In der Mathematik und Physik ist Raum von n-dimensional anti de Sitter, manchmal schriftlich, eine maximal symmetrische Sammelleitung von Lorentzian mit der unveränderlichen negativen Skalarkrümmung. Es ist die Entsprechung von Lorentzian des n-dimensional Hyperbelraums, gerade als Raum von Minkowski und Raum von de Sitter die Entsprechungen von Euklidischen und elliptischen Räumen beziehungsweise sind.

Es ist für seine Rolle in der AdS/CFT Ähnlichkeit am besten bekannt.

Auf der Sprache der allgemeinen Relativität ist Raum von anti de Sitter eine maximal symmetrische Vakuumlösung der Feldgleichung von Einstein mit einer negativen (attraktiven) kosmologischen Konstante (entsprechend einer negativen Vakuumenergiedichte und positivem Druck).

In der Mathematik wird Raum von anti de Sitter manchmal mehr allgemein als ein Raum der willkürlichen Unterschrift (p, q) definiert. Allgemein in der Physik ist nur der Fall einer Zeitmäßigdimension wichtig. Wegen der sich unterscheidenden Zeichen-Vereinbarung kann das einer Unterschrift von irgendeinem (n1, 1) oder (1, n1) entsprechen.

Nicht technische Erklärung des Raums von anti de Sitter

Diese nicht technische Erklärung definiert zuerst die im einleitenden Material dieses Zugangs gebrauchten Begriffe. Dann legt es kurz die zu Grunde liegende Idee von einer allgemeinen einer Relativität ähnlichen Raum-Zeit dar. Dann bespricht es, wie Raum von de Sitter eine verschiedene Variante der gewöhnlichen Raum-Zeit der allgemeinen Relativität beschreibt (hat Raum von Minkowski genannt) verbunden mit der kosmologischen Konstante, und wie sich Raum von anti de Sitter vom Raum von de Sitter unterscheidet. Es erklärt auch, dass von Raum von Minkowski, Raum von de Sitter und anti-de Raum von Sitter, in Bezug auf die allgemeine Relativität, alles als fünf dimensionale Versionen der Raum-Zeit gedacht werden kann. Schließlich bietet es einige Verwahrungen an, die allgemein beschreiben, wie diese nicht technische Erklärung scheitert, das volle Detail des Konzepts zu gewinnen, das in der Mathematik gefunden wird.

Fachbegriffe übersetzt

Eine maximal symmetrische Sammelleitung von Lorentzian entspricht einer allgemeinen einer Relativität ähnlichen Raum-Zeit, in der Zeit und Raum in allen Richtungen mathematisch gleichwertig sind.

Eine unveränderliche Skalarkrümmung bedeutet eine allgemeine Relativität das Ernst ähnliche Verbiegen der Raum-Zeit, die eine Krümmung durch eine einzelne Zahl beschreiben ließ, die dasselbe überall in der Raum-Zeit ohne Sache oder Energie ist.

Negative Krümmungsmittel haben sich hyperbolisch gebogen (wie ein Sattel oder Oberfläche einer Trompete-Glocke, aber nicht wie die Oberfläche eines Bereichs, der positive Krümmung hat). Eine negative Krümmung entspricht einer attraktiven Kraft; eine positive Krümmung entspricht einer abstoßenden Kraft.

Der AdS/CFT (Feldtheorie von anti de Sitter space/conformal) Ähnlichkeit ist eine Idee, die ursprünglich von Juan Maldacena gegen Ende 1997 vorgeschlagen ist. Die AdS/CFT Ähnlichkeit ist die Idee, dass es im Allgemeinen möglich ist, eine Kraft in der Quant-Mechanik (wie Elektromagnetismus, die schwache Kraft oder die starke Kraft) in einer bestimmten Anzahl von Dimensionen (zum Beispiel vier) mit einer Schnur-Theorie zu beschreiben, wo die Schnuren in einem Raum von anti de Sitter mit einer zusätzlicher Dimension bestehen.

Eine Quant-Feldtheorie ist eine Reihe von Gleichungen und Regeln, um sie der in der Quant-Mechanik verwendeten Art zu verwenden, um Kräfte (wie Elektromagnetismus, die schwache Kraft und die starke Kraft) in einem Weg zu beschreiben, der nicht mathematisch nicht stabil ist.

