In der Differenzialgeometrie vertritt der Krümmungstensor von Ricci, genannt nach Gregorio Ricci-Curbastro, den Betrag, durch den das Volumen-Element eines geodätischen Balls in einer gekrümmten Sammelleitung von Riemannian von diesem des Standardballs im Euklidischen Raum abgeht. Als solcher stellt es eine Weise zur Verfügung, den Grad zu messen, zu dem sich die Geometrie, die von gegebenem metrischem Riemannian bestimmt ist, von diesem des gewöhnlichen Euklidischen N-Raums unterscheiden könnte. Der Ricci Tensor wird auf jeder Pseudo-Riemannian-Sammelleitung als eine Spur des Krümmungstensor von Riemann definiert. Wie das metrische selbst ist der Tensor von Ricci eine symmetrische bilineare Form auf dem Tangente-Raum der Sammelleitung.

In der Relativitätstheorie ist der Tensor von Ricci der Teil der Krümmung der Raum-Zeit, die den Grad bestimmt, zu dem Sache dazu neigen wird, zusammenzulaufen oder rechtzeitig (über die Gleichung von Raychaudhuri) abzuweichen. Es ist mit dem Sache-Inhalt des Weltalls mittels der Feldgleichung von Einstein verbunden. In der Differenzialgeometrie erlauben niedrigere Grenzen auf dem Tensor von Ricci auf einer Sammelleitung von Riemannian, globale geometrische und topologische Information vergleichsweise (vgl Vergleich-Lehrsatz) mit der Geometrie einer unveränderlichen Krümmungsraumform herauszuziehen. Wenn der Tensor von Ricci das Vakuum Gleichung von Einstein befriedigt, dann ist die Sammelleitung eine Sammelleitung von Einstein, die (vgl) umfassend studiert worden sind.. In dieser Verbindung regelt die Strömungsgleichung von Ricci die Evolution eines gegebenen metrischen einem metrischen Einstein, die genaue Weise, auf die das schließlich vorkommt, führt zur Lösung der Vermutung von Poincaré.

Definition

Nehmen Sie an, dass das eine n-dimensional Sammelleitung von Riemannian ist, die mit seiner Verbindung von Levi-Civita ausgestattet ist. Der Riemannian Krümmungstensor dessen ist der durch definierte Tensor

:

auf Vektorfeldern. Lassen Sie zeigen den Tangente-Raum der M an einem Punkt p an. Für jedes Paar von Tangente-Vektoren an p wird der Tensor von Ricci, der daran bewertet ist, definiert, um die Spur der geradlinigen durch gegebenen Karte zu sein

:

In lokalen Koordinaten (die Summierungstagung von Einstein verwendend), hat man

:

wo

:

In Bezug auf den Krümmungstensor von Riemann und die Symbole von Christoffel hat man

:

R_ {\\alpha\beta} = {R^\\rho} _ {\\alpha\rho\beta} =

\partial_ {\\rho} {\\Gamma^\\rho_ {\\beta\alpha}} - \partial_ {\\Beta }\\Gamma^\\rho_ {\\rho\alpha }\

+ \Gamma^\\rho_ {\\rho\lambda} \Gamma^\\lambda_ {\\beta\alpha }\

- \Gamma^\\rho_ {\\beta\lambda }\\Gamma^\\lambda_ {\\rho\alpha }\

2 \Gamma^ {\\rho} _ +

2 \Gamma^\\rho_ {\\Lambda [\rho} \Gamma^\\lambda_ {\\Beta] \alpha }\

. </Mathematik>

Eigenschaften

Demzufolge der Identität von Bianchi, der Tensor von Ricci

Riemannian ist Sammelleitung, im Sinn das symmetrisch

:

Es folgt so dem der Tensor von Ricci wird durch das Wissen der Menge völlig bestimmt

für alle Vektoren der Einheitslänge. Diese Funktion auf dem Satz von Einheitstangente-Vektoren wird häufig einfach genannt

die Krümmung von Ricci, seit dem Wissen davon ist zum Wissen des Krümmungstensor von Ricci gleichwertig.

