In der Geometrie ist ein gleichseitiges Dreieck ein Dreieck, in dem alle drei Seiten gleich sind. Im traditionellen oder der Euklidischen Geometrie sind gleichseitige Dreiecke auch equiangular; d. h. alle drei inneren Winkel sind auch zu einander kongruent und sind jede 60 °. Sie sind regelmäßige Vielecke, und können deshalb auch regelmäßige Dreiecke genannt werden.

Haupteigenschaften

Das Annehmen der Längen der Seiten des gleichseitigen Dreiecks ist a, wir können das Verwenden des Pythagoreischen Lehrsatzes dass bestimmen:

• Das Gebiet ist
• Der Umfang ist
• Der Radius des umschriebenen Kreises ist
• Der Radius des eingeschriebenen Kreises ist
• Das geometrische Zentrum des Dreiecks ist das Zentrum der umschriebenen und eingeschriebenen Kreise
• Und die Höhe (Höhe) von jeder Seite ist.

In einem gleichseitigen Dreieck fallen die Höhen, die Winkelhalbierungslinien, die rechtwinkligen Halbierungslinien und die Mittellinien zu jeder Seite zusammen.

Charakterisierungen

Ein Dreieck-Abc, das die Seiten a, b, c, Halbumfang s, Gebiet T hat, Ex-Radien r, r, r (Tangente zu a, b, c beziehungsweise), und wo R und r die Radien des circumcircle und incircle beziehungsweise sind, ist gleichseitig, wenn, und nur wenn irgendwelche der Behauptungen in den folgenden sieben Kategorien wahr sind. Das sind auch Eigenschaften eines gleichseitigen Dreiecks.

Seiten

Halbumfang

Winkel

Gebiet

Circumradius, inradius und Ex-Radien

Gleicher cevians

• die drei Höhen haben gleiche Längen.
• die drei Mittellinien haben gleiche Längen.
• die drei Winkelhalbierungslinien haben gleiche Längen.

Zusammenfallende Dreieck-Zentren

Jedes Dreieck-Zentrum eines gleichseitigen Dreiecks fällt mit seinem centroid zusammen, und für einige Paare von Dreieck-Zentren ist die Tatsache, dass sie zusammenfallen, genug, um sicherzustellen, dass das Dreieck gleichseitig ist. Insbesondere ein Dreieck ist gleichseitig, wenn irgendwelche zwei der circumcenter, incenter, centroid, oder orthocenter zusammenfallen. Es ist auch gleichseitig, wenn sein circumcenter mit dem Punkt von Nagel zusammenfällt, oder wenn sein incenter mit seinem Neun-Punkte-Zentrum zusammenfällt.

Berühmte Lehrsätze

Der trisector Lehrsatz von Morley stellt fest, dass, in jedem Dreieck, die drei Punkte der Kreuzung des angrenzenden Winkels trisectors ein gleichseitiges Dreieck bilden.

Der Lehrsatz von Napoleon stellt fest, dass, wenn gleichseitige Dreiecke auf den Seiten eines Dreiecks, entweder alle äußer, oder alle nach innen gebaut werden, die Zentren jener gleichseitigen Dreiecke selbst ein gleichseitiges Dreieck bilden.

Eine Version der isoperimetric Ungleichheit für Dreiecke stellt fest, dass das Dreieck des größten Gebiets unter allen diejenigen mit einem gegebenen Umfang gleichseitig sind.

Der Lehrsatz von Viviani stellt dass, für jeden Innenpunkt P in einem gleichseitigen Dreieck, mit Entfernungen d, e, und f von den Seiten, d + e + f = die Höhe des Dreiecks fest, das der Position von P unabhängig ist.

Der Lehrsatz von Pompeiu stellt fest, dass, wenn P ein willkürlicher Punkt in einem gleichseitigen Dreieck-Abc ist, dann dort besteht ein Dreieck mit Seiten des Länge-PAPAS, PB, und PCs.

Andere Eigenschaften

Durch die Ungleichheit von Euler hat das gleichseitige Dreieck das kleinste Verhältnis R/r des circumradius zum inradius jedes Dreiecks: spezifisch, R/r = 2.

Das Dreieck des größten Gebiets von allen sind diejenigen, die in einem gegebenen Kreis eingeschrieben sind, gleichseitig; und das Dreieck des kleinsten Gebiets von allen sind diejenigen, die um einen gegebenen Kreis umschrieben sind, gleichseitig.

Das Verhältnis des Gebiets des incircle zum Gebiet eines gleichseitigen Dreiecks ist größer als dieses jedes nichtgleichseitigen Dreiecks.

Das Verhältnis des Gebiets zum Quadrat des Umfangs eines gleichseitigen Dreiecks, ist größer als das für jedes andere Dreieck.

