In der Differenzialgeometrie ist der Fluss von Ricci ein innerer geometrischer Fluss. Es ist ein Prozess, der die metrische von einer Sammelleitung von Riemannian in einem der Verbreitung der Hitze formell analogen Weg deformiert, Unregelmäßigkeiten im metrischen wegräumend.

Der Ricci-Fluss wurde zuerst von Richard Hamilton 1981 eingeführt, und wird auch den Fluss von Ricci-Hamilton genannt. Es ist das primäre Werkzeug, das in der Lösung von Grigori Perelman der Vermutung von Poincaré, sowie im Beweis des Bereich-Lehrsatzes von Differentiable durch Brendle und Schoen verwendet ist.

Mathematische Definition

In Anbetracht einer Sammelleitung von Riemannian mit dem metrischen Tensor können wir den Tensor von Ricci schätzen, der Durchschnitte von Schnittkrümmungen in eine Art "Spur" des Krümmungstensor von Riemann sammelt. Wenn wir denken, dass der metrische Tensor (und der verbundene Tensor von Ricci) Funktionen einer Variable ist, die gewöhnlich "Zeit" genannt wird (aber der nichts haben kann, um mit jeder physischen Zeit zu tun), dann kann der Fluss von Ricci durch die geometrische Evolutionsgleichung definiert werden

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Der normalisierte Fluss von Ricci hat Sinn für Kompaktsammelleitungen und wird durch die Gleichung gegeben

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wo der Durchschnitt ist, der der Skalarkrümmung (bösartig) ist (der beim Tensor von Ricci durch die Einnahme der Spur erhalten wird) und die Dimension der Sammelleitung ist. Diese normalisierte Gleichung bewahrt das Volumen des metrischen.

Der Faktor −2 ist von wenig Bedeutung, da es zu jeder reellen Nichtnullzahl durch das Wiederschuppen t geändert werden kann. Jedoch minus das Zeichen stellt sicher, dass der Fluss von Ricci seit genug kleinen positiven Zeiten gut definiert wird; wenn das Zeichen dann geändert wird, würde der Fluss von Ricci gewöhnlich nur seit kleinen negativen Zeiten definiert. (Das ist dem Weg ähnlich, auf den die Hitzegleichung vorwärts rechtzeitig, aber nicht gewöhnlich umgekehrt rechtzeitig geführt werden kann.)

Informell neigt der Fluss von Ricci dazu, negativ gebogene Gebiete der Sammelleitung auszubreiten, und Vertrag hat positiv Gebiete gebogen.

Beispiele

• Wenn die Sammelleitung Euklidischer Raum, oder allgemein Ricci-flacher ist, dann verlässt Fluss von Ricci das metrische unveränderte. Umgekehrt ist irgendwelcher metrisch unverändert durch den Fluss von Ricci Ricci-flach.
• Wenn die Sammelleitung ein Bereich (mit dem üblichen metrischen) dann Fluss-Zusammenbrüche von Ricci die Sammelleitung zu einem Punkt in der endlichen Zeit ist. Wenn der Bereich Radius 1 in n Dimensionen hat, dann nach der Zeit, mit der das metrische multipliziert wird, so wird die Sammelleitung nach der Zeit zusammenbrechen. Mehr allgemein, wenn die Sammelleitung eine Sammelleitung von Einstein ist (Ricci = unveränderlich × metrisch) dann wird Fluss von Ricci es zu einem Punkt zusammenbrechen, wenn es positive Krümmung hat, verlassen Sie es invariant, wenn es Nullkrümmung hat, und breiten Sie es aus, wenn es negative Krümmung hat.
• Für eine Kompaktsammelleitung von Einstein ist das metrische unter dem normalisierten Fluss von Ricci unverändert. Umgekehrt ist irgendwelcher metrisch unverändert durch den normalisierten Fluss von Ricci Einstein.

Insbesondere das zeigt, dass im Allgemeinen der Fluss von Ricci für alle Zeiten nicht fortgesetzt werden kann, aber Eigenartigkeiten erzeugen wird. Für 3 dimensionale Sammelleitung hat Perelman gezeigt, wie man vorbei an den Eigenartigkeiten mit der Chirurgie auf der Sammelleitung weitermacht.