Eine conformal Feldtheorie ist grundsätzlich eine Quant-Feldtheorie, die Skala invariant ist. So arbeiten die Gleichungen derselbe Weg, wenn Sie Eingänge mit konsequenten Einheiten in sie stellen, selbst wenn Sie nicht wissen, was die fragliche Einheit zufällig ist. Im Gegensatz, in einer Skala-Variante-Quant-Feldtheorie, würde sich die Kraft auf eine qualitativ verschiedene Weise in kurzen Entfernungen benehmen als in langen Entfernungen.

Die AdS/CFT Ähnlichkeit ist bemerkenswert, weil es nicht offensichtlich ist, dass Quant-Feldtheorien geometrisch vertreten werden können. Quant-Feldtheorien schließen Mengen ein, die, wenn erklärt, Nichtexperten als das Darstellen nicht greifbarer Ideen wie Wahrscheinlichkeiten und mögliche Pfade allgemein beschrieben werden, dass ein Quant nehmen konnte, um von einem Platz bis einen anderen zu kommen. Die Verbindung von Quant-Feldtheorien zu einer physischen geometrischen Beschreibung ist weniger offensichtlich als die Verbindung zwischen den klassischen Gleichungen (d. h. Nichtquant mechanische Beschreibungen des Ernstes und Elektromagnetismus) und Geometrie. Es gibt kein Nichtquant mechanische Gleichungen für die schwache Kernkraft und die starke Kernkraft, die anderen zwei grundsätzlichen Kräfte.

Raum-Zeit in der allgemeinen Relativität

Allgemeine Relativität ist eine Theorie der Natur der Zeit, des Raums und des Ernstes, in dem Ernst eine Krümmung der Zeit und Raums ist, die sich aus der Anwesenheit der Sache oder Energie ergibt. Energie und Sache sind (wie ausgedrückt, in der Gleichung E = mc) gleichwertig, und Zeit und Raum kann in gleichwertige Einheiten übersetzt werden, die auf der Geschwindigkeit des Lichtes (c im E = mc Gleichung) gestützt sind.

Eine allgemeine Analogie schließt die Weise ein, wie ein kurzes Bad in einer flachen Platte von Gummi, der durch einen schweren Gegenstand verursacht ist, der darauf sitzt, den Pfad beeinflusst, der von kleinen Gegenständen genommen ist, die in der Nähe rollen, sie veranlassend, nach innen vom Pfad abzugehen, dem sie gefolgt wären, hatte den schweren gewesenen Gegenstand fehlend. Natürlich, in der allgemeinen Relativität, beeinflussen sowohl die kleinen als auch großen Gegenstände gegenseitig die Krümmung der Raum-Zeit mit dem größeren Gegenstand, der einfach eine größere Wirkung hat als die kleinere.

Die attraktive Kraft des durch die Sache geschaffenen Ernstes ist wegen einer negativen Krümmung der Raum-Zeit, die in der Gummiplatte-Analogie durch das negativ gekrümmte kurze Bad (Trompete-Glocke wie vertreten ist) in der Platte.

Ein Hauptmerkmal der allgemeinen Relativität ist, dass sie Ernst nicht als eine herkömmliche Kraft wie Elektromagnetismus, aber als eine Änderung in der Geometrie der Raum-Zeit beschreibt, die sich aus der Anwesenheit der Sache oder Energie ergibt.

Die Analogie, die oben verwendet ist, beschreibt die Krümmung eines zwei dimensionalen Raums, der durch den Ernst in der allgemeinen Relativität in einem dreidimensionalen Superraum verursacht ist, in dem die dritte Dimension der Wirkung des Ernstes entspricht. Eine geometrische Denkart über die allgemeine Relativität beschreibt die Effekten des Ernstes in der echten Welt vier dimensionaler Raum geometrisch durch die Projektierung, dass der Raum in einen fünf dimensionalen Superraum mit der fünften Dimension entsprechend der Krümmung in der Raum-Zeit, die durch den Ernst und die Ernst ähnlichen Effekten in der allgemeinen Relativität erzeugt wird.

