In der Mathematik sind Tische von trigonometrischen Funktionen in mehreren Gebieten nützlich. Vor der Existenz von Taschenrechenmaschinen waren trigonometrische Tische für die Navigation, Wissenschaft und Technik notwendig. Die Berechnung von mathematischen Tischen war ein wichtiges Gebiet der Studie, die zur Entwicklung der ersten mechanischen Rechengeräte geführt hat.

Moderne Computer und Taschenrechenmaschinen erzeugen jetzt trigonometrische Funktionswerte auf Verlangen mit speziellen Bibliotheken des mathematischen Codes. Häufig verwenden diese Bibliotheken vorberechnete Tische innerlich, und schätzen den erforderlichen Wert durch das Verwenden einer passenden Interpolationsmethode. Die Interpolation von einfachen Nachschlagetabellen von trigonometrischen Funktionen wird noch in der Computergrafik verwendet, wo nur bescheidene Genauigkeit erforderlich sein kann und Geschwindigkeit häufig oberst ist.

Eine andere wichtige Anwendung trigonometrischer Tabellen und Generationsschemas ist für Algorithmen des schnellen Fouriers verwandelt sich (FFT), wo dieselbe trigonometrische Funktion schätzt (genannt, spielen mit Faktoren herum) muss oft in einem gegebenen bewertet werden verwandeln sich besonders im allgemeinen Fall, wo sich viele derselben Größe verwandeln, werden geschätzt. In diesem Fall allgemeine Bibliotheksroutinen nennend, ist jedes Mal unannehmbar langsam. Eine Auswahl ist, die Bibliotheksroutinen einmal zu nennen, einen Tisch jener trigonometrischen Werte aufzubauen, die erforderlich sein werden, aber das verlangt, dass bedeutendes Gedächtnis den Tisch versorgt. Die andere Möglichkeit da ist eine regelmäßige Folge von Werten erforderlich, soll eine Wiederauftreten-Formel verwenden, um die trigonometrischen Werte im Fluge zu schätzen. Bedeutende Forschung ist der Entdeckung genauer, stabiler Wiederauftreten-Schemas gewidmet worden, um die Genauigkeit des FFT zu bewahren (der zu trigonometrischen Fehlern sehr empfindlich ist).

Auf Verlangen Berechnung

Moderne Computer und Rechenmaschinen verwenden eine Vielfalt von Techniken, um trigonometrische Funktionswerte auf Verlangen für willkürliche Winkel (Kantabutra, 1996) zur Verfügung zu stellen. Eine übliche Methodik, besonders auf Verarbeitern des höheren Endes mit Schwimmpunkt-Einheiten, soll eine polynomische oder vernünftige Annäherung (wie Annäherung von Tschebyscheff, beste gleichförmige Annäherung und Annäherung von Padé, und normalerweise für höher oder variable Präzision, Taylor und Reihe von Laurent) mit der Reihe-Verminderung und einem Tisch lookup verbinden - sie schlagen zuerst den nächsten Winkel in einem kleinen Tisch nach, und verwenden dann das Polynom, um die Korrektur zu schätzen. Das Aufrechterhalten der Präzision, während es solche Interpolation durchführt, ist jedoch nichttrivial; und Methoden wie die genauen Tische des Mädchens, Cody und die Verminderung von Waite und Verminderungsalgorithmen von Payne und Hanek können für diesen Zweck verwendet werden. Auf einfacheren Geräten, die an einem Hardware-Vermehrer Mangel haben, gibt es einen Algorithmus genannt CORDIC (sowie verwandte Techniken), der effizienter ist, da es nur Verschiebungen und Hinzufügungen verwendet. Alle diese Methoden werden in der Hardware aus Leistungsgründen allgemein durchgeführt.

Für sehr hohe Präzisionsberechnungen, wenn Reihenentwicklungskonvergenz zu langsame, trigonometrische Funktionen wird, kann durch das arithmetische geometrische Mittel näher gekommen werden, das selbst der trigonometrischen Funktion durch das (komplizierte) elliptische Integral (Brent, 1976) näher kommt.

Trigonometrische Funktionen von Winkeln, die vernünftige Vielfachen 2π sind, sind algebraische Zahlen, die mit Wurzeln der Einheit verbunden sind, und können mit einem polynomischen wurzelfindenden Algorithmus im komplizierten Flugzeug geschätzt werden. Zum Beispiel sind der Kosinus und Sinus 2π  5/37 die echten und imaginären Teile, beziehungsweise, einer 37. Wurzel der Einheit, entsprechend einer Wurzel eines Grads 37 Polynom x − 1. Wurzelfindende Algorithmen wie die Methode von Newton sind viel einfacher als die Algorithmen des arithmetischen geometrischen Mittels oben, während sie an einer ähnlichen asymptotischen Rate zusammenlaufen; die letzten Algorithmen sind für transzendentale trigonometrische Konstanten jedoch erforderlich.

