Fermi-Dirac Statistik ist ein Teil der Wissenschaft der Physik, die die Energien von einzelnen Partikeln in einem System beschreibt, das viele identische Partikeln umfasst, die dem Ausschluss-Grundsatz von Pauli folgen. Es wird nach Enrico Fermi und Paul Dirac genannt, der jeder es unabhängig entdeckt hat, obwohl Enrico Fermi die Statistik früher definiert hat als Paul Dirac.

Fermi-Dirac (F-D) Statistik wendet auf identische Partikeln mit der Drehung "Hälfte sonderbarer ganzer Zahl" in einem System im Thermalgleichgewicht an. Zusätzlich, wie man annimmt, haben die Partikeln in diesem System unwesentliche gegenseitige Wechselwirkung. Das erlaubt dem Vielpartikel-System, in Bezug auf Energiestaaten der einzelnen Partikel beschrieben zu werden. Das Ergebnis ist der F-D Vertrieb von Partikeln über diese Staaten und schließt die Bedingung ein, dass keine zwei Partikeln denselben Staat besetzen können, der eine beträchtliche Wirkung auf die Eigenschaften des Systems hat. Da F-D Statistik für Partikeln mit der Drehung der halbganzen Zahl gilt, sind sie gekommen, um fermions genannt zu werden. Es wird meistens auf Elektronen angewandt, die fermions mit der Drehung 1/2 sind. Fermi-Dirac Statistik ist ein Teil des allgemeineren Feldes der statistischen Mechanik und verwendet die Grundsätze der Quant-Mechanik.

Geschichte

Vor der Einführung der Fermi-Dirac Statistik 1926 war das Verstehen einiger Aspekte des Elektronverhaltens wegen anscheinend widersprechender Phänomene schwierig. Zum Beispiel ist die elektronische Hitzekapazität eines Metalls bei der Raumtemperatur geschienen, aus 100mal weniger Elektronen zu kommen, als im elektrischen Strom waren. Es war auch schwierig zu verstehen, warum die Emissionsströme, die durch die Verwendung hoher elektrischer Felder auf Metalle bei der Raumtemperatur erzeugt sind, fast der Temperatur unabhängig waren.

Die Schwierigkeit, die durch die elektronische Theorie von Metallen damals gestoßen ist, war wegen des Betrachtens, dass Elektronen (gemäß der klassischen Statistiktheorie) die ganze Entsprechung waren. Mit anderen Worten wurde es geglaubt, dass jedes Elektron zur spezifischen Hitze ein Betrag auf der Ordnung des Boltzmanns unveränderlicher k beigetragen hat.

Dieses statistische Problem ist ungelöst bis zur Entdeckung der F-D Statistik geblieben.

F-D Statistik wurde zuerst 1926 von Enrico Fermi und Paul Dirac veröffentlicht. Gemäß einer Rechnung hat Pascual Jordan 1925 dieselbe Statistik entwickelt, die er Statistik von Pauli genannt hat, aber es wurde auf eine rechtzeitige Weise nicht veröffentlicht. Wohingegen gemäß Dirac es zuerst von Fermi studiert wurde, und Dirac es Statistik von Fermi und die entsprechenden Partikeln fermions genannt hat.

F-D Statistik wurde 1926 von Fowler angewandt, um den Zusammenbruch eines Sterns einem weißen Zwerg zu beschreiben. 1927 hat Sommerfeld es auf Elektronen in Metallen angewandt, und 1928 haben Fowler und Nordheim es auf die Feldelektronemission von Metallen angewandt. Fermi-Dirac Statistik setzt fort, ein wichtiger Teil der Physik zu sein.

Fermi-Dirac Vertrieb

Für ein System von identischem fermions, die durchschnittliche Zahl von fermions in einem Staat der einzelnen Partikel, wird durch den Fermi-Dirac (F-D) Vertrieb, gegeben

:

wo k die Konstante von Boltzmann ist, ist T die absolute Temperatur, ist die Energie des Staates der einzelnen Partikel, und ist das chemische Potenzial. das chemische Potenzial ist der Energie von Fermi gleich. Für den Fall von Elektronen in einem Halbleiter, wird auch das Niveau von Fermi genannt.