Die Ricci Krümmung wird durch die Schnittkrümmungen einer Sammelleitung von Riemannian bestimmt, aber enthält allgemein weniger Information. Tatsächlich, wenn ein Vektor der Einheitslänge auf einer N-Sammelleitung von Riemannian ist, dann ist Ric (ξ,ξ) genau (n1) Zeiten der durchschnittliche Wert der Schnittkrümmung, übernommen der ganze 2-Flugzeuge-, der enthält. Es gibt (n&minus;2) - die dimensionale Familie solcher 2 Flugzeuge, und so nur in Dimensionen 2 und 3 tut den Tensor von Ricci bestimmen den vollen Krümmungstensor. Eine bemerkenswerte Ausnahme ist, wenn die Sammelleitung a priori als eine Hyperoberfläche des Euklidischen Raums gegeben wird. Die zweite grundsätzliche Form, die die volle Krümmung über die Gleichung von Gauss-Codazzi bestimmt, wird selbst durch den Tensor von Ricci bestimmt, und die Hauptrichtungen der Hyperoberfläche sind auch der eigendirections des Tensor von Ricci. Der Tensor wurde von Ricci aus diesem Grund eingeführt.

Wenn, wie man sagt, die Krümmungsfunktion von Ricci Ric (ξ,ξ) ist auf dem Satz von Einheitstangente-Vektoren ξ, die Sammelleitung von Riemannian unveränderlich, unveränderliche Krümmung von Ricci hat, oder eine Sammelleitung von Einstein ist. Das geschieht, wenn, und nur wenn der Tensor von Ricci Ric ein unveränderliches Vielfache des metrischen Tensor g ist.

Von der Ricci Krümmung wird als ein Vielfache von Laplacian des metrischen Tensor nützlich gedacht. Spezifisch, wenn x harmonische lokale Koordinaten, dann sind

:

wo Δ der Laplace-Beltrami Maschinenbediener betrachtet hier als das Folgen den Funktionen g ist. Diese Tatsache, motiviert zum Beispiel, die Einführung der Strömungsgleichung von Ricci als eine natürliche Erweiterung der Hitzegleichung für das metrische. Wechselweise, in einem normalen Koordinatensystem, das an p, am Punkt p gestützt ist

:

Direkte geometrische Bedeutung

In der Nähe von jedem Punkt p in einer Sammelleitung von Riemannian (M, g), ein

kann bevorzugten lokalen definieren

Koordinaten, genannt geodätische normale Koordinaten. Diese werden angepasst

zum metrischen solchem, dass geodesics durch p Geraden durch den Ursprung, entspricht

auf solcher Art und Weise, dass die geodätische Entfernung von p der Euklidischen Entfernung vom Ursprung entspricht.

In diesen Koordinaten wird der metrische Tensor durch das Euklidische metrische, im genauen Sinn das gut näher gekommen

:

Tatsächlich, indem man die Vergrößerung von Taylor des metrischen nimmt, das auf ein Feld von Jacobi entlang einem radialen geodätischen im normalen Koordinatensystem, angewandt ist, hat man

:

In diesen Koordinaten hat das metrische Volumen-Element dann die folgende Vergrößerung an p:

:

der durch die Erweiterung der Quadratwurzel der Determinante des metrischen folgt.

