In der Zahlentheorie ist die Vermutung von Mordell die dadurch gemachte Vermutung eine Kurve der Klasse, die größer ist als 1 über Feld Q von rationalen Zahlen, hat nur begrenzt viele vernünftige Punkte. Die Vermutung wurde später durch das Ersetzen Q durch eine begrenzte Erweiterung verallgemeinert. Es wurde dadurch bewiesen, und ist jetzt als der Lehrsatz von Faltings bekannt.

Hintergrund

Lassen Sie C eine nichtsinguläre algebraische Kurve der Klasse g über Q sein. Dann kann der Satz von vernünftigen Punkten auf C wie folgt bestimmt werden:

• Fall g = 0: keine Punkte oder ungeheuer viele; C wird als eine konische Abteilung behandelt.
• Fall g = 1: Keine Punkte oder C ist eine elliptische Kurve, und seine vernünftigen Punkte bilden eine begrenzt erzeugte abelian Gruppe (der Lehrsatz von Mordell, der später zum Mordell-Weil Lehrsatz verallgemeinert ist). Außerdem schränkt der Verdrehungslehrsatz von Mazur die Struktur der Verdrehungsuntergruppe ein.
• Fall g> 1: Gemäß der Vermutung von Mordell jetzt hat der Lehrsatz von Faltings, C nur eine begrenzte Zahl von vernünftigen Punkten.

Beweise

Der ursprüngliche Beweis von Faltings ist die bekannte Verminderung an einem Fall der Vermutung von Tate und mehrere Werkzeuge von der algebraischen Geometrie einschließlich der Theorie von Modellen von Néron verwendet. Ein sehr verschiedener Beweis, der auf der diophantine Annäherung gestützt ist, wurde von Paul Vojta gefunden. Eine elementarere Variante des Beweises von Vojta wurde von Enrico Bombieri gegeben.

Folgen

Das 1983-Papier von Faltings hatte als Folgen mehrere Behauptungen, die vorher vermutet worden waren:

• Die Mordell vermuten, dass eine Kurve der Klasse, die größer ist als 1 über ein numerisches Feld, nur begrenzt viele vernünftige Punkte hat;
• Die Vermutung von Shafarevich, dass es nur begrenzt viele Isomorphismus-Klassen von abelian Varianten der festen Dimension und des befestigten Polarisationsgrads über ein Feld der festgelegten Zahl mit der guten Verminderung außerhalb eines gegebenen begrenzten Satzes von Plätzen gibt; und
• Der Isogeny Lehrsatz, dass abelian Varianten mit isomorphen Modulen von Tate (als Q-Module mit der Handlung von Galois) isogenous sind.

Die Verminderung der Vermutung von Mordell zur Vermutung von Shafarevich war wegen. Eine Beispielanwendung des Lehrsatzes von Faltings ist zu einer schwachen Form des Letzten Lehrsatzes von Fermat: Weil irgendwelcher n> 4 befestigt hat, gibt es höchstens begrenzt viele primitive Lösungen + b = c. (Die Kurve

x + y = 1

hat Klasse, die größer ist als 1.)

Generalisationen

Wegen des Mordell-Weil Lehrsatzes kann der Lehrsatz von Faltings als eine Behauptung über die Kreuzung einer Kurve C mit einer begrenzt erzeugten Untergruppe Γ von einer abelian Vielfalt A wiederformuliert werden. Die Generalisierung durch das Ersetzen C durch eine willkürliche Subvielfalt von A und Γ durch eine willkürliche Untergruppe der begrenzten Reihe von A führt zur Vermutung von Mordell-Lang, die bewiesen worden ist.

Eine andere hoch-dimensionale Generalisation des Lehrsatzes von Faltings ist die Vermutung von Bombieri-Lang dass, wenn X eine pseudokanonische Vielfalt (d. h., Vielfalt des allgemeinen Typs) über ein numerisches Feld k ist, dann X (k) ist nicht Zariski, der in X dicht ist. Noch allgemeinere Vermutungen sind hervor von Paul Vojta gestellt worden.

Die Mordell-Vermutung für Funktionsfelder wurde nach und nach bewiesen. gefunden und befestigt eine Lücke im Beweis von Manin.

•  Enthält eine englische Übersetzung von Faltings (1983)

•  Gibt den Beweis von Vojta des Lehrsatzes von Falting.