Die logistische Karte ist ein Polynom kartografisch darstellend (gleichwertig, Wiederauftreten-Beziehung) vom Grad 2, häufig zitiert als ein archetypisches Beispiel dessen, wie kompliziertes, chaotisches Verhalten aus sehr einfachen nichtlinearen dynamischen Gleichungen entstehen kann. Die Karte wurde in einem Samen-1976-Vortrag vom Biologen Robert May, teilweise als eine diskrete Zeit demografisches Modell verbreitet, das der logistischen von Pierre François Verhulst zuerst geschaffenen Gleichung analog ist.

Mathematisch wird die logistische Karte geschrieben

wo:

: ist eine Zahl zwischen der Null und ein, und vertritt das Verhältnis der vorhandenen Bevölkerung zur maximalen möglichen Bevölkerung im Jahr n, und folglich vertritt x das anfängliche Verhältnis der Bevölkerung zur max. Bevölkerung (im Jahr 0)

:r ist eine positive Zahl, und vertritt einen kombinierten Tarif für die Fortpflanzung und das Verhungern.

Diese nichtlineare Unterschied-Gleichung ist beabsichtigt, um zwei Effekten zu gewinnen.

• Fortpflanzung, wo die Bevölkerung an einer zur aktuellen Bevölkerung proportionalen Rate zunehmen wird, wenn die Bevölkerungsgröße klein ist.
• Verhungern (von der Dichte abhängige Sterblichkeit), wo die Wachstumsrate an einer Rate abnehmen wird, die zum erhaltenen Wert durch die Einnahme der theoretischen "Tragfähigkeit" der Umgebung weniger die aktuelle Bevölkerung proportional ist.

Jedoch als ein demografisches Modell hat die logistische Karte das pathologische Problem, dass einige anfängliche Bedingungen und Parameter-Werte zu negativen Bevölkerungsgrößen führen. Dieses Problem erscheint im älteren Modell von Ricker nicht, das auch chaotische Dynamik ausstellt.

Der r=4 Fall der logistischen Karte ist eine nichtlineare Transformation sowohl der Bit-Verschiebungskarte als auch des Falls der Zelt-Karte.

Verhaltensabhängiger auf r

Durch das Verändern des Parameters r wird das folgende Verhalten beobachtet:

• Mit r zwischen 0 und 1 wird die Bevölkerung schließlich, unabhängig der anfänglichen Bevölkerung sterben.
• Mit r zwischen 1 und 2 wird sich die Bevölkerung dem Wert schnell nähern

: unabhängig der anfänglichen Bevölkerung.

• Mit r zwischen 2 und 3 wird sich die Bevölkerung auch schließlich demselben Wert nähern

:, aber wird zuerst um diesen Wert für einige Zeit schwanken. Die Rate der Konvergenz ist abgesehen von r=3 geradlinig, wenn es drastisch langsam, weniger als geradlinig ist.

• Mit r zwischen 3 und (etwa 3.45) von fast allen anfänglichen Bedingungen wird sich die Bevölkerung dauerhaften Schwingungen zwischen zwei Werten nähern. Diese zwei Werte sind von r abhängig.
• Mit r zwischen 3.45 und 3.54 (ungefähr) von fast allen anfänglichen Bedingungen wird sich die Bevölkerung dauerhaften Schwingungen unter vier Werten nähern.
• Mit r, der darüber hinaus 3.54, von fast allen anfänglichen Bedingungen zunimmt, wird sich die Bevölkerung Schwingungen unter 8 Werten, dann 16, 32, usw. nähern. Die Längen der Parameter-Zwischenräume, die Schwingungen einer gegebenen Länge nachgeben, nehmen schnell ab; das Verhältnis zwischen den Längen von zwei aufeinander folgenden solche Gabelungszwischenräume nähert sich Feigenbaum unveränderlicher δ = 4.669. Dieses Verhalten ist ein Beispiel einer Periode verdoppelnden Kaskade.
• An r sind etwa 3.57 der Anfall der Verwirrung am Ende der Periode verdoppelnden Kaskade. Von fast allen anfänglichen Bedingungen können wir irgendwelche Schwingungen der begrenzten Periode nicht mehr sehen. Geringe Schwankungen in der anfänglichen Bevölkerung geben drastisch verschiedene Ergebnisse mit der Zeit, eine Haupteigenschaft der Verwirrung nach.
• Die meisten Werte außer 3.57 Ausstellungsstück chaotisches Verhalten, aber gibt es noch bestimmte isolierte Reihen von r, die nichtchaotisches Verhalten zeigen; diese werden manchmal Inseln der Stabilität genannt. Zum Beispiel an (etwa 3.83) beginnend, gibt es eine Reihe von Rahmen r, die Schwingung unter drei Werten, und für ein bisschen höhere Werte der r Schwingung unter 6 Werten, dann 12 usw. zeigen.
• Die Entwicklung des chaotischen Verhaltens der logistischen Folge als der Parameter r ändert sich von etwa 3.5699 bis etwa 3.8284 wird manchmal das Pomeau-Manneville Drehbuch genannt, das durch eine periodische (laminar) durch Ausbrüche von aperiodischem Verhalten unterbrochene Phase charakterisiert wird. Solch ein Drehbuch hat eine Anwendung in Halbleiter-Geräten. Es gibt andere Reihen, die Schwingung unter 5 Werten usw. nachgeben; alle Schwingungsperioden kommen für einige Werte von r vor. Ein Periode verdoppelndes Fenster mit dem Parameter c ist eine Reihe von R-Werten, die aus einer Folge von Teilbereichen bestehen. Der k Teilbereich enthält die Werte von r, für den es einen stabilen Zyklus gibt (ein Zyklus, der eine Reihe anfänglicher Punkte des Einheitsmaßes anzieht) der Periode, wird Diese Folge von Teilbereichen eine Kaskade von Obertönen genannt. In einem Teilbereich mit einem stabilen Zyklus der Periode gibt es nicht stabile Zyklen der Periode für alle