So, wenn die Krümmung von Ricci Ric (ξ,ξ) in der Richtung auf einen Vektoren ξ, positiv

ist

das konische Gebiet in der M hat durch eine dicht eingestellte Familie von gekehrt

kurze geodätische Segmente, die von p mit der anfänglichen Geschwindigkeit innerhalb eines kleinen Kegels um ξ\ausgehen

wird kleineres Volumen haben als das entsprechende konische Gebiet im Euklidischen Raum, gerade als die Oberfläche eines kleinen kugelförmigen Keils kleineres Gebiet hat als ein entsprechender kreisförmiger Sektor. Ähnlich, wenn die Krümmung von Ricci in der Richtung auf einen gegebenen Vektoren ξ negativ ist, wird solch ein konisches Gebiet in der Sammelleitung stattdessen größeres Volumen haben, als es im Euklidischen Raum würde.

Die Ricci Krümmung ist im Wesentlichen ein Durchschnitt von Krümmungen in den Flugzeugen einschließlich ξ. So, wenn ein Kegel, der mit am Anfang ausgestrahlt ist, kreisförmigem (oder kugelförmig) Querschnitt verdreht in eine Ellipse (Ellipsoid) wird, ist es für die Volumen-Verzerrung möglich zu verschwinden, wenn die Verzerrungen entlang den Hauptäxten einander entgegenwirken. Die Ricci Krümmung würde dann entlang ξ verschwinden. In physischen Anwendungen zeigt die Anwesenheit einer nichtverschwindenden Schnittkrümmung die Anwesenheit keiner Masse lokal notwendigerweise an; wenn ein am Anfang kreisförmiger Querschnitt durch einen Kegel von Weltlinien später elliptisch wird, ohne sein Volumen zu ändern, dann ist das wegen Gezeiteneffekten von einer Masse an einer anderen Position.

Anwendungen

Krümmung von Ricci spielt eine wichtige Rolle in der allgemeinen Relativität, wo es der Schlüsselbegriff in den Feldgleichungen von Einstein ist.

Krümmung von Ricci erscheint auch in der Strömungsgleichung von Ricci, wo zeitabhängiger Riemannian

metrisch wird in der Richtung auf minus seine Krümmung von Ricci deformiert. Dieses System von teilweisen Differenzialgleichungen ist ein nichtlineares Analogon der Hitzegleichung, und war der erste

eingeführt von Richard Hamilton am Anfang der 1980er Jahre. Da Hitze dazu neigt, sich durch einen Festkörper auszubreiten, bis der Körper einen Gleichgewicht-Staat der unveränderlichen Temperatur erreicht, kann Fluss von Ricci gehofft werden, um eine Gleichgewicht-Geometrie für eine Sammelleitung zu erzeugen, für die die Krümmung von Ricci unveränderlich ist. Neue Beiträge zum Thema wegen Grigori Perelmans zeigen jetzt, dass dieses Programm ganz gut in der Dimension drei arbeitet, um zu einer ganzen Klassifikation von kompakten 3 Sammelleitungen, entlang Linien zu führen

zuerst vermutet von William Thurston in den 1970er Jahren.

Auf einer Sammelleitung von Kähler bestimmt die Krümmung von Ricci die erste Klasse von Chern

der Sammelleitung (mod Verdrehung). Jedoch hat die Krümmung von Ricci keine analoge topologische Interpretation

auf einer allgemeinen Sammelleitung von Riemannian.

Globale Geometrie und Topologie

Hier ist eine kurze Liste von globalen Ergebnissen bezüglich Sammelleitungen mit der positiven Krümmung von Ricci; sieh auch klassische Lehrsätze der Geometrie von Riemannian. Kurz hat die positive Krümmung von Ricci einer Sammelleitung von Riemannian starke topologische Folgen, während (für die Dimension mindestens 3) negative Krümmung von Ricci keine topologischen Implikationen hat. (Wie man sagt, ist die Ricci Krümmung positiv, wenn die Krümmungsfunktion von Ricci Ric (ξ,ξ) auf dem Satz von Nichtnulltangente-Vektoren ξ positiv ist.) Einige Ergebnisse sind auch für Pseudo-Riemannian-Sammelleitungen bekannt.