• Ein bedeutendes 2-dimensionales Beispiel ist die Zigarre soliton Lösung, die durch das metrische (dx + dy) / (e + x + y) auf dem Euklidischen Flugzeug gegeben wird. Obwohl das metrisch unter dem Fluss von Ricci zurückweicht, bleibt seine Geometrie dasselbe. Solche Lösungen werden unveränderlichen Ricci solitons genannt. Ein Beispiel 3-dimensionalen unveränderlichen Ricci soliton ist der "Bryant soliton", der Rotations-symmetrisch ist, positive Krümmung hat, und durch das Lösen eines Systems von gewöhnlichen Differenzialgleichungen erhalten wird.

Beziehung zu uniformization und geometrization

Der Ricci-Fluss (genannt nach Gregorio Ricci-Curbastro) wurde von Richard Hamilton 1981 eingeführt, um in die geometrization Vermutung von William Thurston Einblick zu gewinnen, der die topologische Klassifikation von dreidimensionalen glatten Sammelleitungen betrifft. Die Idee von Hamilton war, eine Art nichtlineare Verbreitungsgleichung zu definieren, die dazu neigen würde, Unregelmäßigkeiten im metrischen wegzuräumen. Dann, durch das Stellen eines willkürlichen metrischen g auf einer gegebenen glatten mannigfaltigen M und das Entwickeln des metrischen durch den Fluss von Ricci, sollte sich das metrische einem besonders netten metrischen nähern, der eine kanonische Form für die M einsetzen könnte. Passende kanonische Formen waren bereits von Thurston identifiziert worden; die Möglichkeiten, genannt Mustergeometrie von Thurston, schließen den Drei-Bereiche-S, dreidimensionaler Euklidischer Raum E, dreidimensionaler Hyperbelraum H ein, die homogen und, und fünf ein bisschen exotischere Sammelleitungen von Riemannian isotropisch sind, die homogen, aber nicht isotropisch sind. (Diese Liste ist nah mit, aber nicht identisch mit, die Klassifikation von Bianchi der dreidimensionalen echten Lüge-Algebra in neun Klassen verbunden.) bestand die Idee von Hamilton darin, dass diese spezielle Metrik sollte sich wie feste Punkte des Flusses von Ricci benehmen, und dass, wenn, für eine gegebene Sammelleitung, allgemein nur eine Geometrie von Thurston zulässig war, das sogar wie ein attractor unter dem Fluss handeln könnte.

Hamilton hat geschafft zu beweisen, dass irgendwelcher geschlossen drei-Sammelleitungen-glättet, der zugibt, dass eine metrische von der positiven Krümmung von Ricci auch eine einzigartige Geometrie von Thurston, nämlich ein kugelförmiger metrischer zulässt, der wirklich tatsächlich wie ein Anziehen befestigter Punkt unter dem Fluss von Ricci, wiedernormalisiert handelt, um Volumen zu bewahren. (Unter dem unrenormalized Fluss von Ricci bricht die Sammelleitung zu einem Punkt in der endlichen Zeit zusammen.) Beweist das die volle Geometrization-Vermutung nicht, weil sich der schwierigste Fall erweist, Sammelleitungen mit der negativen Krümmung von Ricci und mehr spezifisch denjenigen mit der negativen Schnittkrümmung zu betreffen. (Eine fremde und interessante Tatsache ist, dass alle geschlossenen drei Sammelleitungen Metrik mit negativen Krümmungen von Ricci zulassen! Das wurde von L. Zhiyong Gao und Shing-Tung Yau 1986 bewiesen.) Tatsächlich war ein Triumph der Geometrie des neunzehnten Jahrhunderts der Beweis des uniformization Lehrsatzes, die analoge topologische Klassifikation von glatten zwei Sammelleitungen, wo Hamilton gezeigt hat, dass sich der Fluss von Ricci wirklich tatsächlich negativ gekrümmt zwei-Sammelleitungen-in einen zweidimensionalen mehrdurchlöcherten Ring entwickelt, der zum Hyperbelflugzeug lokal isometrisch ist. Dieses Thema ist nah mit wichtigen Themen in Analyse, Zahlentheorie, dynamischen Systemen, mathematischer Physik und sogar Kosmologie verbunden.

