In der Logik ist die gegenteilige von einer kategorischen oder implicational Behauptung das Ergebnis, seine zwei Teile umzukehren. Für die Implikation P → Q ist das gegenteilige Q → P. Für den kategorischen Vorschlag ist der Ganze S P, das gegenteilige ist der Ganze P ist S. In keinem Fall tut das gegenteilige notwendigerweise folgen aus der ursprünglichen Behauptung. Der kategorischen gegenteiligen von einer Behauptung wird mit dem contrapositive und dem Revers gegenübergestellt.

Gegenteiliger Implicational

Wenn S eine Behauptung der Form P ist, bezieht Q ein (P → Q) dann ist der gegenteilige von S die Behauptung Q bezieht P ein (Q → P). Im Allgemeinen sagt die Wahrheit von S nichts über die Wahrheit seines gegenteiligen, wenn das vorangegangene Ereignis P und der folgende Q nicht logisch gleichwertig sind.

Denken Sie zum Beispiel die wahre Behauptung, "Wenn ich ein Mensch bin, dann bin ich sterblich." Die gegenteilige von dieser Behauptung ist, "Wenn ich sterblich bin, dann bin ich ein Mensch," der nicht notwendigerweise wahr ist.

Andererseits bleibt die gegenteilige von einer Behauptung mit gegenseitig einschließlichen Begriffen wahr in Anbetracht der Wahrheit des ursprünglichen Vorschlags. So die Behauptung, "Wenn ich ein Junggeselle dann bin, bin ich ein unverheirateter Mann" ist zu logisch gleichwertig, "Wenn ich ein unverheirateter Mann bin, dann bin ich ein Junggeselle."

Eine Wahrheitstabelle macht verständlich, dass S und der gegenteilige von S nicht logisch gleichwertig sind, wenn beide Begriffe einander nicht einbeziehen:

Das Gehen von einer Behauptung bis sein gegenteiliges ist der Scheinbeweis, die Folgerung zu versichern. Jedoch, wenn die Behauptung S und sein gegenteiliges gleichwertig sind (d. h. wenn P wahr ist, wenn, und nur wenn Q auch wahr ist), dann wird das Bestätigen der Folgerung gültig sein.

Sprechen Sie von einem Lehrsatz

In der Mathematik, dem gegenteiligen von einem Lehrsatz der Form P → Q wird Q &rarr sein; P. Das gegenteilige kann oder kann nicht wahr sein. Wenn wahr, kann der Beweis schwierig sein. Zum Beispiel wurde der Vier-Scheitelpunkte-Lehrsatz 1912, aber sein gegenteiliges nur 1998 bewiesen.

In der Praxis, wenn man den gegenteiligen von einem mathematischen Lehrsatz bestimmt, können Aspekte des vorangegangenen Ereignisses als das Herstellen des Zusammenhangs genommen werden. D. h. der gegenteilige von Gegebenem P, wenn Q dann R P, wenn R dann Q Gegeben wird. Zum Beispiel kann der Pythagoreische Lehrsatz als festgesetzt werden:

In Anbetracht eines Dreiecks mit Seiten der Länge a, b, und c, wenn der Winkel gegenüber der Seite der Länge c ein richtiger Winkel, dann + b = c ist.

Das gegenteilige, das auch in den Elementen von Euklid (Buch I, Vorschlag 48) erscheint, kann als festgesetzt werden:

In Anbetracht eines Dreiecks mit Seiten der Länge a, b, und c, wenn + b = c, dann ist der Winkel gegenüber der Seite der Länge c ein richtiger Winkel.

Kategorisch gegenteilig

In der traditionellen Logik ist der Prozess des Gehens vom Ganzen S P zu seinem gegenteiligen der Ganze P ist S wird Konvertierung genannt. In den Wörtern von Asa Mahan, "Wird der ursprüngliche Vorschlag den exposita genannt; wenn umgewandelt, wird es das gegenteilige bezeichnet. Konvertierung ist gültig, wenn, und nur wenn nichts im gegenteiligen behauptet wird, das nicht versichert oder im exposita einbezogen wird." Der "exposita" wird mehr gewöhnlich den "convertend" genannt. In seiner einfachen Form ist Konvertierung nur für E und mich Vorschläge gültig:

Die Gültigkeit der einfachen Konvertierung nur für E und mich Vorschläge können durch die Beschränkung ausgedrückt werden, dass "Kein Begriff im gegenteiligen verteilt werden muss, das im convertend nicht verteilt wird." Für E Vorschläge werden beides Thema und Prädikat verteilt, während, weil ich einen Vorschlag mache, keiner ist.

Für Vorschläge wird das Thema verteilt, während das Prädikat nicht ist, und so ist die Schlussfolgerung von Eine Behauptung zu seinem gegenteiligen nicht gültig. Als ein Beispiel für ist Ein Vorschlag "Alle Katzen Säugetiere," sind die gegenteiligen "Alle Säugetiere Katzen", ist offensichtlich falsch. Jedoch ist die schwächere Behauptung "Einige Säugetiere Katzen" ist wahr. Logiker definieren Konvertierung pro accidens, um der Prozess zu sein, diese schwächere Behauptung zu erzeugen. Die Schlussfolgerung von einer Behauptung bis sein gegenteiliges pro accidens ist allgemein gültig. Jedoch, als mit Syllogismen, diesem Schalter vom universalen bis die besonderen Ursache-Probleme mit leeren Kategorien: "Alle Einhörner sind Säugetiere" wird häufig als wahr genommen, während die gegenteiligen pro accidens "Einige Säugetiere Einhörner sind", ist klar falsch.

In der Prädikat-Rechnung der ersten Ordnung ist der Ganze S P kann als vertreten werden. Es ist deshalb klar, dass das kategorische gegenteilige nah mit dem implicational gegenteilig verbunden ist, und dass S und P im Ganzen S nicht getauscht werden können, ist P.

Siehe auch

• Aristoteles
• Philosophische Gegenüberstellung
• Schlussfolgerung
• Obversion
• Syllogismus
• Verwandtschaftsentgegengesetztkeit
• Nennen Sie Logik
• Umstellung (Logik)
• Umgekehrte (Logik)

Weiterführende Literatur

• Aristoteles. Organon.
• Copi, Irving. Einführung in die Logik. MacMillan, 1953.
• Copi, Irving. Symbolische Logik. MacMillan, 1979, die fünfte Ausgabe.
• Stebbing, Susan. Eine Moderne Einführung in die Logik. Cromwell Company, 1931.