Der Betonungsenergie-Tensor (manchmal Betonungsenergieschwung-Tensor) ist eine Tensor-Menge in der Physik, die die Dichte und den Fluss der Energie und des Schwungs in der Raum-Zeit beschreibt, den Spannungstensor der Newtonischen Physik verallgemeinernd. Es ist ein Attribut der Sache, Radiation und Nichtgravitationskraft-Felder. Der Betonungsenergie-Tensor ist die Quelle des Schwerefeldes in den Feldgleichungen von Einstein der allgemeinen Relativität, wie Masse die Quelle solch eines Feldes im Newtonischen Ernst ist.

Definition

Der Betonungsenergie-Tensor schließt den Gebrauch von superscripted Variablen ein, die nicht Hochzahlen sind (sieh Summierungsnotation von Einstein). Durch die Bestandteile der vier-Vektoren-Position wird gegeben: x = t (Zeit in Sekunden), x = x (in Metern), x = y (in Metern) und x = z (in Metern).

Der Betonungsenergie-Tensor wird als der Tensor der Reihe zwei definiert, der den Fluss des α Bestandteils des Schwung-Vektoren über eine Oberfläche mit der unveränderlichen X-Koordinate gibt. In der Relativitätstheorie wird dieser Schwung-Vektor als der vier-Schwünge-genommen. In der allgemeinen Relativität ist der Betonungsenergie-Tensor, symmetrisch

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In einigen alternativen Theorien wie Theorie von Einstein-Cartan kann der Betonungsenergie-Tensor nicht wegen eines Nichtnulldrehungstensor vollkommen symmetrisch sein, der geometrisch einem Nichtnullverdrehungstensor entspricht.

Die Bestandteile des Tensor identifizierend

Im folgenden erstrecken ich und k uns von 1 bis 3.

Der zeitmalige Bestandteil ist die Dichte der relativistischen Masse, d. h. die Energiedichte, die durch die Geschwindigkeit des quadratisch gemachten Lichtes geteilt ist. Es ist von speziellem Interesse, weil es eine einfache physische Interpretation hat. Im Fall von einer vollkommenen Flüssigkeit ist dieser Bestandteil

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und für ein elektromagnetisches Feld in sonst dem leeren Raum ist dieser Bestandteil

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wo und die elektrischen und magnetischen Felder beziehungsweise sind.

Der Fluss der relativistischen Masse über die X-Oberfläche ist zur Dichte von mir Bestandteil des geradlinigen Schwungs, gleichwertig

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Die Bestandteile

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vertreten Sie Fluss von mir Bestandteil des geradlinigen Schwungs über die X-Oberfläche. In der besonderen Einzelheit,

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(nicht summiert) vertritt normale Betonung, die Druck genannt wird, wenn es der Richtung unabhängig ist. Wohingegen

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vertritt Scherspannung (vergleichen Sie sich mit dem Spannungstensor).

Warnung: In der Physik des festen Zustands und flüssigen Mechanik wird der Spannungstensor definiert, um die Raumbestandteile von zu sein

der Betonungsenergie-Tensor im comoving Bezugssystem. Mit anderen Worten unterscheidet sich der Betonungsenergietensor in der Technik vom Betonungsenergietensor hier durch einen Schwung convective Begriff.

Kovariante und Mischformen

Im grössten Teil dieses Artikels arbeiten wir mit der kontravarianten Form vom Betonungsenergie-Tensor. Jedoch ist es häufig notwendig, mit der kovarianten Form zu arbeiten

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oder die Mischform

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Oder als eine Mischtensor-Dichte

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Bewahrungsgesetz

In der speziellen Relativität

Der Betonungsenergie-Tensor ist der erhaltene mit Raum-Zeit-Übersetzungen vereinigte Strom von Noether.

Wenn Ernst unwesentlich und ein Kartesianisches Koordinatensystem für die Raum-Zeit verwendend ist, wird die Abschweifung der Nichtgravitationsbetonungsenergie Null sein. Mit anderen Worten werden Nichtgravitationsenergie und Schwung, erhalten

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Die integrierte Form davon ist

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wo N jedes vierdimensionale Kompaktgebiet der Raum-Zeit ist; ist seine Grenze, eine dreidimensionale Hyperoberfläche; und ist ein Element der Grenze, die als das äußere normale Hinweisen betrachtet ist.

