In der axiomatischen Mengenlehre und den Zweigen von Logik, Mathematik, Philosophie und Informatik, die es verwenden, ist das Axiom der Unendlichkeit eines der Axiome der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre. Es versichert die Existenz von mindestens einem unendlichem Satz, nämlich ein Satz, der die natürlichen Zahlen enthält.

Formelle Behauptung

Auf der formellen Sprache der Zermelo-Fraenkel Axiome liest das Axiom:

In Wörtern gibt es einen Satz I (der Satz, der, wie man verlangt, unendlich ist), um solch, dass der leere Satz in mir und solch ist, dass, wann auch immer jeder x ein Mitglied von mir ist, der gebildete Satz durch die Einnahme der Vereinigung von x mit seinem Singleton {x} auch ein Mitglied von mir ist. Solch ein Satz wird manchmal einen induktiven Satz genannt.

Interpretation und Folgen

Dieses Axiom ist nah mit dem Standardaufbau des naturals in der Mengenlehre verbunden, in der der Nachfolger von x als x  {x} definiert wird. Wenn x ein Satz ist, dann folgt er aus den anderen Axiomen der Mengenlehre, dass dieser Nachfolger auch ein einzigartig definierter Satz ist. Nachfolger werden verwendet, um die übliche mit dem Satz theoretische Verschlüsselung der natürlichen Zahlen zu definieren. In dieser Verschlüsselung ist Null der leere Satz:

:0 = {}.

Die Nummer 1 ist der Nachfolger 0:

:1 = 0  {0} = {}  {0} = {0}.

Ebenfalls, 2 ist der Nachfolger von 1 Jahr:

:2 = 1  {1} = {0}  {1} = {0,1},

und so weiter. Eine Folge dieser Definition ist, dass jede natürliche Zahl dem Satz aller vorhergehenden natürlichen Zahlen gleich ist.

Dieser Aufbau bildet die natürlichen Zahlen. Jedoch sind die anderen Axiome ungenügend, um die Existenz des Satzes aller natürlichen Zahlen zu beweisen. Deshalb wird seine Existenz als ein Axiom - das Axiom der Unendlichkeit genommen. Dieses Axiom behauptet, dass es einen Satz I gibt, der 0 enthält und unter der Operation geschlossen wird, den Nachfolger zu nehmen; d. h. für jedes Element von mir ist der Nachfolger dieses Elements auch in mir.

So ist die Essenz des Axioms:

:There ist ein Satz, ich, der alle natürlichen Zahlen einschließe.

Das Axiom der Unendlichkeit ist auch eines der Axiome von von Neumann-Bernays-Gödel.

Das Extrahieren der natürlichen Zahlen vom unendlichen Satz

Der unendliche Satz bin ich eine Obermenge der natürlichen Zahlen. Um zu zeigen, dass die natürlichen Zahlen selbst einen Satz einsetzen, kann das Axiom-Diagramm der Spezifizierung angewandt werden, um unerwünschte Elemente zu entfernen, den Satz N aller natürlichen Zahlen verlassend. Dieser Satz ist durch das Axiom von extensionality einzigartig.

Um die natürlichen Zahlen herauszuziehen, brauchen wir eine Definition, deren Sätze natürliche Zahlen sind. Die natürlichen Zahlen können in einem Weg definiert werden, der keine Axiome außer dem Axiom von extensionality annimmt und das Axiom der natürlichen Zahl der Induktion-a entweder Null oder ein Nachfolger ist und jedes seiner Elemente entweder Null oder ein Nachfolger von einem anderen seiner Elemente ist. Auf der formellen Sprache sagt die Definition:

Oder, noch mehr formell:

Hier, zeigt die logische "falsche" Konstante an, auch ist eine Formel, die nur hält, wenn n der leere Satz ist.

Stellvertreter

Eine abwechselnde Methode ist das folgende. Lassen Sie, die Formel zu sein, die `x sagt, ist induktiv'; d. h. Informell was wir tun werden, ist nehmen die Kreuzung aller induktiven Sätze. Mehr formell möchten wir die Existenz eines einzigartigen solchen Satzes dass beweisen

: (*)

Für die Existenz werden wir das Axiom der mit dem Axiom-Diagramm der Spezifizierung verbundenen Unendlichkeit verwenden. Lassen Sie, ein induktiver durch das Axiom der Unendlichkeit versicherter Satz zu sein. Dann verwenden wir das Axiom-Diagramm der Spezifizierung, um unseren Satz zu definieren - d. h. ist der Satz aller Elemente, von denen zufällig auch Elemente jedes anderen induktiven Satzes sind. Das befriedigt klar die Hypothese (*), seitdem wenn, ist dann in jedem induktiven Satz, und wenn in jedem induktiven Satz ist, ist es insbesondere darin, so muss es auch darin sein.

Für die Einzigartigkeit, bemerken Sie zuerst, dass jeder Satz, der (*) befriedigt, selbst induktiv ist, seitdem 0 ist in allen induktiven Sätzen, und wenn ein Element in allen induktiven Sätzen ist, dann durch das induktive Eigentum ist so sein Nachfolger. So, wenn es einen anderen Satz gäbe, der (*) befriedigt hat, würden wir das haben, da induktiv ist, und da induktiv ist. So. Lassen Sie zeigen dieses einzigartige Element an.

Diese Definition ist günstig, weil der Grundsatz der Induktion sofort folgt: Wenn, dann auch, so dass induktiv ist.

Beide diese Methoden erzeugen Systeme, die die Axiome der Arithmetik der zweiten Ordnung befriedigen, da das Axiom des Macht-Satzes uns erlaubt, über den Macht-Satz, als in der Logik der zweiten Ordnung zu messen. So bestimmen sie beide völlig isomorphe Systeme, und da sie laut der Identitätskarte isomorph sind, müssen sie tatsächlich gleich sein.

Unabhängigkeit

Das Axiom der Unendlichkeit kann aus dem Rest der Axiome von ZFC nicht abgeleitet werden, wenn diese anderen Axiome entsprechen. Noch es kann widerlegt werden, wenn alle ZFC entsprechen.

Tatsächlich, mit dem Weltall von Von Neumann, können wir ein Modell der Axiome machen, wo das Axiom der Unendlichkeit durch seine Ablehnung ersetzt wird. Es, ist die Klasse von hereditarily begrenzten Sätzen mit der geerbten Element-Beziehung.

Der cardinality des Satzes von natürlichen Zahlen, aleph ungültig , hat viele der Eigenschaften eines großen Kardinals. So wird das Axiom der Unendlichkeit manchmal als das erste große grundsätzliche Axiom betrachtet, und umgekehrt große grundsätzliche Axiome werden manchmal stärkere Axiome der Unendlichkeit genannt.

• Paul Halmos (1960) Naive Mengenlehre. Princeton, New Jersey:D. Van Nostrand Company. Nachgedruckter 1974 durch den Springer-Verlag. Internationale Standardbuchnummer 0-387-90092-6.
• Thomas Jech (2003) Mengenlehre: Die Dritte Millennium-Ausgabe, Revidiert und Ausgebreitet. Springer-Verlag. Internationale Standardbuchnummer 3-540-44085-2.
• Kenneth Kunen (1980) Mengenlehre: Eine Einführung in Unabhängigkeitsbeweise. Elsevier. Internationale Standardbuchnummer 0-444-86839-9.