In der abstrakten Algebra, wie man sagt, ist ein Element eines Ersatzrings erst, wenn es nicht Null, nicht eine Einheit ist, und wann auch immer sich für einige und darin teilt, sich dann teilt oder sich teilt. Gleichwertig ist ein Element erst, wenn, und nur wenn das Hauptideal, das dadurch erzeugt ist, ein Nichtnullhauptideal ist.

Das Interesse an Hauptelementen kommt aus dem Hauptsatz der Arithmetik, die behauptet, dass jede ganze Zahl auf im Wesentlichen nur eine Weise als 1 oder 1 multiplizierte durch ein Produkt von positiven Primzahlen geschrieben werden kann. Das hat zur Studie von einzigartigen factorization Gebieten geführt, die verallgemeinern, was gerade in den ganzen Zahlen illustriert wurde.

Hauptelemente sollten mit nicht zu vereinfachenden Elementen nicht verwirrt sein. In einem integrierten Gebiet ist jede Blüte nicht zu vereinfachend, aber das gegenteilige ist im Allgemeinen nicht wahr. Jedoch, in einzigartigen factorization Gebieten, oder mehr allgemein in GCD Gebieten, sind Blüte und irreducibles dasselbe.

Erst zu sein, ist auch, hinsichtlich dessen Rings, wie man betrachtet, ein Element darin ist; zum Beispiel, 2 ist ein Hauptelement in Z, aber es ist nicht in Z [], der Ring von ganzen Zahlen von Gaussian, da und 2 keinen Faktor rechts teilt.

Beispiele

Der folgende ist Beispiele von Hauptelementen in Ringen:

• Die ganzen Zahlen ±2, ±3, ±5, ±7, ±11... im Ring von ganzen Zahlen Z
• die komplexen Zahlen , 19, und im Ring von ganzen Zahlen von Gaussian Z []
• die Polynome und im Ring von Polynomen über Z.

Quellen

• Abschnitt III.3 von