Wenn man das mit der Symmetrie des Betonungsenergie-Tensor verbindet, kann man zeigen, dass winkeliger Schwung auch, erhalten wird

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In der allgemeinen Relativität

Jedoch, wenn Ernst nichtunwesentlich ist, oder wenn er willkürliche Koordinatensysteme verwendet, kann die Abschweifung der Nichtgravitationsbetonungsenergie scheitern, Null zu sein. In diesem Fall müssen wir eine allgemeinere Kontinuitätsgleichung verwenden, die die kovariante Ableitung vereinigt

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wo das Symbol von Christoffel ist, das das Gravitationskraft-Feld ist.

Folglich, wenn ein tödliches Vektorfeld ist, dann kann das Bewahrungsgesetz, das mit der durch das Tötungsvektorfeld erzeugten Symmetrie vereinigt ist, als ausgedrückt werden

:Die integrierte Form davon ist:

In der allgemeinen Relativität

In der allgemeinen Relativität handelt der symmetrische Betonungsenergie-Tensor als die Quelle der Raum-Zeit-Krümmung, und ist die aktuelle mit Maß-Transformationen des Ernstes vereinigte Dichte, die allgemeine krummlinige Koordinatentransformationen sind. (Wenn es Verdrehung gibt, dann ist der Tensor nicht mehr symmetrisch. Das entspricht dem Fall mit einem Nichtnulldrehungstensor in der Ernst-Theorie von Einstein-Cartan.)

In der allgemeinen Relativität werden die in der speziellen Relativität verwendeten partiellen Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzt. Was das bedeutet, ist, dass die Kontinuitätsgleichung nicht mehr andeutet, dass die Nichtgravitationsenergie und der durch den Tensor ausgedrückte Schwung absolut erhalten werden, d. h. das Schwerefeld Arbeit an der Sache und umgekehrt tun kann. In der klassischen Grenze des Newtonischen Ernstes hat das eine einfache Interpretation: Energie wird mit der potenziellen Gravitationsenergie ausgetauscht, die in den Tensor nicht eingeschlossen wird, und Schwung durch das Feld anderen Körpern übertragen wird. In der allgemeinen Relativität ist der Pseudotensor des Landauers-Lifshitz eine einzigartige Weise, die Schwerefeld-Energie und Schwung-Dichten zu definieren. Jeder solcher Betonungsenergie-Pseudotensor kann gemacht werden, lokal durch eine Koordinatentransformation zu verschwinden.

In der gekrümmten Raum-Zeit hängt das Raummäßigintegral jetzt von der Raummäßigscheibe im Allgemeinen ab. Es gibt tatsächlich keine Weise, einen globalen Energieschwung-Vektoren in einer allgemeinen gekrümmten Raum-Zeit zu definieren.

Die Feldgleichungen von Einstein

In der allgemeinen Relativität wird der Spannungstensor im Zusammenhang der Feldgleichungen von Einstein studiert, die häufig als geschrieben werden

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wo der Tensor von Ricci ist, der Skalar von Ricci (die Tensor-Zusammenziehung des Tensor von Ricci) ist, und die universale Gravitationskonstante ist.

Betonungsenergie in speziellen Situationen

Isolierte Partikel

In der speziellen Relativität ist die Betonungsenergie einer aufeinander nichtwirkenden Partikel mit der MassenM und Schussbahn:

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wo der Geschwindigkeitsvektor ist (der mit dem vier-Geschwindigkeiten-nicht verwirrt sein sollte)

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δ ist die Delta-Funktion von Dirac und ist die Energie der Partikel.

Betonungsenergie einer Flüssigkeit im Gleichgewicht

Für eine Flüssigkeit im thermodynamischen Gleichgewicht übernimmt der Betonungsenergie-Tensor eine besonders einfache Form

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wo die Massenenergie-Dichte (Kilogramme pro Kubikmeter) ist, der hydrostatische Druck (pascals) ist, die vier Geschwindigkeit von Flüssigkeit ist, und das Gegenstück des metrischen Tensor ist.

