In der Rechnung wird das unbestimmte Integral einer gegebenen Funktion (d. h., der Satz aller Antiableitungen der Funktion) nur bis zu einer zusätzlichen Konstante, der Konstante der Integration definiert. Diese Konstante Schnellzüge eine dem Aufbau von Antiableitungen innewohnende Zweideutigkeit. Wenn eine Funktion auf einem Zwischenraum definiert wird und eine Antiableitung dessen ist, dann wird der Satz aller Antiableitungen dessen durch die Funktionen gegeben, wo C eine willkürliche Konstante ist. Die Konstante der Integration wird manchmal in Listen von Integralen für die Einfachheit weggelassen.

Ursprung der Konstante

Die Ableitung jeder unveränderlichen Funktion ist Null. Sobald man gefunden hat, dass eine Antiableitung, beitragend oder einen unveränderlichen C abziehend, uns eine andere Antiableitung, weil geben wird. Die Konstante ist eine Weise auszudrücken, dass jede Funktion eine unendliche Zahl von verschiedenen Antiableitungen hat.

Nehmen Sie zum Beispiel an, dass man Antiableitungen dessen finden will. Eine solche Antiableitung ist. Ein anderer ist. Ein Drittel ist. Jeder von diesen hat Ableitung, so sind sie alle Antiableitungen dessen.

Es stellt sich heraus, dass das Hinzufügen und Konstanten Abstriche zu machen, die einzige Flexibilität sind, die wir in der Entdeckung verschiedener Antiableitungen derselben Funktion haben. D. h. alle Antiableitungen sind dasselbe bis zu einer Konstante. Diese Tatsache dafür auszudrücken, weil (x) wir schreiben:

:

Das Ersetzen C durch eine Zahl wird eine Antiableitung erzeugen. Durch das Schreiben C statt einer Zahl, jedoch, einer Kompaktbeschreibung aller möglichen Antiableitungen dessen, weil (x) erhalten wird. C wird die Konstante der Integration genannt. Es wird leicht beschlossen, dass alle diese Funktionen tatsächlich Antiableitungen sind:

:

\frac {d} {dx} [\sin (x) + C] &= \frac {d} {dx} [\sin (x)] + \frac {d} {dx} [C] \\

&= \cos (x) + 0 \\

&= \cos (x)

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Auf der Sprache der geradlinigen Algebra sagen Leute, dass abgeleiteter Maschinenbediener (k+1) - dimensionaler Vektor in den k Dimensionsraum kartografisch darstellt, der eine Extrabedingung fordert, für den inversen Betrieb angegeben zu werden.

Notwendigkeit der Konstante

Auf den ersten Blick kann es scheinen, dass die Konstante unnötig ist, da es auf die Null gesetzt werden kann. Außerdem, wenn sie bestimmte Integrale mit dem Hauptsatz der Rechnung bewerten wird, wird die Konstante immer mit sich annullieren.

Jedoch hat das Versuchen, die der Null gleiche Konstante zu setzen, Sinn nicht immer. Zum Beispiel, kann auf zwei verschiedene Weisen integriert werden:

:

\int 2\sin (x) \cos (x) \, dx &=& \sin^2 (x) + C &=&-\cos^2 (x) + 1 + C \\

\int 2\sin (x) \cos (x) \, dx &=&-\cos^2 (x) + C &=& \sin^2 (x) - 1 + C

\end {richten} </Mathematik> {aus}

So kann das Setzen C zur Null noch eine Konstante verlassen. Das bedeutet, dass, für eine gegebene Funktion, es keine "einfachste Antiableitung" gibt.

Ein anderes Problem mit dem Setzen C gleich der Null besteht darin, dass manchmal wir eine Antiableitung finden wollen, die einen gegebenen Wert an einem gegebenen Punkt (als in einem Anfangswert-Problem) hat. Zum Beispiel, die Antiableitung davon zu erhalten, hat den Wert 100 an x = &pi; dann wird nur ein Wert von C (in diesem Fall C = 100) arbeiten.