• Außer r = 4 verlassen die Werte schließlich den Zwischenraum [0,1] und weichen für fast alle Anfangswerte ab.

Für jeden Wert von r gibt es am grössten Teil eines stabilen Zyklus. Ein stabiler Zyklus zieht fast alle Punkte an. Für einen r mit einem stabilen Zyklus von einer Periode kann es ungeheuer viele nicht stabile Zyklen von verschiedenen Perioden geben.

Ein Gabelungsdiagramm fasst das zusammen. Die horizontale Achse zeigt die Werte des Parameters r, während die vertikale Achse die möglichen langfristigen Werte von x zeigt.

Das Gabelungsdiagramm ist ein selbstähnlicher: Wenn Sie den obengenannten erwähnten Wert r = 3.82 heranholen und sich auf einen Arm der drei konzentrieren, sieht die Situation in der Nähe wie eine zusammenschrumpfen gelassene und ein bisschen verdrehte Version des ganzen Diagramms aus. Dasselbe ist für alle anderen nichtchaotischen Punkte wahr. Das ist ein Beispiel der tiefen und allgegenwärtigen Verbindung zwischen Verwirrung und fractals.

Verwirrung und die logistische Karte

Die Verhältniseinfachheit der logistischen Karte macht es einen ausgezeichneten Punkt des Zugangs in eine Rücksicht des Konzepts der Verwirrung. Eine raue Beschreibung der Verwirrung ist, dass chaotische Systeme eine große Empfindlichkeit zu anfänglichen Bedingungen — ein Eigentum der logistischen Karte für die meisten Werte von r zwischen ungefähr 3.57 und 4 (wie bemerkt, oben) ausstellen. Eine allgemeine Quelle solcher Empfindlichkeit zu anfänglichen Bedingungen ist, dass die Karte eine wiederholte Falte und das Ausdehnen des Raums vertritt, auf dem es definiert wird. Im Fall von der logistischen Karte die quadratische Unterschied-Gleichung (1) kann vom Beschreiben davon als eine Operation des Ausdehnens-Und-Falte auf dem Zwischenraum (0,1) gedacht werden.

Die folgende Zahl illustriert das Ausdehnen, und die Falte über eine Folge dessen wiederholt von der Karte. Abbildung (a), verlassen, gibt ein zweidimensionales Phase-Diagramm der logistischen Karte für r=4, und zeigt klar die quadratische Kurve der Unterschied-Gleichung (1). Jedoch können wir dieselbe Folge in einem dreidimensionalen Phase-Raum einbetten, um die tiefere Struktur der Karte zu untersuchen. Abbildung (b), Recht, demonstriert das, sich zeigend, wie am Anfang nahe gelegene Punkte beginnen, besonders in jenen Gebieten X entsprechend den steileren Abteilungen des Anschlags abzuweichen.