Die vier Geschwindigkeit befriedigt

:

In einem Trägheitsbezugssystem comoving mit der Flüssigkeit ist die vier Geschwindigkeit

:

das Gegenstück des metrischen Tensor ist einfach

:

g^ {\\Alpha \beta} \, = \left (\begin {Matrix-}\

- c^ {-2} & 0 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1

\end {Matrix} \right)

\, </Mathematik>

und der Betonungsenergie-Tensor ist eine Diagonalmatrix

:

T^ {\\Alpha \beta} = \left (\begin {Matrix-}\

\rho & 0 & 0 & 0 \\

0 & p & 0 & 0 \\

0 & 0 & p & 0 \\

0 & 0 & 0 & p

\end {Matrix} \right).

</Mathematik>

Elektromagnetischer Betonungsenergie-Tensor

Der Betonungsenergie-Tensor eines quellfreien elektromagnetischen Feldes ist

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wo der elektromagnetische Feldtensor ist.

Skalarfeld

Der Betonungsenergie-Tensor für ein Skalarfeld, das die Gleichung von Klein-Gordon befriedigt, ist

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Verschiedene Definitionen der Betonungsenergie

Es gibt mehrere inequivalent Definitionen der Nichtgravitationsbetonungsenergie:

Betonungsenergie-Tensor von Hilbert

Dieser Betonungsenergie-Tensor kann nur in der allgemeinen Relativität mit einem dynamischen metrischen definiert werden. Es wird als eine funktionelle Ableitung definiert

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wo der Nichtgravitationsteil der Dichte von Lagrangian der Handlung ist. Das ist symmetrisch und Maß-invariant. Sieh Handlung von Einstein-Hilbert für mehr Information.

Kanonischer Betonungsenergie-Tensor

Der Lehrsatz von Noether deutet an, dass es einen erhaltenen Strom gibt, der mit Übersetzungen durch die Zeit und Raum vereinigt ist. Das wird den kanonischen Betonungsenergie-Tensor genannt. Allgemein ist das nicht symmetrisch, und wenn wir eine Maß-Theorie haben, kann es nicht Maß invariant sein, weil raumabhängige Maß-Transformationen mit Raumübersetzungen nicht pendeln.

In der allgemeinen Relativität sind die Übersetzungen in Bezug auf das Koordinatensystem und als solcher, verwandeln Sie sich kovariant nicht. Sieh die Abteilung unten auf dem Gravitationsbetonungsenergie-Pseudotensor.

Betonungsenergie-Tensor von Belinfante-Rosenfeld

In Gegenwart von der Drehung oder dem anderen inneren winkeligen Schwung scheitert der kanonische Betonungsenergietensor von Noether, symmetrisch zu sein. Der Betonungsenergietensor von Belinfante-Rosenfeld wird vom kanonischen Betonungsenergie-Tensor und dem Drehungsstrom auf solche Art und Weise gebaut, um symmetrisch und um noch erhalten zu sein. In der allgemeinen Relativität stimmt dieser modifizierte Tensor mit dem Betonungsenergie-Tensor von Hilbert überein. Sieh den Artikel Betonungsenergie-Tensor von Belinfante-Rosenfeld für mehr Details.

Gravitationsbetonungsenergie

Durch den Gleichwertigkeitsgrundsatz wird Gravitationsbetonungsenergie immer lokal an jedem gewählten Punkt in einem gewählten Rahmen verschwinden, deshalb kann Gravitationsbetonungsenergie nicht als ein Nichtnulltensor ausgedrückt werden; stattdessen müssen wir einen Pseudotensor verwenden.

In der allgemeinen Relativität gibt es viele mögliche verschiedene Definitionen des Gravitationsbetonungsenergieschwung-Pseudotensor. Diese schließen den Pseudotensor von Einstein und den Pseudotensor des Landauers-Lifshitz ein. Der Pseudotensor des Landauers-Lifshitz kann auf die Null an jedem Ereignis in der Raum-Zeit durch die Auswahl eines passenden Koordinatensystems reduziert werden.

Siehe auch

• Die Energielokalisierungshypothese von Cooperstock
• Elektromagnetischer Betonungsenergie-Tensor
• Energiebedingung
• Energiedichte von elektrischen und magnetischen Feldern
• Spannungstensor von Maxwell
• Vektor von Poynting
• Rechnung von Ricci
• Klassifikation von Segre

Zeichen und Verweisungen

Links

• Vortrag, Stephan Waner
• Caltech Tutorenkurs auf der Relativität - Eine einfache Diskussion der Beziehung zwischen dem Betonungsenergie-Tensor der Allgemeinen Relativität und dem metrischen