Bemerken Sie, dass der Begriff "uniformization" richtig eine Art Wegräumen von Unregelmäßigkeiten in der Geometrie andeutet, während der Begriff "geometrization" richtig andeutet, eine Geometrie auf einer glatten Sammelleitung zu legen. Geometrie wird hier auf eine genaue mit dem Begriff von Klein der Geometrie verwandte Weise verwendet (sieh Geometrization für weitere Details mutmaßen). Insbesondere das Ergebnis von geometrization kann eine Geometrie sein, die nicht isotropisch ist. In den meisten Fällen einschließlich der Fälle der unveränderlichen Krümmung ist die Geometrie einzigartig. Ein wichtiges Thema in diesem Gebiet ist das Wechselspiel zwischen echten und komplizierten Formulierungen. Insbesondere viele Diskussionen von uniformization sprechen von komplizierten Kurven aber nicht echten zwei Sammelleitungen.

Der Ricci-Fluss bewahrt Volumen nicht, so um in der Verwendung von Ricci sorgfältiger zu sein, fließen in uniformization und geometrization, muss man den Fluss von Ricci normalisieren, um einen Fluss zu erhalten, der Volumen bewahrt. Wenn man scheitert, das zu tun, besteht das Problem darin, dass (zum Beispiel), anstatt eine gegebene dreidimensionale Sammelleitung in eine der kanonischen Formen von Thurston zu entwickeln, wir gerade seine Größe zusammenschrumpfen lassen könnten.

Es ist möglich, eine Art Modul-Raum von n-dimensional Sammelleitungen von Riemannian zu bauen, und dann gibt der Fluss von Ricci wirklich einen geometrischen Fluss (im intuitiven Sinn von Partikeln, die entlang flowlines fließen) in diesem Modul-Raum.

Beziehung zur Verbreitung

Um zu sehen, warum die Evolutionsgleichung, die den Fluss von Ricci definiert, tatsächlich eine Art nichtlineare Verbreitungsgleichung ist, können wir den speziellen Fall von (echten) zwei Sammelleitungen ausführlicher in Betracht ziehen. Jeder metrische Tensor auf einem zwei-Sammelleitungen-kann in Bezug auf eine isothermische Exponentialkoordinatenkarte in der Form geschrieben werden

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(Diese Koordinaten stellen ein Beispiel einer Conformal-Koordinatenkarte zur Verfügung, weil Winkel, aber nicht Entfernungen, richtig vertreten werden.)

Die leichteste Weise, den Tensor von Ricci und Laplace-Beltrami Maschinenbediener für unseren zwei-Sammelleitungen-Riemannian zu schätzen, soll die Differenzialform-Methode von Élie Cartan verwenden. Nehmen Sie das coframe Feld

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so dass metrischer Tensor wird

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Dann in Anbetracht einer willkürlichen glatten Funktion, schätzen Sie die Außenableitung

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Nehmen Sie den Hodge Doppel-

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Nehmen Sie eine andere Außenableitung

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(wo wir das Antiersatzeigentum des Außenproduktes verwendet haben). Das, ist

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Die Einnahme eines anderen Doppel-Hodges gibt

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der den gewünschten Ausdruck für den Laplace/Beltrami Maschinenbediener gibt

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Um den Krümmungstensor zu schätzen, nehmen wir die Außenableitung der covector Felder, die unseren coframe zusammensetzen:

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Von diesen Ausdrücken können wir von der einzigen unabhängigen Verbindungseiner Form lesen

:Nehmen Sie eine andere Außenableitung:

Das gibt der Krümmung zwei-Formen-

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von dem wir vom einzigen linear unabhängigen Bestandteil des Tensor von Riemann mit lesen können

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Nämlich

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von dem die einzigen Nichtnullbestandteile des Tensor von Ricci sind

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Davon finden wir Bestandteile in Bezug auf die Koordinate cobasis, nämlich

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Aber der metrische Tensor ist auch mit diagonal

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und nach einer elementaren Manipulation erhalten wir einen eleganten Ausdruck für den Fluss von Ricci:

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Das ist der am besten bekannten von allen Verbreitungsgleichungen, die Hitzegleichung offenbar analog

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wo jetzt üblicher Laplacian auf dem Euklidischen Flugzeug ist.

Der Leser kann einwenden, dass die Hitzegleichung natürlich eine geradlinige teilweise Differenzialgleichung---ist, wo ist die versprochene Nichtlinearität im p.d.e. das Definieren des Flusses von Ricci?

