In der abstrakten Algebra wird eine abelian Gruppe (G, +) begrenzt erzeugt genannt, wenn dort begrenzt viele Elemente x..., x in solchem G bestehen, dass jeder x in G in der Form geschrieben werden kann

:x = nx + nx +... + nx

mit ganzen Zahlen n..., n. In diesem Fall sagen wir, dass der Satz {x..., x} ein Erzeugen-Satz von G ist, oder dass x..., x G erzeugen.

Klar wird jede begrenzte abelian Gruppe begrenzt erzeugt. Die begrenzt erzeugten abelian Gruppen sind einer ziemlich einfachen Struktur und können völlig klassifiziert werden, wie unten erklärt wird.

Beispiele

• die ganzen Zahlen (, +) sind eine begrenzt erzeugte abelian Gruppe
• die ganzen Zahlen modulo n  sind eine begrenzt erzeugte abelian Gruppe
• jede direkte Summe von begrenzt vielen hat begrenzt abelian Gruppen erzeugt ist wieder eine begrenzt erzeugte abelian Gruppe

Es gibt keine anderen Beispiele (bis zum Isomorphismus). Insbesondere die Gruppe (, +) rationaler Zahlen wird nicht begrenzt erzeugt: Wenn x... x sind rationale Zahlen, eine natürliche Zahl w coprime zu allen Nennern aufpicken; dann kann 1/w nicht durch x..., x erzeugt werden. Die Gruppe (, *) rationaler Nichtnullzahlen wird auch nicht begrenzt erzeugt.

Klassifikation

Der Hauptsatz begrenzt erzeugter abelian Gruppen

(der ein spezieller Fall des Struktur-Lehrsatzes für begrenzt erzeugte Module über ein ideales Hauptgebiet ist), kann zwei Wege (analog mit PIDs) festgesetzt werden:

Primäre Zergliederung

Die primäre Zergliederungsformulierung stellt fest, dass jede begrenzt erzeugte abelian Gruppe G zu einer direkten Summe von primären zyklischen Gruppen und unendlichen zyklischen Gruppen isomorph ist. Eine primäre zyklische Gruppe ist diejenige, deren Ordnung eine Macht einer Blüte ist. D. h. jede begrenzt erzeugte abelian Gruppe ist zu einer Gruppe der Form isomorph

wo die Reihe n  0, und die Zahlen q..., q Mächte (nicht notwendigerweise verschieden) Primzahlen ist. Insbesondere G ist wenn und nur wenn n = 0 begrenzt. Die Werte von n, q..., q sind (bis zum Umordnen der Indizes) einzigartig bestimmt durch G.

Faktor-Zergliederung von Invariant

Wir können auch schreiben, dass irgendwelcher begrenzt abelian Gruppe G als eine direkte Summe der Form erzeugt

wo k k teilt, der k und so weiter bis zu k teilt. Wieder werden die Reihe n und die invariant Faktoren k..., k durch G (hier mit einer einzigartigen Ordnung) einzigartig bestimmt.

Gleichwertigkeit

Diese Behauptungen sind wegen des chinesischen Rest-Lehrsatzes gleichwertig, der hier feststellt, dass  zum direkten Produkt von  und  isomorph ist, wenn, und nur wenn j und k coprime und M = jk sind.

Folgeerscheinungen

Festgesetzt verschieden sagt der Hauptsatz, dass eine begrenzt erzeugte abelian Gruppe die direkte Summe einer freien abelian Gruppe der begrenzten Reihe und einer begrenzten abelian Gruppe, jedes von denjenigen ist, die bis zum Isomorphismus einzigartig sind. Die begrenzte abelian Gruppe ist gerade die Verdrehungsuntergruppe von G. Die Reihe von G wird als die Reihe des Teils ohne Verdrehungen von G definiert; das ist gerade die Nummer n in den obengenannten Formeln.

Eine Folgeerscheinung zum Hauptsatz ist, dass jede begrenzt erzeugte abelian Gruppe ohne Verdrehungen freier abelian ist. Die begrenzt erzeugte Bedingung ist hier notwendig:  ist ohne Verdrehungen, aber nicht freier abelian.

Jede Untergruppe- und Faktor-Gruppe einer begrenzt erzeugten abelian Gruppe wird wieder abelian begrenzt erzeugt. Die begrenzt erzeugten abelian Gruppen, zusammen mit dem Gruppenhomomorphismus, bilden eine abelian Kategorie, die eine Unterkategorie von Serre der Kategorie von abelian Gruppen ist.

Nichtbegrenzt erzeugte abelian Gruppen

Bemerken Sie, dass nicht jede abelian Gruppe der begrenzten Reihe begrenzt erzeugt wird; die Reihe 1 Gruppe  ist ein Gegenbeispiel und die Reihe 0 Gruppe, die durch eine direkte Summe zählbar ungeheuer vieler Kopien von  gegeben ist, ist ein anderer.

Siehe auch

• Der Lehrsatz des Jordans-Hölder ist eine non-abelian Generalisation

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