Dieses Ausdehnen-Und-Falte erzeugt wirklich nicht nur eine allmähliche Abschweifung der Folgen dessen wiederholt, aber eine Exponentialabschweifung (sieh Hochzahlen von Lyapunov), gezeigt auch durch die Kompliziertheit und Unvorhersehbarkeit der chaotischen logistischen Karte. Tatsächlich wiederholt die Exponentialabschweifung von Folgen dessen erklärt die Verbindung zwischen Verwirrung und Unvorhersehbarkeit: Ein kleiner Fehler im angenommenen anfänglichen Staat des Systems wird dazu neigen, einem großen Fehler später in seiner Evolution zu entsprechen. Folglich werden Vorhersagen über zukünftige Staaten progressiv (tatsächlich, exponential) schlechter, wenn es sogar sehr kleine Fehler in unseren Kenntnissen des anfänglichen Staates gibt.

Da die Karte auf einen Zwischenraum auf der Linie der reellen Zahl beschränkt wird, ist seine Dimension weniger als oder gleich der Einheit. Numerische Schätzungen geben eine Korrelationsdimension 0.500 ± 0.005 (Grassberger, 1983), eine Dimension von Hausdorff von ungefähr 0.538 (Grassberger 1981) und eine Informationsdimension 0.5170976 nach... (Grassberger 1983) für r=3.5699456... (Anfall der Verwirrung). Bemerken Sie: Es kann gezeigt werden, dass die Korrelationsdimension sicher zwischen 0.4926 und 0.5024 ist.

Es ist häufig jedoch möglich, genaue und genaue Erklärungen über die Wahrscheinlichkeit eines zukünftigen Staates in einem chaotischen System abzugeben. Wenn (vielleicht chaotisch) dynamisches System einen attractor hat, dann dort besteht ein Wahrscheinlichkeitsmaß, das das lang-geführte Verhältnis der Zeit gibt, die durch das System in den verschiedenen Gebieten des attractor verbracht ist. Im Fall von der logistischen Karte mit dem Parameter r = 4 und ein anfänglicher Staat in (0,1) ist der attractor auch der Zwischenraum (0,1), und das Wahrscheinlichkeitsmaß entspricht dem Beta-Vertrieb mit Rahmen = 0.5 und b = 0.5. Spezifisch ist das Invariant-Maß. Unvorhersehbarkeit ist nicht Zufälligkeit, aber in einigen Verhältnissen ist ihr sehr viel ähnlich. Folglich, und glücklich, selbst wenn wir sehr wenig über den anfänglichen Staat der logistischen Karte (oder ein anderes chaotisches System) wissen, können wir noch etwas über den Vertrieb von Staaten eine lange Zeit in die Zukunft sagen, und diese Kenntnisse verwenden, um auf dem Staat des Systems gestützte Entscheidungen zu informieren.

Lösung in einigen Fällen

Der spezielle Fall von r = 4 kann tatsächlich genau gelöst werden, wie der Fall mit r = 2 kann; jedoch kann der allgemeine Fall nur statistisch vorausgesagt werden.

Die Lösung, wenn r = 4, ist

wo durch den anfänglichen Bedingungsparameter gegeben wird. Für den vernünftigen nachdem stellt eine begrenzte Zahl von Wiederholungen in eine periodische Folge kartografisch dar. Aber fast alle sind vernunftwidrig, und für die Irrationalzahl wiederholt sich nie - es ist nichtperiodisch. Diese Lösungsgleichung demonstriert klar die zwei Hauptmerkmale der Verwirrung - das Ausdehnen und die Falte: Der Faktor 2 Shows das Exponentialwachstum des Ausdehnens, das auf empfindliche Abhängigkeit von anfänglichen Bedingungen hinausläuft, während die karierte Sinusfunktion gefaltet innerhalb der Reihe [0, 1] hält.

Im Vergleich, die Lösung, wenn r=2 ist

dafür. Seitdem für jeden Wert von anderen als der nicht stabile feste Punkt 0 geht der Begriff zu 0, wie n zur Unendlichkeit geht, so geht zum stabilen festen Punkt

Die Entdeckung von Zyklen jeder Länge wenn r

4 = =

Für den r = 4 Fall von fast allen anfänglichen Bedingungen ist die wiederholen Folge chaotisch. Dennoch dort bestehen Sie eine unendliche Zahl von anfänglichen Bedingungen, die zu Zyklen führen, und tatsächlich dort bestehen Sie Zyklen der Länge k für alle ganzen Zahlen k  1. Wir können die Beziehung der logistischen Karte zur dyadischen Transformation (auch bekannt als der Karte der Bit-Verschiebung) ausnutzen, um Zyklen jeder Länge zu finden. Wenn x der logistischen Karte folgt und y der dyadischen Transformation folgt

:

dann sind die zwei durch verbunden

:.

