In der abstrakten Algebra ist ein ideales Hauptgebiet oder PID, ein integriertes Gebiet, in dem jedes Ideal hauptsächlich ist, d. h., durch ein einzelnes Element erzeugt werden kann. Mehr allgemein ist ein idealer Hauptring ein Nichtnullersatzring, dessen Ideale hauptsächlich sind, obwohl einige Autoren (z.B, Bourbaki) PIDs kennzeichnen, weil Rektor klingelt. Die Unterscheidung ist, dass ein idealer Hauptring Nullteiler haben kann, wohingegen ein ideales Hauptgebiet nicht kann.

Ideale Hauptgebiete sind so mathematische Gegenstände, die sich etwas wie die ganzen Zahlen in Bezug auf die Teilbarkeit benehmen: Jedes Element eines PID hat eine einzigartige Zergliederung in Hauptelemente (so hält eine Entsprechung des Hauptsatzes der Arithmetik); irgendwelche zwei Elemente eines PID haben einen größten allgemeinen Teiler (obwohl es nicht möglich sein kann, es mit dem Euklidischen Algorithmus zu finden). Wenn x und y Elemente eines PID ohne allgemeine Teiler sind, dann kann jedes Element des PID in der Form-Axt + dadurch geschrieben werden.

Ideale Hauptgebiete sind noetherian, sie werden integriert geschlossen, sie sind einzigartige factorization Gebiete und Ringe von Dedekind. Alle Euklidischen Gebiete und alle Felder sind ideale Hauptgebiete.

: Ersatzringe  integrierte Gebiete  integriert geschlossene Gebiete  einzigartige factorization Gebiete  ideale Hauptgebiete  Euklidische Gebiete  Felder

Beispiele

Beispiele schließen ein:

• K: jedes Feld,
• Z: der Ring von ganzen Zahlen,
• K [x]: Ringe von Polynomen in einer Variable mit Koeffizienten in einem Feld. (Das gegenteilige ist auch wahr; d. h. wenn [x] ein PID ist, dann ist A ein Feld.) Außerdem ist ein Ring der formellen Macht-Reihe in einer Variable über ein Feld ein PID, da jedes Ideal der Form ist.
• Z [ich]: der Ring von ganzen Zahlen von Gaussian
• Z [ω] (wo ω eine primitive Würfel-Wurzel 1 ist): die ganzen Zahlen von Eisenstein

Beispiele von integrierten Gebieten, die nicht PIDs sind:

• Z [x]: Der Ring aller Polynome mit Koeffizienten der ganzen Zahl---es ist nicht hauptsächlich, weil das Ideal, das durch 2 und X erzeugt ist, ein Beispiel eines Ideales ist, das durch ein einzelnes Polynom nicht erzeugt werden kann.
• K [x, y]: Das Ideal (x, y) ist nicht hauptsächlich.

Module

Das Schlüsselergebnis ist der Struktur-Lehrsatz: Wenn R ein ideales Hauptgebiet ist, und M begrenzt ist

erzeugtes R-Modul, ist dann eine direkte Summe von zyklischen Modulen, d. h., Modulen mit einem Generator. Die zyklischen Module sind zu für einige isomorph.

Wenn M ein freies Modul über ein ideales Hauptgebiet R ist, dann ist jedes Untermodul der M wieder frei. Das hält für Module über willkürliche Ringe als das Beispiel von Modulen über Shows nicht.

Eigenschaften

In einem idealen Hauptgebiet haben irgendwelche zwei Elemente a, b einen größten allgemeinen Teiler, der als ein Generator des Ideales (a, b) erhalten werden kann.

Alle Euklidischen Gebiete sind ideale Hauptgebiete, aber das gegenteilige ist nicht wahr.

Ein Beispiel eines idealen Hauptgebiets, das nicht ein Euklidisches Gebiet ist, ist der Ring

In diesem Gebiet bestehen kein q und r, mit 0  | r |, trotz und einen größten allgemeinen Teiler 2 4 zu haben.

Jedes ideale Hauptgebiet ist ein einzigartiges factorization Gebiet (UFD). Das gegenteilige hält nicht, da für jedes Feld K, K [X, Y] ein UFD ist, aber nicht ein PID ist (um zu beweisen, dass dieser Blick auf das Dadurch erzeugte Ideal nicht der ganze Ring ist, da es keine Polynome des Grads 0 enthält, aber es kann durch kein einzelnes Element erzeugt werden).

1. Jedes ideale Hauptgebiet ist Noetherian.
2. In allen Unital-Ringen sind maximale Ideale erst. In idealen Hauptgebieten hält eine gegenteilige Nähe: Jedes Nichtnullhauptideal ist maximal.
3. Alle idealen Hauptgebiete werden integriert geschlossen.

Die vorherigen drei Behauptungen geben die Definition eines Gebiets von Dedekind, und folglich ist jedes ideale Hauptgebiet ein Gebiet von Dedekind.

Lassen Sie A ein integriertes Gebiet sein. Dann ist der folgende gleichwertig.

1. A ist ein PID.
2. Jedes Hauptideal von A ist hauptsächlich.
3. A ist ein Gebiet von Dedekind, das ein UFD ist.
4. Jedes begrenzt erzeugte Ideal von A ist hauptsächlich (d. h., A ist ein Gebiet von Bézout), und A befriedigt die steigende Kettenbedingung auf Hauptidealen.
5. Ein Zulassen einer Norm von Dedekind-Hasse.

Eine Feldnorm ist eine Norm von Dedekind-Hasse; so, (5) Shows, dass ein Euklidisches Gebiet ein PID ist. (4) vergleicht sich mit:

• Ein integriertes Gebiet ist ein UFD, wenn, und nur wenn es ein GCD Gebiet ist (d. h., ein Gebiet, wo alle zwei Elemente einen größten allgemeinen Teiler hat), Zufriedenheit der steigenden Kettenbedingung auf Hauptidealen.

Ein integriertes Gebiet ist ein Gebiet von Bézout, wenn, und nur wenn irgendwelche zwei Elemente darin einen gcd haben, der eine geradlinige Kombination der zwei ist. Ein Bézout Gebiet ist so ein GCD Gebiet, und (4) gibt noch einen anderen Beweis, dass ein PID ein UFD ist.

Siehe auch

• Die Identität von Bézout

Zeichen

• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, V. V. Kirichenko. Algebra, Ringe und Module. Kluwer Akademische Herausgeber, 2004. Internationale Standardbuchnummer 1-4020-2690-0
• John B. Fraleigh, Victor J. Katz. Eine Vorspeise in der abstrakten Algebra. Addison Wesley Publishing Company. 5 Hrsg., 1967. Internationale Standardbuchnummer 0-201-53467-3
• Nathan Jacobson. Grundlegende Algebra I. Dover, 2009. Internationale Standardbuchnummer 978-0-486-47189-1
• Paulo Ribenboim. Klassische Theorie von algebraischen Zahlen. Springer, 2001. Internationale Standardbuchnummer 0387950702

Außenverbindungen

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