In Anbetracht eines Punkts im Interieur eines gleichseitigen Dreiecks ist das Verhältnis der Summe seiner Entfernungen von den Scheitelpunkten bis die Summe seiner Entfernungen von den Seiten 2 gleich und ist weniger als dieses jedes anderen Dreiecks. Das ist die Erdős-Mordell Ungleichheit; eine stärkere Variante davon ist die Ungleichheit der Handkarre, die die rechtwinkligen Entfernungen zu den Seiten mit den Entfernungen zu den Punkten ersetzt, wo die Winkelhalbierungslinien die Seiten durchqueren.

Für jeden Punkt P im Flugzeug, mit Entfernungen p, q, und t von den Scheitelpunkten A, B, und C beziehungsweise,

Für jeden Punkt P auf dem eingeschriebenen Kreis eines gleichseitigen Dreiecks, mit Entfernungen p, q, und t von den Scheitelpunkten,

und

Für jeden Punkt P auf dem geringen Kreisbogen v. Chr. des circumcircle, mit Entfernungen p, q, und t von A, B, und C beziehungsweise,

außerdem, wenn Punkt D auf der Seite v. Chr. PAPA in Segmente PD und DA mit DA teilt Länge z und PD zu haben, Länge y, dann zu haben

der auch wenn t  q gleich ist; und

Ein gleichseitiges Dreieck ist das am meisten symmetrische Dreieck, 3 Linien des Nachdenkens und Rotationssymmetrie des Auftrags 3 über sein Zentrum habend. Seine Symmetrie-Gruppe ist die zweiflächige Gruppe des Auftrags 6 D.

Gleichseitige Dreiecke sind die einzigen Dreiecke, deren Steiner inellipse ein Kreis ist (spezifisch, ist es der incircle).

Gleichseitige Dreiecke werden in vielen anderen geometrischen Konstruktionen gefunden. Die Kreuzung von Kreisen, deren Zentren eine Radius-Breite einzeln sind, ist ein Paar von gleichseitigen Bögen, von denen jeder mit einem gleichseitigen Dreieck eingeschrieben werden kann. Sie bilden Gesichter von regelmäßigen und gleichförmigen Polyedern. Drei der fünf Platonischen Festkörper werden aus gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt. Insbesondere das regelmäßige Tetraeder hat vier gleichseitige Dreiecke für Gesichter und kann als die dreidimensionale Entsprechung der Gestalt betrachtet werden. Das Flugzeug kann mit gleichseitigen Dreiecken mit Ziegeln gedeckt werden, die geben dreieckig mit Ziegeln zu decken.

Geometrischer Aufbau

Ein gleichseitiges Dreieck wird mit einem Kompass leicht gebaut. Ziehen Sie eine Gerade, und legen Sie den Punkt des Kompasses auf einem Ende der Linie, und schwingen Sie einen Kreisbogen von diesem Punkt bis den anderen Punkt des Liniensegmentes. Wiederholen Sie sich mit der anderen Seite der Linie. Verbinden Sie schließlich den Punkt, wo sich die zwei Kreisbogen mit jedem Ende des Liniensegmentes schneiden

Abwechselnde Methode:

Ziehen Sie einen Kreis mit dem Radius r, legen Sie den Punkt des Kompasses auf dem Kreis und ziehen Sie einen anderen Kreis mit demselben Radius. Die zwei Kreise werden sich in zwei Punkten schneiden. Ein gleichseitiges Dreieck kann durch die Einnahme der zwei Zentren der Kreise und jedes der Punkte der Kreuzung gebaut werden.

Der Beweis, dass die resultierende Zahl ein gleichseitiges Dreieck ist, ist der erste Vorschlag im Buch I der Elemente von Euklid.

In der Kultur und Gesellschaft

Gleichseitige Dreiecke sind oft im Mann gemachte Aufbauten erschienen:

• Einige archäologische Seiten haben gleichseitige Dreiecke als ein Teil ihres Aufbaus, zum Beispiel Lepenski Vir in Serbien.
• Die Gestalt kommt auch in der modernen Architektur wie Randhurst-Einkaufszentrum und der Jefferson Nationales Vergrößerungsdenkmal vor.
• Die Fahne der Philippinen, das Siegel des Präsidenten der Philippinen und die Fahne von Junqueirópolis enthalten gleichseitige Dreiecke.
• Es ist eine Gestalt einer Vielfalt von Verkehrszeichen einschließlich des Ertrag-Zeichens.
• Tau Kappa Epsilon eine Netzinformationszentrum-Studentenvereinigung verwendet das gleichseitige Dreieck als sein primäres Symbol.

Siehe auch

• Fast gleichseitiges Heronian Dreieck
• Das Auge des Drachen (Symbol)
• Ungleichheit von Isoperimetric
• Rechtwinkliges Dreieck
• Trigonometrie

Links