Der F-D Vertrieb ist nur gültig, wenn die Zahl von fermions im System groß genug ist, so dass das Hinzufügen eines mehr fermion zum System unwesentliche Wirkung anhat. Seitdem der F-D Vertrieb mit dem Ausschluss-Grundsatz von Pauli abgeleitet wurde, der höchstens einem Elektron erlaubt, jeden möglichen Staat zu besetzen, ist ein Ergebnis das

Image:FD e mu.svg|Energy Abhängigkeit. Mehr allmählich an höher wenn nicht gezeigtem T. ist dass Abnahmen für höher T.

Image:FD kT e.svg|

</Galerie> </Zentrum>

Vertrieb von Partikeln über die Energie

Der Fermi-Dirac Obengenannt-Vertrieb gibt den Vertrieb von identischem fermions über Energiestaaten der einzelnen Partikel, wo nicht mehr als ein fermion einen Staat besetzen kann. Mit dem F-D Vertrieb kann man den Vertrieb von identischem fermions über die Energie finden, wo mehr als ein fermion dieselbe Energie haben kann.

Die durchschnittliche Zahl von fermions mit der Energie kann durch das Multiplizieren des F-D Vertriebs durch die Entartung (d. h. die Zahl von Staaten mit der Energie), gefunden werden

:

\bar {n} (\epsilon_i) & = g_i \\bar {n} _i \\

& = \frac {g_i} {e^ {(\epsilon_i-\mu) / k T} + 1} \\

\end {alignat} </Mathematik>

Wenn es dass möglich ist, da es mehr als einen Staat gibt, der durch fermions mit derselben Energie besetzt werden kann.

Wenn ein Quasikontinuum von Energien eine verbundene Dichte von Staaten hat (d. h. die Zahl von Staaten pro Einheitsenergiereihe pro Einheitsvolumen), ist die durchschnittliche Zahl von fermions pro Einheitsenergiereihe pro Einheitsvolumen,

:

wo genannt wird, fungieren Fermi, und ist dieselbe Funktion, die für den F-D Vertrieb, verwendet wird

:

so dass,

:.

Quant und klassische Regime

Das klassische Regime, wo Maxwell-Boltzmann (M-B) Statistik als eine Annäherung an die F-D Statistik verwendet werden kann, wird durch das Betrachten der Situation gefunden, die von der Grenze weit ist, die durch den Unklarheitsgrundsatz von Heisenberg für eine Position und Schwung einer Partikel festgesetzt ist. Mit dieser Annäherung kann es gezeigt werden, dass die klassische Situation vorkommt, wenn die Konzentration von Partikeln einer durchschnittlichen Zwischenpartikel-Trennung entspricht, die viel größer ist als der Durchschnitt Wellenlänge von de Broglie der Partikeln,

:

wo die Konstante von Planck ist, und die Masse einer Partikel ist.

Für den Fall von Leitungselektronen in einem typischen Metall an T=300K (d. h. ungefähr Raumtemperatur) ist das System vom klassischen Regime seitdem weit. Das ist wegen der kleinen Masse des Elektrons und der hohen Konzentration (d. h. klein) Leitungselektronen im Metall. So ist F-D Statistik für Leitungselektronen in einem typischen Metall erforderlich.

Ein anderes Beispiel eines Systems, das nicht im klassischen Regime ist, ist das System, das aus den Elektronen eines Sterns besteht, der einem weißen Zwerg zusammengebrochen ist. Obwohl die Temperatur des weißen Zwergs hoch ist (normalerweise T=10,000K auf seiner Oberfläche), schließen seine hohe Elektronkonzentration und die kleine Masse jedes Elektrons aus, eine klassische Annäherung zu verwenden, und wieder ist F-D Statistik erforderlich.