Infolgedessen, in der allgemeinen Relativität, ist die vertraute Newtonische Gleichung des Ernstes (d. h. Schwerkraft-Ziehen zwischen zwei Gegenständen kommt den unveränderlichen Gravitationszeiten das Produkt ihrer Massen gleich, die durch das Quadrat der Entfernung zwischen ihnen geteilt sind), bloß eine Annäherung der Ernst ähnlichen in der allgemeinen Relativität gesehenen Effekten. Jedoch wird diese Annäherung ungenau in äußersten physischen Situationen. Zum Beispiel, in der allgemeinen Relativität, haben Gegenstände in der Bewegung eine ein bisschen verschiedene Schwerkraft-Wirkung als Gegenstände ruhig.

Einige der Unterschiede zwischen der vertrauten Newtonischen Gleichung des Ernstes und den Vorhersagen der allgemeinen Relativität fließen von der Tatsache, dass der Ernst in der allgemeinen Relativität beide Zeit und Raum, nicht nur Raum biegt. In normalen Verhältnissen biegt Ernst Zeit so ein bisschen, dass die Unterschiede zwischen Newtonischem Ernst und allgemeiner Relativität unmöglich sind, ohne wissenschaftliche Instrumente zu entdecken.

de Sitter Space hat von der Raum-Zeit in der allgemeinen Relativität unterschieden

Im Wesentlichen ist das Schlüsselkonzept hinter der Idee vom Raum von de Sitter, dass es eine Schwankung auf der Raum-Zeit der allgemeinen Relativität einschließt, in der Raum-Zeit selbst sogar ohne Sache oder Energie ein bisschen gebogen wird.

Die Beziehung der normalen Idee von der Raum-Zeit, in der allgemeine Relativität zum Raum von de Sitter funktioniert, ist der Beziehung zwischen Geometrie von Euclidian (d. h. in zwei Dimensionen, der Geometrie von flachen Oberflächen) und non-Euclidian Geometrie analog (d. h. in zwei Dimensionen, der Geometrie von Oberflächen, die nicht flach sind).

Eine innewohnende Krümmung der Raum-Zeit sogar ohne Sache oder Energie ist eine andere Denkart über die Idee von der kosmologischen Konstante in der allgemeinen Relativität. Eine innewohnende Krümmung der Raum-Zeit und der kosmologischen Konstante ist auch zur Idee gleichwertig, dass ein Vakuum (d. h. leerer Raum ohne jede Sache oder Energie darin) eine grundsätzliche Energie seines eigenen hat.

In der allgemeinen Analogie eines Gegenstands, der ein kurzes Bad in einem flachen Stoff verursacht, hat normaler Raum von de Sitter eine Krümmung, die einem flachen Stoff analog ist, der oben auf einem Bereich mit einer sehr geringen Krümmung sitzt, weil es so groß ist. Leerer Raum von de Sitter ist ein bisschen abstoßend; es hat eine geringe natürliche Krümmung in der entgegengesetzten Richtung der Krümmung in der durch einen massiven Gegenstand geschaffenen Raum-Zeit. Es ist eine Weise zu sagen, dass Ernst vor dem Hintergrund eines leeren ein bisschen Antigravitationsraums erschöpft.

Normaler Raum von de Sitter entspricht der positiven kosmologischen Konstante, die in Wirklichkeit mit der Größe der kosmologischen Konstante beobachtet wird, die zur Krümmung des Raums von de Sitter gleichwertig ist.

von

Raum von de Sitter kann auch als eine allgemeine einer Relativität ähnliche Raum-Zeit gedacht werden, in der leerer Raum selbst eine Energie hat, die diese Raum-Zeit (d. h. das Weltall) veranlasst, sich an einer jemals größeren Rate auszubreiten.

Raum von anti de Sitter hat vom Raum von de Sitter unterschieden

Ein Raum von anti de Sitter ist im Gegensatz eine allgemeine einer Relativität ähnliche Raum-Zeit, wo ohne Sache oder Energie die Krümmung der Raum-Zeit natürlich hyperbolisch ist.

In der allgemeinen Analogie eines Gegenstands, der ein kurzes Bad in einem flachen Stoff verursacht, hat Raum von anti de Sitter eine Krümmung, die einem flachen Stoff analog ist, der innerhalb eines Bereichs mit einer sehr geringen Krümmung sitzt, weil es so groß ist. Das würde einer negativen kosmologischen Konstante (etwas entsprechen, das nicht im echten Leben Weltall beobachtet ist). Von Raum von Anti de Sitter kann auch als eine allgemeine Relativität wie Raum-Zeit gedacht werden, in der leerer Raum selbst negative Energie hat, die diese Raum-Zeit (d. h. das Weltall) veranlasst, in auf sich an einer jemals größeren Rate zusammenzubrechen.