Diese Beschränkung kann auf der Sprache von Differenzialgleichungen umformuliert werden. Die Entdeckung eines unbestimmten Integrals einer Funktion ist dasselbe als das Lösen der Differenzialgleichung. Jede Differenzialgleichung wird viele Lösungen haben, und jede Konstante vertritt die einzigartige Lösung eines gut aufgestellten Anfangswert-Problems. Das Auferlegen der Bedingung, dass unsere Antiableitung den Wert 100 an x = &pi nimmt; ist eine anfängliche Bedingung. Jede anfängliche Bedingung entspricht einem und nur einem Wert von C, so ohne C würde es unmöglich sein, das Problem zu beheben.

Es gibt eine andere Rechtfertigung, aus der abstrakten Algebra kommend. Der Raum aller (passenden) reellwertigen Funktionen auf den reellen Zahlen ist ein Vektorraum, und der Differenzialoperator ist ein geradliniger Maschinenbediener. Der Maschinenbediener stellt eine Funktion zur Null kartografisch dar, wenn, und nur wenn diese Funktion unveränderlich ist. Folglich ist der Kern dessen der Raum aller unveränderlichen Funktionen. Der Prozess der unbestimmten Integration beläuft sich auf die Entdeckung eines Vorimages einer gegebenen Funktion. Es gibt kein kanonisches Vorimage für eine gegebene Funktion, aber der Satz aller dieser Vorimages bildet einen coset. Auswahl einer Konstante ist dasselbe als Auswahl eines Elements des coset. In diesem Zusammenhang, ein Anfangswert-Problem behebend, wird als das Lügen im durch die anfänglichen Bedingungen gegebenen Hyperflugzeug interpretiert.

Grund für einen unveränderlichen Unterschied zwischen Antiableitungen

Dieses Ergebnis kann auf diese Weise formell festgesetzt werden: Lassen Sie und seien Sie zwei überall differentiable Funktionen. Nehmen Sie das für jede reelle Zahl x an. Dann dort besteht eine reelle Zahl C solch das für jede reelle Zahl x.

Um das zu beweisen, bemerken Sie das. So kann F durch F-G und G nach der unveränderlichen Funktion 0 ersetzt werden, die Absicht machend, zu beweisen, dass überall differentiable fungieren, wessen Ableitung immer Null ist, muss unveränderlich sein:

Wählen Sie eine reelle Zahl a und lassen Sie. Für jeden x sagt der Hauptsatz der Rechnung das

:

\int_a^x 0 \, dt &= F (x)-F (a) \\

&= F (x)-C,

\end {richten} </Mathematik> {aus}

der das einbezieht. So ist F eine unveränderliche Funktion.

Zwei Tatsachen sind in diesem Beweis entscheidend. Erstens wird die echte Linie verbunden. Wenn die echte Linie nicht verbunden würde, würden wir nicht immer im Stande sein, von unserem festen zu irgendwelchem gegeben x zu integrieren. Zum Beispiel, wenn wir um Funktionen bitten sollten, die auf der Vereinigung von Zwischenräumen [0,1] und [2,3] definiert sind, und wenn 0 zu sein, dann würde es nicht möglich sein, von 0 bis 3 zu integrieren, weil die Funktion zwischen 1 und 2 nicht definiert wird. Hier wird es zwei Konstanten, ein für jeden verbundenen Bestandteil des Gebiets geben. Im Allgemeinen, indem wir Konstanten durch lokal unveränderliche Funktionen ersetzen, können wir diesen Lehrsatz zu getrennten Gebieten erweitern. Zum Beispiel gibt es zwei Konstanten der Integration für und ungeheuer vieler für so zum Beispiel die allgemeine Form für das Integral von 1/x ist:

:

\end {Fälle} </Mathematik>

Zweitens, wie man annahm, waren F und G überall differentiable. Wenn F und G nicht differentiable an sogar einem Punkt sind, scheitert der Lehrsatz. Als ein Beispiel, lassen Sie, die Schritt-Funktion von Heaviside zu sein, die Null für negative Werte von x und ein für nichtnegative Werte von x ist, und lassen. Dann ist die Ableitung von F Null, wo es definiert wird, und die Ableitung von G immer Null ist. Und doch ist es klar, dass sich F und G durch eine Konstante nicht unterscheiden.

Selbst wenn es angenommen wird, dass F und G überall dauernd sind und fast überall differentiable der Lehrsatz noch scheitert. Als ein Beispiel, nehmen Sie F, um die Kantor-Funktion zu sein und wieder G = 0 zu lassen.