Zwei Abstammungen des Fermi-Dirac Vertriebs

Abstammung, die mit dem kanonischen Vertrieb anfängt

Betrachten Sie ein Vielpartikel-System als zusammengesetzt aus N identischen fermions, die unwesentliche gegenseitige Wechselwirkung haben und im Thermalgleichgewicht sind. Da es unwesentliche Wechselwirkung zwischen dem fermions gibt, kann die Energie eines Staates des Vielpartikel-Systems als eine Summe von Energien der einzelnen Partikel, ausgedrückt werden

:

wo die Belegungszahl genannt wird und die Zahl von Partikeln im Staat der einzelnen Partikel mit der Energie ist. Die Summierung ist über alle möglichen Staaten der einzelnen Partikel.

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Vielpartikel-System im Staat ist, wird durch den normalisierten kanonischen Vertrieb, gegeben

:

{\displaystyle \sum_ {R'} e^ {-\beta E_ {R'}}} </Mathematik>

wo, die Konstante von Boltzmann ist, ist die absolute Temperatur, e wird den Faktor von Boltzmann genannt, und die Summierung ist über alle möglichen Staaten des Vielpartikel-Systems. Der durchschnittliche Wert für eine Belegungszahl ist

:

Bemerken Sie, dass der Staat des Vielpartikel-Systems durch die Partikel-Belegung der Staaten der einzelnen Partikel, d. h. durch das Spezifizieren so dass angegeben werden kann

:

{\\displaystyle \sum_\sum_ {n_1, n_2, \dots} e^ {-\beta (n_1\epsilon_1+n_2\epsilon_2 +\cdots)}}

{\\displaystyle \sum_ {n_i=0} ^1 e^ {-\beta (n_i\epsilon_i)} \qquad \sideset {} {^ {(i)} }\\sum_ {n_1, n_2, \dots} e^ {-\beta (n_1\epsilon_1+n_2\epsilon_2 +\cdots)}} </Mathematik>

wo auf dem Summierungszeichen anzeigt, dass die Summe nicht zu Ende ist und der Einschränkung unterworfen ist, dass die Gesamtzahl von mit der Summierung vereinigten Partikeln ist. Bemerken Sie, dass noch durch die Einschränkung seitdem in einem Fall abhängt und damit bewertet wird, während im anderen Fall und bewertet wird mit, die Notation zu vereinfachen und klar anzuzeigen, dass noch durch abhängt, definieren Sie

:

so dass der vorherige Ausdruck dafür umgeschrieben und in Bezug auf, bewertet werden kann

:

\bar {n} _i \& = \frac {\displaystyle \sum_ {n_i=0} ^1 n_i \e^ {-\beta (n_i\epsilon_i)} \\Z_i (N-n_i) }\

{\displaystyle \sum_ {n_i=0} ^1 e^ {-\beta (n_i\epsilon_i)} \qquad Z_i (N-n_i)} \\

\\

& = \\frac {\quad 0 \quad \; + e^ {-\beta\epsilon_i }\\; Z_i (n-1)} {Z_i (N) + e^ {-\beta\epsilon_i }\\; Z_i (n-1)} \\

& = \\frac {1} {[Z_i (N)/z_i (n-1)] \; e^ {\\beta\epsilon_i} +1} \quad.

\end {alignat} </Mathematik>

Die folgende Annäherung wird verwendet, um zu finden, dass ein Ausdruck das vertritt.

:

\ln Z_i (N-1) & \simeq \ln Z_i (N) - \frac {\\teilweiser \ln Z_i (N)} {\\teilweise N\\\

& = \ln Z_i (N) - \alpha_i \;

\end {alignat} </Mathematik>

wo

Wenn die Zahl von Partikeln groß genug ist, so dass die Änderung im chemischen Potenzial sehr klein ist, wenn eine Partikel zum System, dann hinzugefügt wird, die Basis e Antiklotz von beiden Seiten Nehmend, und Umordnen, vertretend

:.