In einem Raum von anti de Sitter, als in einem Raum von de Sitter, entspricht das Ausmaß der innewohnenden Raum-Zeit-Krümmung dem Umfang der negativen kosmologischen Konstante, zu der es gleichwertig ist.

Raum von de Sitter und Raum von anti de Sitter als fünf dimensionale Geometrie

Wie bemerkt, oben beschreibt die Analogie, die oben verwendet ist, Krümmung eines zwei dimensionalen Raums, der durch den Ernst in der allgemeinen Relativität in einem dreidimensionalen Superraum verursacht ist, in dem die dritte Dimension der Wirkung des Ernstes entspricht. Mehr allgemein beschreibt eine geometrische Annäherung an die allgemeine Relativität die Wirkung des Ernstes als eine Krümmung der vier Dimensionen der Raum-Zeit in einer fünften Dimension, die Ernst und Ernst ähnlichen Effekten in der allgemeinen Relativität entspricht. Wenn dieser fünf dimensionale Superraum eine Version der allgemeinen Relativität ohne eine kosmologische Konstante beschreibt, wird es Raum von Minkowski genannt.

Die Konzepte des Raums von de Sitter und Raums von anti de Sitter beschreiben die Effekten der kosmologischen Konstante in der echten Welt vier dimensionaler Raum geometrisch durch die Projektierung, dass der Raum in einen fünf dimensionalen Superraum mit der fünften Dimension entsprechend der Krümmung im Zeitraum, der durch den Ernst und die Ernst ähnlichen Effekten in der allgemeinen Relativität wie die kosmologische Konstante erzeugt wird.

Während Raum von anti de Sitter Ernst in der allgemeinen Relativität mit der beobachteten kosmologischen Konstante nicht entspricht, wie man glaubt, entspricht ein Raum von anti de Sitter anderen Kräften in der Quant-Mechanik (wie Elektromagnetismus, die schwache Kernkraft und die starke Kernkraft) beschrieben über die Schnur-Theorie. Das wird die AdS/CFT Ähnlichkeit genannt.

Bemerken Sie auch, dass, während ein Raum von anti de Sitter allgemeine Relativität mit einer negativen kosmologischen Konstante in fünf Dimensionen (vier für die Raum-Zeit und ein für die Wirkung der kosmologischen Konstante) beschreiben würde, die Idee wirklich allgemeiner ist. Man kann einen Raum von anti de Sitter (oder einen Raum von de Sitter) in einer beliebigen Zahl von Dimensionen haben. Die Allgemeinheit der Konzepte des Raums von de Sitter und Raums von anti de Sitter macht sie nützlich in der theoretischen Physik besonders in der Schnur-Theorie, die häufig eine Welt mit mehr als vier Dimensionen annehmen.

Verwahrungen

Natürlich, wie der Rest dieses Artikels im technischen Detail erklärt, haben die in dieser nicht technischen Erklärung des Raums von anti de Sitter beschriebenen Gesamtkonzepte eine viel strengere und genaue mathematische und physische Beschreibung. Leuten wird schlecht dem Vergegenwärtigen von Dingen in fünf oder mehr Dimensionen angepasst, aber mathematische Gleichungen werden nicht ähnlich herausgefordert und können fünf dimensionale Konzepte in einem Weg genauso passend vertreten wie die Methoden dass mathematischer Gleichungsgebrauch, um leichter zu beschreiben, sich drei und vier dimensionale Konzepte zu vergegenwärtigen.

Es gibt eine besonders wichtige Implikation der genaueren mathematischen Beschreibung, die sich von der gestützten heuristischen Beschreibung der Analogie des Raums von de Sitter und Raums von anti de Sitter oben unterscheidet. Die mathematische Beschreibung des Raums von anti de Sitter verallgemeinert die Idee von der Krümmung. In der mathematischen Beschreibung ist Krümmung ein Eigentum eines besonderen Punkts und kann von einer unsichtbaren Oberfläche das zu der gebogene Punkte in der Raum-Zeit meld selbst geschieden werden. Also, zum Beispiel können Konzepte wie Eigenartigkeiten (am weitesten bekannt, von denen in der allgemeinen Relativität das schwarze Loch ist), der völlig in einer echten Weltgeometrie nicht ausgedrückt werden kann, besonderen Staaten einer mathematischen Gleichung entsprechen.

