In der Mathematik ist eine Nullmenge ein Satz, der in einem Sinn unwesentlich ist. Für verschiedene Anwendungen ändert sich die Bedeutung von "unwesentlichen". In der Maß-Theorie wird jeder Satz des Maßes 0 eine Nullmenge (oder einfach ein mit dem Maßnullsatz) genannt. Mehr allgemein, wann auch immer ein Ideal, wie verstanden, genommen wird, dann ist eine Nullmenge jedes Element dieses Ideales.

In einigen elementaren Lehrbüchern wird Nullmenge gebracht, um leeren Satz zu bedeuten.

Der Rest dieses Artikels bespricht den mit dem Maß theoretischen Begriff.

Definition

Lassen Sie X ein messbarer Raum sein, μ ein Maß auf X sein lassen, und N eine messbare Menge in X sein lassen.

Wenn μ ein positives Maß ist, dann ist N ungültig (oder Nullmaß), wenn sein Maß μ (N) Null ist.

Wenn μ nicht ein positives Maß ist, dann ist N μ-null, wenn N | μ |-null ist, wo | μ | die Gesamtschwankung von μ ist; gleichwertig, wenn jede messbare Teilmenge N μ (A) = 0 befriedigt. Für positive Maßnahmen ist das zur Definition gleichwertig, die oben gegeben ist; aber für unterzeichnete Maßnahmen ist das stärker als einfacher Ausspruch dass μ (N) = 0.

Eine nichtmessbare Menge wird ungültig betrachtet, wenn es eine Teilmenge einer ungültigen messbaren Menge ist.

Einige Verweisungen verlangen, dass eine Nullmenge messbar ist; jedoch sind Teilmengen von Nullmengen noch zu mit dem Maß theoretischen Zwecken unwesentlich.

man über Nullmengen im Euklidischen N-Raum R spricht, wird es gewöhnlich verstanden, dass das Maß, das wird verwendet, Maß von Lebesgue ist.

Eigenschaften

Der leere Satz ist immer eine Nullmenge.

Mehr allgemein ist jede zählbare Vereinigung von Nullmengen ungültig.

Jede messbare Teilmenge einer Nullmenge ist selbst eine Nullmenge.

Zusammen zeigen diese Tatsachen, dass die M Nullmengen X ein Sigma-Ideal auf X bildet.

Ähnlich bildet die messbare M Nullmengen ein Sigma-Ideal der Sigma-Algebra von messbaren Mengen.

So können Nullmengen als unwesentliche Sätze interpretiert werden, einen Begriff fast überall definierend.

Maß von Lebesgue

Das Lebesgue-Maß ist die Standardweise, eine Länge, Gebiet oder Volumen zu Teilmengen des Euklidischen Raums zuzuteilen.

Eine Teilmenge N R lässt ungültigen Lebesgue messen und wird betrachtet, eine Nullmenge in R wenn und nur wenn zu sein:

: In Anbetracht jeder positiven Zahl ε gibt es eine Folge {ich} von solchen Zwischenräumen, dass N in der Vereinigung von mir enthalten wird und die Gesamtlänge von mir weniger ist als ε.

Diese Bedingung kann zu R mit N-Würfeln statt Zwischenräume verallgemeinert werden.

Tatsächlich kann die Idee gemacht werden, Sinn auf jeder topologischen Sammelleitung zu haben, selbst wenn es kein Maß von Lebesgue dort gibt.

Zum Beispiel:

• In Bezug auf R sind alle 1-Punkt-Sätze ungültig, und deshalb sind alle zählbaren Sätze ungültig. Insbesondere der Satz Q rationaler Zahlen ist eine Nullmenge, trotz, dicht in R zu sein.
• Der Kantor ist untergegangen ist ein Beispiel eines ungültigen unzählbaren Satzes in R.
• Alle Teilmengen von R, dessen Dimension kleiner ist als n, lassen ungültigen Lebesgue in R messen. Zum Beispiel sind Geraden oder Kreise Nullmengen in R.
• Das Lemma von Sard: Der Satz von kritischen Werten einer glatten Funktion hat Maß-Null.

Gebrauch

Nullmengen spielen eine Schlüsselrolle in der Definition von integriertem Lebesgue: Wenn Funktionen f und g außer auf einer Nullmenge gleich sind, dann ist f integrable, wenn, und nur wenn g, und ihre Integrale ist, gleich sind.

Ein Maß, in dem alle Teilmengen von Nullmengen messbar sind, ist abgeschlossen.

Jedes nichtganze Maß kann vollendet werden, um ein ganzes Maß durch das Erklären zu bilden, dass Teilmengen von Nullmengen Maß-Null haben.

Maß von Lebesgue ist ein Beispiel eines ganzen Maßes; in einigen Aufbauten wird es als die Vollziehung eines nichtganzen Maßes von Borel definiert.

Eine Teilmenge des Kantoren ist untergegangen, der nicht messbarer Borel ist

Das Maß von Borel ist nicht abgeschlossen. Ein einfacher Aufbau soll mit dem Standardkantor-Satz anfangen, der folglich Borel messbar geschlossen wird, und der Maß-Null hat, und eine Teilmenge zu finden, deren nicht messbarer Borel ist. (Da das Maß von Lebesgue abgeschlossen ist, ist das natürlich messbarer Lebesgue.)

Erstens müssen wir wissen, dass jeder Satz des positiven Maßes eine nichtmessbare Teilmenge enthält. Lassen Sie, die Kantor-Funktion, eine dauernde Funktion zu sein, die auf, und monotonically lokal unveränderlich ist, der auf dem Einheitszwischenraum, mit zunimmt und. Offensichtlich, ist zählbar, da es einen Punkt pro Bestandteil dessen enthält. Folglich hat Maß-Null, Maß ein auch. Wir brauchen eine ausschließlich monotonische Funktion, ziehen so in Betracht. Seitdem ist ausschließlich monotonisch und dauernd, es ist ein homeomorphism. Außerdem, hat Maß ein. Lassen Sie, nichtmessbar zu sein, und zu lassen. Weil injective ist, haben wir das, und eine Nullmenge auch. Jedoch, wenn es Borel messbar war, auch dann messbarer Borel sein würde (hier, verwenden wir die Tatsache, dass das Vorimage eines durch eine dauernde Funktion gesetzten Borels messbar ist; ist das Vorimage durch die dauernde Funktion.) Deshalb, ist eine Null, aber messbare Menge von non-Borel.

Siehe auch

• Kantor-Funktion
• Maß (Mathematik)
• Leerer Satz