Die Antwort ist, dass Nichtlinearität hereingeht, weil der Laplace-Beltrami Maschinenbediener von derselben Funktion p abhängt, der wir gepflegt haben, das metrische zu definieren. Aber bemerken Sie, dass das flache Euklidische Flugzeug durch die Einnahme gegeben wird. So, wenn im Umfang klein ist, können wir denken, dass es kleine Abweichungen von der Geometrie eines flachen Flugzeugs definiert, und wenn wir nur die ersten Ordnungsbegriffe in der Computerwissenschaft des Exponential-behalten, wird der Fluss von Ricci auf unserer zweidimensionalen fast flachen Sammelleitung von Riemannian die übliche zwei dimensionale Hitzegleichung. Diese Berechnung weist darauf hin, dass ebenso (gemäß der Hitzegleichung) ein unregelmäßiger Temperaturvertrieb in einer Heizplatte dazu neigt, homogener mit der Zeit so auch zu werden (gemäß dem Fluss von Ricci), wird eine fast flache Sammelleitung von Riemannian dazu neigen, dieselbe Weise glatt zu machen, wie Hitze "zur Unendlichkeit" in einem unendlichen flachen Teller fortgetragen werden kann. Aber wenn unsere Heizplatte in der Größe begrenzt ist, und keine Grenze hat, wo Hitze fortgetragen werden kann, können wir annehmen, die Temperatur zu homogenisieren, aber klar können wir nicht annehmen, es auf die Null zu reduzieren. Ebenso erwarten wir, dass Ricci Fluss, der auf einen verdrehten runden Bereich angewandt ist, dazu neigen wird, die Geometrie mit der Zeit abzurunden, aber es in eine flache Euklidische Geometrie nicht zu verwandeln.

Neue Entwicklungen

Der Ricci-Fluss ist seit 1981 intensiv studiert worden. Etwas neue Arbeit hat sich auf die Frage genau konzentriert, wie sich hoch-dimensionale Sammelleitungen von Riemannian unter dem Fluss von Ricci entwickeln, und insbesondere was Typen von parametrischen Eigenartigkeiten bilden können. Zum Beispiel demonstriert eine bestimmte Klasse von Lösungen des Flusses von Ricci, dass neckpinch Eigenartigkeiten auf einem Entwickeln n-dimensional metrische Sammelleitung von Riemannian bilden werden, die ein bestimmtes topologisches Eigentum (positive Eigenschaft von Euler) hat, weil sich der Fluss einer charakteristischen Zeit nähert. In bestimmten Fällen wird solcher neckpinches Sammelleitungen genannt Ricci solitons erzeugen.

Es gibt viele zusammenhängende geometrische Flüsse, von denen einige (wie der Fluss von Yamabe und der Fluss von Calabi) dem Fluss von Ricci ähnliche Eigenschaften haben.

Siehe auch

Anwendungen

• Uniformization-Lehrsatz
• geometrization vermuten
• Die Lösung von Poincaré vermutet
• Bereich-Lehrsatz von Differentiable

Allgemeiner Zusammenhang

• Krümmung von Ricci
• Rechnung von Schwankungen
• geometrischer Fluss
• .

• Erratum.
• Revidierte Version:
• Anderson, Michael T. Geometrization von 3 Sammelleitungen über den Fluss von Ricci, Benachrichtigungen AMS 51 (2004) 184-193.
• John Milnor, Zur Poincaré-Vermutung und der Klassifikation von 3 Sammelleitungen, Benachrichtigungen AMS. 50 (2003) 1226-1233.
• John Morgan, der Neue Fortschritt auf Poincaré mutmaßt und die Klassifikation von 3 Sammelleitungen, Stier. AMS 42 (2005) 57-78.
• Referenzen von der Tonmathematik errichten Sommerkurs-Programm 2005 auf dem Fluss von Ricci.
• Richard Hamilton, Drei Sammelleitungen mit der positiven Krümmung von Ricci, J. Diff. Geom 17 (1982), 255-306.
• Gesammelte Papiere auf der internationalen Ricci-Fluss-Standardbuchnummer 1-57146-110-8.
• . Ein populäres Buch, das den Hintergrund für das Klassifikationsprogramm von Thurston erklärt.
• Ricci überfluten Thema auf arxiv.org