Die volle mathematische Beschreibung gewinnt auch einige feine Unterscheidungen, die in der allgemeinen Relativität zwischen raumähnlichen Dimensionen und zeitähnlichen Dimensionen gemacht sind.

Definition und Eigenschaften

Viel, da elliptische und hyperbolische Räume durch ein isometrisches Einbetten in einem flachen Raum einer höherer Dimension vergegenwärtigt werden können (als der Bereich und Pseudobereich beziehungsweise), kann Raum von anti de Sitter als die Entsprechung von Lorentzian eines Bereichs in einem Raum einer zusätzlicher Dimension vergegenwärtigt werden. Einem Physiker ist die Extradimension zeitmäßig, während einem Mathematiker es negativ ist; in diesem Artikel nehmen wir die Tagung an, dass Zeitmäßigdimensionen negativ sind, so dass diese Begriffe zusammenfallen.

Der Raum von anti de Sitter der Unterschrift (p, q) kann dann im Raum mit Koordinaten (x..., x, t..., t) und der pseudometrische isometrisch eingebettet werden

:

als der Bereich

:

wo eine Nichtnullkonstante mit Dimensionen der Länge (der Radius der Krümmung) ist. Bemerken Sie, dass das ein Bereich im Sinn ist, dass es eine Sammlung von Punkten in der unveränderlichen metrischen Entfernung vom Ursprung ist, aber visuell ist es ein hyperboloid, als im gezeigten Image.

Das metrische auf dem Raum von anti de Sitter ist das vom umgebenden metrischen veranlasste metrische. Man kann überprüfen, dass das veranlasste metrische nichtdegeneriert ist und Unterschrift von Lorentzian hat.

Wenn q = 0, dieser Aufbau gewöhnlichen Hyperbelraum gibt. Der Rest der Diskussion gilt wenn q  1.

Geschlossene Zeitmäßigkurven und der universale Deckel

Als q  1, das Einbetten oben Zeitmäßigkurven geschlossen hat; zum Beispiel ist der Pfad, der durch und ganze andere Koordinatennull parametrisiert ist, solch eine Kurve. Wenn q  2 diese Kurven zur Geometrie innewohnend sind (unüberraschend, weil jeder Raum mit mehr als einer zeitlicher Dimension geschlossene Zeitmäßigkurven enthalten wird), aber wenn q = 1, sie beseitigt werden können, indem sie zum universalen Bedeckungsraum effektiv gehen, das Einbetten "entrollend". Eine ähnliche Situation kommt mit dem Pseudobereich vor, der sich ringsherum auf sich lockt, obwohl das Hyperbelflugzeug nicht tut; infolgedessen enthält es sich selbstschneidende Geraden (geodesics), während das Hyperbelflugzeug nicht tut. Einige Autoren definieren Raum von anti de Sitter als gleichwertig zum eingebetteten Bereich selbst, während andere es als gleichwertig zum universalen Deckel des Einbettens definieren. Allgemein ist die letzte Definition ein von Interesse in der Physik.

Symmetries

Wenn der universale Deckel nicht genommen wird, (p, q), hat Raum von anti de Sitter O (p, q+1) als seine Isometrie-Gruppe. Wenn der universale Deckel genommen wird, ist die Isometrie-Gruppe ein Deckel von O (p, q+1).

Koordinatenflecke

Ein Koordinatenfleck, der einen Teil des Raums bedeckt, gibt den Halbraum coordinatization vom Raum von anti de Sitter. Das metrische für diesen Fleck ist

:

Wir sehen leicht, dass das metrisch conformally Entsprechung zu einem flachen Halbraum Raum-Zeit von Minkowski ist.

Die unveränderlichen Zeitabschnitte dieses Koordinatenflecks sind Hyperbelräume im metrischen Halbflugzeug von Poincaré. In der Grenze als y = 0 nimmt dieser metrische Halbraum einem metrischen Minkowski ab; so enthält der anti-de Sitzender-Raum einen conformal Raum von Minkowski an der Unendlichkeit ("Unendlichkeit", die Y-Koordinatennull in diesem Fleck hat).

