomorphism respektiert Entfernung und Winkel nicht, so werden diese Schlüsselkonzepte der Euklidischen Geometrie auf einer glatten Sammelleitung verloren. Jedoch, wenn man zusätzlich ein glatt unterschiedliches Skalarprodukt auf den Tangente-Räumen der Sammelleitung vorschreibt, dann ist das Ergebnis, was eine Sammelleitung von Riemannian genannt wird. Gestellt verschieden ist eine Sammelleitung von Riemannian ein gebauter Raum durch das Verformen und das Flicken zusammen Euklidischer Räume. Solch ein Raum genießt Begriffe der Entfernung und des Winkels, aber sie benehmen sich auf eine gekrümmte, nicht-euklidische Weise. Die einfachste Sammelleitung von Riemannian, aus R mit einem unveränderlichen Skalarprodukt bestehend, ist zum Euklidischen N-Raum selbst im Wesentlichen identisch.

Wenn man einen Euklidischen Raum verändert, so dass sein Skalarprodukt negativ in einer oder mehr Richtungen wird, dann ist das Ergebnis ein pseudoeuklidischer Raum. Glatte von solchen Räumen gebaute Sammelleitungen werden Pseudo-Riemannian-Sammelleitungen genannt. Vielleicht ist ihre berühmteste Anwendung die Relativitätstheorie, wo die leere Raum-Zeit ohne Sache durch den flachen pseudoeuklidischen Raum genannt der Raum von Minkowski vertreten wird, spacetimes mit der Sache in ihnen bilden andere Pseudo-Riemannian-Sammelleitungen, und Ernst entspricht der Krümmung solch einer Sammelleitung.

Unser Weltall, der Relativität unterworfen seiend, ist nicht Euklidisch. Das wird bedeutend in theoretischen Rücksichten der Astronomie und Kosmologie, und auch in einigen praktischen Problemen wie globale Positionierung und Flugzeug-Navigation. Dennoch kann ein Euklidisches Modell des Weltalls noch verwendet werden, um viele andere praktische Probleme mit der genügend Präzision zu beheben.

Siehe auch

• Geometrie von Riemannian
• Euklidischer Subraum
• Kartesianisches Koordinatensystem
• Polarkoordinate-System
• Raum von Hilbert