1. Der Lehrsatz von Myers stellt dass fest, wenn die Krümmung von Ricci von unten auf einer ganzen Sammelleitung von Riemannian dadurch begrenzt wird, dann hat die Sammelleitung Diameter mit der Gleichheit nur, wenn die Sammelleitung zu einem Bereich einer unveränderlichen Krümmung k isometrisch ist. Durch ein mit der Bedeckungraumargument, hieraus folgt dass jede Kompaktsammelleitung der positiven Krümmung von Ricci begrenzte grundsätzliche Gruppe haben muss.
2. Die Ungleichheit des Bischofs-Gromov stellt dass fest, wenn eine ganze M dimensionale Sammelleitung von Riemannian nichtnegative Krümmung von Ricci hat, dann ist das Volumen eines Balls kleiner oder dem Volumen eines Balls desselben Radius in der Euklidischen M Raum gleich. Außerdem, wenn das Volumen des Balls mit dem Zentrum p und Radius in der Sammelleitung anzeigt und anzeigt, dass das Volumen des Balls des Radius R in der Euklidischen M Raum dann fungiert, nimmt nichtzu. (Die letzte Ungleichheit kann zur willkürlichen Krümmung gebunden verallgemeinert werden und ist der Stichpunkt im Beweis des Kompaktheitslehrsatzes von Gromov.)
3. Zerreißender Lehrsatz des Cheeger-Gromoll stellt dass fest, wenn eine ganze Sammelleitung von Riemannian damit eine Linie enthält, einen geodätischen solchen γ bedeutend, dass für alle dann es zu einem Produktraum isometrisch ist. Folglich kann eine ganze Sammelleitung der positiven Krümmung von Ricci am grössten Teil eines topologischen Endes haben. Der Lehrsatz ist auch laut einiger zusätzlicher Hypothesen für ganze Sammelleitungen von Lorentzian (der metrischen Unterschrift wahr (+&minus;&minus;...)) mit dem nichtnegativen Tensor von Ricci .

Diese Ergebnisse zeigen, dass positive Krümmung von Ricci starke topologische Folgen hat. Im Vergleich, des Falls von Oberflächen, negativem ausschließend

Wie man

jetzt bekannt, hat Krümmung von Ricci keine topologischen Implikationen; hat gezeigt, dass jede Sammelleitung der Dimension, die größer ist als zwei, der negativen Krümmung von Ricci metrischen Riemannian einlässt. (Für Oberflächen bezieht negative Krümmung von Ricci negative Schnittkrümmung ein; aber der Punkt

ist das das scheitert eher drastisch in allen höheren Dimensionen.)

Verhalten unter dem Conformal-Wiederschuppen

Wenn Sie den metrischen g ändern, indem Sie es mit einem conformal Faktor multiplizieren, hat sich der Tensor von Ricci des neuen, conformally metrisch bezogen wird durch gegeben

:

wo Δ = dd (positives Spektrum) Hodge Laplacian, d. h., das Gegenteil der üblichen Spur der Jute ist.

Insbesondere in Anbetracht eines Punkts p in einer Sammelleitung von Riemannian ist es immer möglich, Metrik conformal zum gegebenen metrischen g zu finden, für den der Tensor von Ricci an p verschwindet. Bemerken Sie jedoch, dass das nur pointwise Behauptung ist; es ist gewöhnlich unmöglich, die Krümmung von Ricci identisch auf der kompletten Sammelleitung durch ein Conformal-Wiederschuppen verschwinden zu lassen.

Für zwei dimensionale Sammelleitungen zeigt die obengenannte Formel dass, wenn f eine harmonische Funktion ist, dann ändert der conformal, der g eg klettert, die Krümmung von Ricci nicht.

Ricci Tensor ohne Spuren

In der Riemannian Geometrie und allgemeinen Relativität, dem Tensor von Ricci ohne Spuren eines pseudo-Riemannian

Sammelleitung ist der durch definierte Tensor

:

wo der Tensor von Ricci ist, ist die Skalarkrümmung,

ist der metrische Tensor, und ist die Dimension dessen.

