Im mathematischen Feld der Knoten-Theorie ist ein Knoten-Polynom ein Knoten invariant in der Form eines Polynoms, dessen Koeffizienten einige der Eigenschaften eines gegebenen Knotens verschlüsseln.

Geschichte

Das erste Knoten-Polynom, das Polynom von Alexander, wurde von J. W. Alexander 1923 eingeführt, aber andere Knoten-Polynome wurden bis fast 60 Jahre später nicht gefunden.

In den 1960er Jahren hat John Conway eine Strang-Beziehung für eine Version des Polynoms von Alexander, gewöhnlich gekennzeichnet als das Polynom von Alexander-Conway präsentiert. Die Bedeutung dieser Strang-Beziehung wurde bis zum Anfang der 1980er Jahre nicht begriffen, als Vaughan Jones das Polynom von Jones entdeckt hat. Das hat zur Entdeckung von mehr Knoten-Polynomen wie das so genannte HOMFLY Polynom geführt.

Bald nach der Entdeckung von Jones hat Louis Kauffman bemerkt, dass das Polynom von Jones mittels eines Zustandsumme-Modells geschätzt werden konnte, das das Klammer-Polynom, einen invariant von eingerahmten Knoten eingeschlossen hat. Das hat Alleen der Forschung geöffnet, die Knoten-Theorie und statistische Mechanik verbindet.

Gegen Ende der 1980er Jahre wurden zwei zusammenhängende Durchbrüche gemacht. Edward Witten hat demonstriert, dass das Polynom von Jones und der ähnliche Jones-Typ invariants, eine Interpretation in der Chern-Simons Theorie hatten. Viktor Vassiliev und Michail Goussarov haben die Theorie des begrenzten Typs invariants Knoten angefangen. Wie man bekannt, sind die Koeffizienten der vorher genannten Polynome des begrenzten Typs (nach vielleicht einer passenden "Änderung von Variablen").

In den letzten Jahren, wie man gezeigt hat, ist das Polynom von Alexander mit der Homologie von Floer verbunden gewesen. Die abgestufte Eigenschaft von Euler des Knotens Homologie von Floer von Ozsváth und Szabó ist das Polynom von Alexander.

• Colin Adams, Das Knoten-Buch, die amerikanische Mathematische Gesellschaft, internationale Standardbuchnummer 0-8050-7380-9
• W. B. R. Lickorish, Eine Einführung in die Knoten-Theorie. Absolvententexte in der Mathematik, 175. Springer-Verlag, New York, 1997. Internationale Standardbuchnummer 0 387 98254 X

Siehe auch

Spezifische Knoten-Polynome

• Polynom von Alexander
• Klammer-Polynom
• HOMFLY Polynom
• Polynom von Jones
• Polynom von Kauffman

Zusammenhängende Themen

• Strang-Beziehung für eine formelle Definition des Polynoms von Alexander, mit einem bearbeiteten Beispiel.