Halbwinkel und Winkelhinzufügungsformeln

Historisch sollte die frühste Methode, durch die trigonometrische Tische geschätzt, und wahrscheinlich bis zum Advent von Computern am üblichsten wurden, den Halbwinkel und die Winkelhinzufügung trigonometrische Identität wiederholt anwenden, die von einem bekannten Wert (wie Sünde (π/2) = 1, weil (π/2) = 0) anfängt. Diese Methode wurde vom alten Astronomen Ptolemy verwendet, der sie in Almagest, einer Abhandlung auf der Astronomie abgeleitet hat. In der modernen Form wird die Identität, die er abgeleitet hat, wie folgt festgesetzt (mit Zeichen, die durch den Quadranten bestimmt sind, in dem x liegt):

::::

Diese wurden verwendet, um den Tisch von Ptolemy von Akkorden zu bauen, der auf astronomische Probleme angewandt wurde.

Verschiedene andere Versetzungen auf dieser Identität sind möglich: zum Beispiel, einige frühe trigonometrische Tische verwendet nicht Sinus und Kosinus, aber Sinus und versine).

Eine schnelle aber ungenaue, Annäherung

Ein schneller aber ungenauer, Algorithmus, für einen Tisch von N Annäherungen s für die Sünde (2πn/N) und c dafür zu berechnen, weil (2πn/N) ist:

:s = 0

:c = 1

:s = s + d × c

:c = c − d × s

für n = 0..., N − 1, wo d = 2π/N.

Das ist einfach die Methode von Euler, für die Differenzialgleichung zu integrieren:

::

mit anfänglichen Bedingungen s (0) = 0 und c (0) = 1, dessen analytische Lösung s = Sünde (t) und c = weil (t) ist.

Leider ist das nicht ein nützlicher Algorithmus, um Sinus-Tische zu erzeugen, weil er einen bedeutenden Fehler hat, der zu 1/N proportional ist.

Zum Beispiel für N = 256 ist der maximale Fehler in den Sinus-Werten ~0.061 (s = −1.0368 statt −0.9757). Für N = 1024 ist der maximale Fehler in den Sinus-Werten ~0.015 (s = −0.99321 statt −0.97832), ungefähr 4mal kleiner. Wenn der Sinus und die erhaltenen Kosinus-Werte geplant werden sollten, würde dieser Algorithmus eine logarithmische Spirale aber nicht einen Kreis ziehen.

Ein besserer, aber noch unvollständig, Wiederauftreten-Formel

Eine einfache Wiederauftreten-Formel, um trigonometrische Tische zu erzeugen, basiert auf der Formel von Euler und der Beziehung:

:

Das führt zum folgenden Wiederauftreten, um trigonometrische Werte s und c als oben zu schätzen:

:c = 1:s = 0

:c = w c − w s

:s = w c + w s

für n = 0..., N − 1, wo w = weil (2π/N) und w = Sünde (2π/N). Diese zwei trigonometrischen Startwerte werden gewöhnlich mit vorhandenen Bibliotheksfunktionen geschätzt (aber konnte auch z.B durch die Beschäftigung der Methode von Newton im komplizierten Flugzeug gefunden werden, um für die primitive Wurzel von z &minus zu lösen; 1).

Diese Methode würde einen genauen Tisch in der genauen Arithmetik erzeugen, aber hat Fehler in der Fließkommaarithmetik der begrenzten Präzision. Tatsächlich wachsen die Fehler als O (ε N) (sowohl in den schlechtesten als auch in durchschnittlichen Fällen), wo ε die Schwimmpunkt-Präzision ist.

Eine bedeutende Verbesserung soll die folgende Modifizierung am obengenannten verwenden, ein Trick (wegen Singletons, 1967) hat häufig gepflegt, trigonometrische Werte für FFT Durchführungen zu erzeugen:

:c = 1:s = 0

:c = c − (αc + β s)

:s = s + (β c − α s)

wo α = 2 Sünde (π/N) und β = Sünde (2π/N). Die Fehler dieser Methode, sind O (ε N) durchschnittlich und O (ε N) im Grenzfall viel kleiner, aber das ist noch groß genug, um die Genauigkeit von FFTs großer Größen wesentlich zu erniedrigen.

Siehe auch

• Numerische Analyse
• CORDIC
• Genaue trigonometrische Konstanten
• Der Sinus-Tisch von Aryabhata
• Der Sinus-Tisch von Madhava
• Carl B. Boyer, Eine Geschichte der Mathematik, 2. Hrsg. (Wiley, New York, 1991).
• Manfred Tasche und Hansmartin Zeuner, "Spielt die verbesserte roundoff Fehleranalyse für den vorgeschätzten mit Faktoren," J herum. Rechenbetonte Analyse und Anwendungen 4 (1), 1-18 (2002).
• James C. Schatzman "Verwandelt sich die Genauigkeit des getrennten Fouriers, und der schnelle Fourier verwandeln sich," SIAM J. Sci. Comput. 17 (5), 1150-1166 (1996).
• Vitit Kantabutra, "Auf der Hardware, um trigonometrische und Exponentialfunktionen," IEEE Trans zu schätzen. Computer 45 (3), 328-339 (1996).
• R. P. Brent, "Schnelle Einschätzung der Vielfachen Präzision von Elementarfunktionen", J. ACM 23, 242-251 (1976).
• Singleton, Richard C. (1967). Den schnellen Fourier schätzend, verwandeln sich. Comm. ACM, vol. 10, 647-654.
• Mädchen, Shmuel und Bachelis, Boris. Eine genaue elementare mathematische Bibliothek für den IEEE, der Punkt-Standard, ACM Transaktion auf der Mathematischen Software (1991) schwimmen lässt.