Der Name dieses Gegenstands widerspiegelt die Tatsache, dass seine Spur automatisch verschwindet:

:

Wenn n 3, der Tensor von Ricci ohne Spuren identisch wenn und nur wenn verschwindet

:

für eine Konstante.

In der Mathematik ist das die Bedingung für

eine Sammelleitung von Einstein zu sein. In der Physik, diese Gleichung

Staaten, der eine Lösung des Vakuumfeldes von Einstein ist

Gleichungen mit der kosmologischen Konstante.

Sammelleitungen von Kähler

Auf einer Sammelleitung von Kähler X bestimmt die Krümmung von Ricci die Krümmungsform des kanonischen Linienbündels. Das kanonische Linienbündel ist die Spitzenaußenmacht des Bündels von holomorphic Differenzialen von Kähler:

:

Die Verbindung von Levi-Civita entsprechend dem metrischen auf X verursacht eine Verbindung auf κ. Die Krümmung dieser Verbindung ist die zwei durch definierte Form

:

wo J die komplizierte Struktur-Karte der Sammelleitung von Kähler ist. Die Ricci-Form ist ein geschlossener zwei-Formen-. Seine cohomology Klasse, ist bis zu einem echten unveränderlichen Faktor, der ersten Klasse von Chern des kanonischen Bündels, und ist deshalb ein topologischer invariant X (für X kompakt) im Sinn, dass es nur von der Topologie X und der homotopy Klasse der komplizierten Struktur abhängt.

Umgekehrt bestimmt die Form von Ricci den Tensor von Ricci durch

:

In lokalem Holomorphic-Koordinatenz wird die Form von Ricci durch gegeben

:

wo der Maschinenbediener von Dolbeault und ist

:

Wenn der Tensor von Ricci verschwindet, dann ist das kanonische Bündel flach, so kann die Struktur-Gruppe auf eine Untergruppe der speziellen geradlinigen Gruppe SL (n, C) lokal reduziert werden. Jedoch besitzen Sammelleitungen von Kähler bereits holonomy in U (n), und so wird der (eingeschränkte) holonomy einer Wohnung von Ricci Sammelleitung von Kähler in SU (n) enthalten. Umgekehrt, wenn der (eingeschränkte) holonomy einer 2n-dimensional Sammelleitung von Riemannian in SU (n) enthalten wird, dann ist die Sammelleitung eine Kähler Ricci-flache Sammelleitung.

Generalisation zu affine Verbindungen

Der Ricci Tensor kann auch zu willkürlichen affine Verbindungen verallgemeinert werden, wo es ein invariant ist, der eine besonders wichtige Rolle in der Studie der projektiven Geometrie (Geometrie spielt, die zu unparametrisiertem geodesics vereinigt ist). Wenn eine affine Verbindung anzeigt, dann ist der Krümmungstensor der durch definierte Tensor

:

für irgendwelche Vektorfelder. Der Ricci Tensor wird definiert, um die Spur zu sein:

:

In dieser allgemeineren Situation ist der Tensor von Ricci symmetrisch, wenn, und nur wenn dort eine parallele Volumen-Form für die Verbindung besteht.

Siehe auch

• Die Krümmung von Riemannian vervielfältigt
• Skalarkrümmung
• Rechnung von Ricci
• Zergliederung von Ricci
• Ricci-flache Sammelleitung
• Symbole von Christoffel
• Grundlegende Einführung in die Mathematik der gekrümmten Raum-Zeit

Kommentare

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Links

• Z. Shen, C. Sormani "Die Topologie von Offenen Sammelleitungen mit der Nichtnegativen Ricci Krümmung" (ein Überblick)
• G. Wei, "Sammelleitungen mit Einer Niedrigeren Ricci Krümmung Bestimmt" (ein Überblick)