In AdS ist Raumzeit periodisch, und der universale Deckel hat nichtperiodische Zeit. Der Koordinatenfleck über Deckel Hälfte einer einzelnen Periode der Raum-Zeit.

Weil die conformal Unendlichkeit von AdS zeitmäßig ist, angebend, dass die anfänglichen Daten auf einer Raummäßighyperoberfläche die zukünftige Evolution einzigartig nicht bestimmen würden (d. h. deterministisch), wenn es mit der conformal Unendlichkeit vereinigte Grenzbedingungen nicht gibt.

Ein anderes allgemein verwendetes Koordinatensystem, das den kompletten Raum bedeckt, wird durch die Koordinaten t und die Hyperpolarkoordinaten α, θ und φ gegeben.

:

Das Image vertritt rechts das "Halbraum"-Gebiet von anti deSitter Raum und seine Grenze. Das Interieur des Zylinders entspricht anti-de Sitzender-Raum-Zeit, während seine zylindrische Grenze seiner conformal Grenze entspricht. Das grüne beschattete Gebiet im Interieur entspricht dem Gebiet von durch die Halbraumkoordinaten bedecktem AdS, und es wird durch zwei ungültige auch bekannt als lichtmäßige, geodätische Hyperflugzeuge begrenzt; das grüne beschattete Gebiet auf der Oberfläche entspricht dem Gebiet des conformal durch den Raum von Minkowski bedeckten Raums.

Das grüne beschattete Gebiet bedeckt Hälfte des Raums von AdS und Hälfte der conformal Raum-Zeit; die linken Enden der grünen Scheiben werden sich auf dieselbe Mode berühren, wie das Recht endet.

Anti de Sitter als homogener und symmetrischer Raum

Ebenso, dass der Bereich, anti de Sitter mit der Gleichheit auch bekannt als reflectional Symmetrie und Zeitumkehrungssymmetrie als ein Quotient von zwei Gruppen gesehen werden können

wohingegen AdS ohne P oder C als gesehen werden kann

Diese Quotient-Formulierung gibt einer homogenen Raumstruktur. Die Lüge-Algebra dessen wird durch matrices gegeben

:

\mathcal {H} = \begin {pmatrix }\

\begin {Matrix-}\

0&0 \\

0&0

\end {Matrix-}\

& \begin {pmatrix }\

\cdots 0\cdots \\

\leftarrow v^t\rightarrow

\end {pmatrix }\\\

\begin {pmatrix }\

\vdots & \uparrow \\

0 & v \\

\vdots & \downarrow

\end {pmatrix} & B

\end {pmatrix }\

</Mathematik>,

wo ein Verdrehen - symmetrische Matrix ist. Ein ergänzender in der Lüge-Algebra dessen ist

:

\mathcal {Q} =

\begin {pmatrix }\

\begin {Matrix-}\

0&a \\

-a&0 \end {Matrix-}\

& \begin {pmatrix }\

\leftarrow w^t\rightarrow \\

\cdots 0\cdots \\

\end {pmatrix }\\\ \begin {pmatrix }\

\uparrow & \vdots \\

w & 0 \\

\downarrow & \vdots

\end {pmatrix} & 0

\end {pmatrix}.

</Mathematik>

Diese zwei erfüllen. Dann zeigt ausführliche Matrixberechnung dem

. So ist anti de Sitter ein reduktiver

homogener Raum und ein non-Riemannian symmetrischer Raum.

• Bengtsson, Ingemar: Anti-de Sitzender-Raum. Vortrag-Zeichen.
• Ellis, G. F. R.; Falknerei, S. W. Die in großem Umfang Struktur der Raum-Zeit. Universitätspresse von Cambridge (1973). (sieh Seiten 131-134).
• Frances, C: Die conformal Grenze von anti-de Sitzender-Raumzeiten. AdS/CFT Ähnlichkeit: Metrik von Einstein und ihre conformal Grenzen, 205 - 216, IRMA Lect. Mathematik. Theor. Phys. 8, Eur. Mathematik. Soc. Zürich, 2005.
• Matsuda, H. Ein Zeichen auf einem isometrischen Einbetten des oberen Halbraums in den Raum von anti de Sitter. Hokkaido Mathematische Zeitschrift Vol.13 (1984) p. 123-132.
• Wolf, Joseph A. Spaces von unveränderlicher Krümmung. (1967) p. 334.