Das Ersetzen des obengenannten in die Gleichung für und das Verwenden einer vorherigen Definition, das zu vertreten, laufen auf den Fermi-Dirac Vertrieb hinaus.

:

Das Abstammungsverwenden Vermehrer von Lagrange

Ein Ergebnis kann durch das direkte Analysieren der Vielfältigkeit des Systems und das Verwenden von Vermehrern von Lagrange erreicht werden.

Nehmen Sie an, dass wir mehrere Energieniveaus haben, die durch den Index i, jedes Niveau etikettiert sind

Energie ε habend und insgesamt n Partikeln enthaltend. Nehmen Sie an, dass jedes Niveau g verschiedene Subniveaus enthält, von denen alle dieselbe Energie haben, und die unterscheidbar sind. Zum Beispiel können zwei Partikeln verschiedene Schwünge haben (d. h. ihre Schwünge können entlang verschiedenen Richtungen sein), in welchem Fall sie von einander unterscheidbar sind, noch können sie noch dieselbe Energie haben. Der Wert von g hat mit dem Niveau verkehrt ich werde die "Entartung" dieses Energieniveaus genannt. Der Pauli Ausschluss-Grundsatz stellt fest, dass nur ein fermion jedes solches Subniveau besetzen kann.

Die Zahl von Weisen, n nicht zu unterscheidende Partikeln unter den g Subniveaus eines Energieniveaus mit einem Maximum einer Partikel pro Subniveau zu verteilen, wird durch den binomischen Koeffizienten, mit seiner kombinatorischen Interpretation gegeben

:

w (n_i, g_i) = \frac {g_i!} {n_i! (g_i-n_i)!} \.

</Mathematik>

Zum Beispiel wird das Verteilen von zwei Partikeln in drei Subniveaus Bevölkerungszahlen 110, 101, oder 011 für insgesamt drei Wege geben, der 3 gleich ist! / (2! 1!). Die Zahl von Weisen, wie eine Reihe von Beruf-Zahlen n begriffen werden kann, ist das Produkt der Weisen, wie jedes individuelle Energieniveau bevölkert werden kann:

:

W = \prod_i w (n_i, g_i) = \prod_i \frac {g_i!} {n_i! (g_i-n_i)!}.

</Mathematik>

Im Anschluss an dasselbe Verfahren, das im Abstammen der Statistik von Maxwell-Boltzmann, verwendet ist

wir möchten den Satz von n finden, für den W, Thema der Einschränkung dass maximiert wird, dort eine festgelegte Zahl von Partikeln und eine feste Energie sein. Wir beschränken unser Lösungsverwenden Vermehrer von Lagrange, die die Funktion bilden:

:

f (n_i) = \ln (W) + \alpha (N-\sum n_i) + \beta (E-\sum n_i \epsilon_i).

</Mathematik>

Das Verwenden der Annäherung von Stirling für den factorials, die Einnahme der Ableitung in Bezug auf n, das Setzen des Ergebnisses zur Null und das Lösen für n geben die Fermi-Dirac Bevölkerungszahlen nach:

:

n_i = \frac {g_i} {e^ {\\Alpha +\beta \epsilon_i} +1}.

</Mathematik>

Durch einen Prozess, der dem ähnlich ist, das im Statistikartikel von Maxwell-Boltzmann entworfen ist, kann es thermodynamisch gezeigt werden, dass und wo das chemische Potenzial ist, ist k die Konstante von Boltzmann, und T ist die Temperatur, so dass schließlich die Wahrscheinlichkeit, dass ein Staat besetzt wird, ist:

:

\bar {n} _i = \frac {n_i} {g_i} = \frac {1} {e^ {(\epsilon_i-\mu)/kT} +1}.

</Mathematik>

Siehe auch

• Energie von Fermi
• Statistik von Maxwell-Boltzmann
• Statistik von Bose-Einstein
• Parastatistik

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