Der Grund, dass die dyadische Transformation auch die Karte der Bit-Verschiebung genannt wird, besteht darin, dass, wenn y in der binären Notation geschrieben wird, die Karte den binären Punkt ein Platz nach rechts bewegt (und wenn das Bit links vom binären Punkt "1" geworden ist, dieser "1" wird zu "0" geändert). Ein Zyklus der Länge 3 kommt zum Beispiel vor, wenn ein Wiederholen 3 Bit hat, die Folge in seiner Binärentwicklung wiederholen (der nicht auch eine Ein-Bit-Wiederholen-Folge ist): 001, 010, 100, 110, 101, oder 011. Das Wiederholen 001001001... Karten in 010010010..., der in 100100100 kartografisch darstellt..., der der Reihe nach in die ursprünglichen 001001001 kartografisch darstellt...; so ist das eine 3-Zyklen-von der Bit-Verschiebungskarte. Und die anderen drei Binärentwicklungswiederholen-Folgen geben die 3-Zyklen-110110110...  101101101...  011011011...  110110110.... Jeder dieser 3 Zyklen kann zur Bruchteil-Form umgewandelt werden: Zum Beispiel kann der zuerst gegebene 3-Zyklen-als 1/7  2/7  4/7  1/7 geschrieben werden. Mit der obengenannten Übersetzung von der Karte der Bit-Verschiebung bis den r = gibt 4 logistische Karte den entsprechenden logistischen Zyklus.611260467... .950484434... .188255099... .611260467.... Wir konnten die andere in seinen entsprechenden logistischen Zyklus 3-Zyklen-Bit-Verschiebung ähnlich übersetzen. Ebenfalls können Zyklen jeder Länge k in der Karte der Bit-Verschiebung gefunden und dann in die entsprechenden logistischen Zyklen übersetzt werden.

Jedoch, seitdem fast alle Zahlen in [0, 1) sind vernunftwidrig, fast alle anfänglichen Bedingungen der Karte der Bit-Verschiebung führen zur Nichtperiodizität der Verwirrung. Das ist eine Weise zu sehen, dass der logistische r = 4 Karte für fast alle anfänglichen Bedingungen chaotisch ist.

Siehe auch

• Malthuswachstumsmodell
• Verwirrungstheorie
• Liste von chaotischen Karten
• Logistische Funktion die dauernde Version
• Steife Gleichung
• Stabilität von Lyapunov für wiederholte Systeme
• Radiales Basisfunktionsnetz Dieser Artikel illustriert das umgekehrte Problem für die logistische Karte.
• Komplizierte quadratische Karte
• Die Gleichung von Schröder

Lehrbücher

Zeitschriftenartikel

Links

• Logistische Karte-Simulation. Java applet das Simulieren der Logistischen Karte durch Yuval Baror.

• Logistische Karte. Enthält eine interaktive Computersimulation der logistischen Karte.
• Das Verwirrungshyperlehrbuch. Eine einleitende Zündvorrichtung auf der Verwirrung und fractals.
• Interaktive Logistische Karte mit der Wiederholung und Gabelungsdiagramme in Java.
• Interaktive Logistische Karte sich zeigend hat Punkte befestigt.
• Macintosh quadratisches Karte-Programm
• Der Übergang zur Verwirrung und Feigenbaum unveränderlich - JAVA applet
• Die logistische Karte und Verwirrung durch Elmer G. Wiens
• Kompliziertheit & Verwirrung (audiobook) durch Roger White. Kapitel 5 bedeckt die Logistische Gleichung.
• "Geschichte von wiederholten Karten," in Einer Neuen Art der Wissenschaft durch Stephen Wolfram. Champaign, Illinois: Medien von Wolfram, p. 918, 2002.
• Getrennte Logistische Gleichung durch Marek Bodnar nach der Arbeit von Phil Ramsden, Wolfram-Demonstrationsprojekt.
• Kopplung von Multiplicative von 2 logistischen Karten von C. Pellicer-Lostao und R. Lopez-Ruiz nach der Arbeit von Ed Pegg dem Jüngeren, Wolfram-Demonstrationsprojekt.
• Verwendender WEISER, um die getrennte logistische Gleichung zu untersuchen