Eine Reihe, ist informell das Sprechen, die Summe der Begriffe einer Folge. Begrenzte Folgen und Reihe haben vor allen Dingen Begriffe definiert, wohingegen unendliche Folgen und Reihe unbestimmt weitergehen.

In der Mathematik, in Anbetracht einer unendlichen Folge von Zahlen, ist eine Reihe informell das Ergebnis, alle jene Begriffe zusammen hinzuzufügen: + + + ···. Diese können kompakter mit dem Summierungssymbol  geschrieben werden. Ein Beispiel ist die berühmte Reihe von der Zweiteilung von Zeno und seiner mathematischen Darstellung:

:

Die Begriffe der Reihe werden häufig gemäß einer bestimmten Regel, solcher als durch eine Formel, oder durch einen Algorithmus erzeugt. Da es eine unendliche Zahl von Begriffen gibt, wird dieser Begriff häufig eine unendliche Reihe genannt. Verschieden von begrenzten Summierungen brauchen unendliche Reihen Werkzeuge von der mathematischen Analyse, und spezifisch den Begriff von Grenzen, um völlig verstanden und manipuliert zu werden. Zusätzlich zu ihrer Allgegenwart in der Mathematik werden unendliche Reihen auch in anderen quantitativen Disziplinen wie Physik und Informatik weit verwendet.

Grundlegende Eigenschaften

Definition

Für jede Folge von rationalen Zahlen fungieren reelle Zahlen, komplexe Zahlen, davon usw., die verbundene Reihe wird als die bestellte formelle Summe definiert

:.

Die Folge von teilweisen zu einer Reihe vereinigten Summen wird für jeden als die Summe der Folge von zu definiert

:.

Definitionsgemäß läuft die Reihe zu einer Grenze zusammen, wenn, und nur wenn die verbundene Folge von teilweisen Summen dazu zusammenläuft. Diese Definition wird gewöhnlich als geschrieben

:.

Mehr allgemein, wenn eine Funktion von einem Index-Satz I zu einem Satz G ist, dann ist die Reihe, die dazu vereinigt ist, die formelle Summe der Elemente über die durch den angezeigten Index-Elemente

:.

Wenn der Index-Satz die natürlichen Zahlen ist, ist die Funktion eine Folge, die dadurch angezeigt ist. Eine auf den natürlichen Zahlen mit einem Inhaltsverzeichnis versehene Reihe ist eine bestellte formelle Summe, und so schreiben wir als um, um die durch die natürlichen Zahlen veranlasste Einrichtung zu betonen. So erhalten wir die allgemeine Notation für eine Reihe, die durch die natürlichen Zahlen mit einem Inhaltsverzeichnis versehen ist

:.

Wenn der Satz eine Halbgruppe ist, wird die Folge von teilweisen zu einer Folge vereinigten Summen für jeden als die Summe der Folge von zu definiert

:.

Wenn die Halbgruppe auch ein topologischer Raum ist, dann läuft die Reihe zu einem Element zusammen, wenn, und nur wenn die verbundene Folge von teilweisen Summen dazu zusammenläuft. Diese Definition wird gewöhnlich als geschrieben

:.

Konvergente Reihe

series  a  wird gesagt, 'zusammenzulaufen' oder 'konvergent zu sein', wenn die Folge S teilweiser Summen eine begrenzte Grenze hat. Wenn die Grenze von S unendlich ist oder nicht besteht, wie man sagt, weicht die Reihe ab. Wenn die Grenze von teilweisen Summen besteht, wird es die Summe der Reihe genannt

:

Eine leichte Weise, wie eine unendliche Reihe zusammenlaufen kann, besteht darin, wenn ganz Null für den genug großen n sind. Solch eine Reihe kann mit einer begrenzten Summe identifiziert werden, so ist es nur in einem trivialen Sinn unendlich.

Die Eigenschaften der Reihen gut zu laufen, die zusammenlaufen, selbst wenn ungeheuer viele Begriffe Nichtnull sind, ist die Essenz der Studie der Reihe. Denken Sie das Beispiel

:

Es ist möglich, "sich" seine Konvergenz auf der Linie der reellen Zahl "zu vergegenwärtigen": Wir können uns eine Linie der Länge 2, mit aufeinander folgenden Segmenten vorstellen, die Längen 1, ½, ¼, usw. abgegrenzt sind. Es gibt immer Zimmer, um das folgende Segment zu kennzeichnen, weil der Betrag der restlichen Linie immer dasselbe als das letzte gekennzeichnete Segment ist: Als wir ½ abgegrenzt haben, haben wir noch ein Stück der Länge ½ nicht markierte, so können wir sicher die folgenden ¼ kennzeichnen. Dieses Argument beweist nicht, dass die Summe 2 gleich ist (obwohl es ist), aber es beweist wirklich, dass es höchstens 2 ist. Mit anderen Worten hat die Reihe einen gebundenen oberen. Der Beweis, dass die Reihe 2 gleich ist, verlangt nur elementare Algebra jedoch. Wenn die Reihe S angezeigt wird, kann sie das gesehen werden

:

Deshalb,

:

Mathematiker strecken sich aus das Idiom hat früher zu anderem, gleichwertigen Begriffen der Reihe besprochen. Zum Beispiel, wenn wir über eine wiederkehrende Dezimalzahl, als in sprechen

:

wir, reden tatsächlich, so etwa die Reihe

:

Aber da diese Reihen immer zu reellen Zahlen zusammenlaufen (wegen, was das Vollständigkeitseigentum der reellen Zahlen genannt wird), über die Reihe zu sprechen, ist auf diese Weise dasselbe, um über die Zahlen zu sprechen, für die sie stehen. Insbesondere es sollte keine Feingefühle verletzen, wenn wir keine Unterscheidung zwischen 0.111 … und / machen. Weniger klar ist das Argument, dass, aber es ist ziemlich haltbar, wenn wir denken, dass wir den Beweis formalisieren können, nur wissend, dass Grenze-Gesetze die arithmetischen Operationen bewahren. Sieh 0.999... für mehr.

Beispiele

• Eine geometrische Reihe ist diejenige, wo jeder aufeinander folgende Begriff durch das Multiplizieren des vorherigen Begriffes durch eine unveränderliche Zahl erzeugt wird. Beispiel:

::

:In allgemein, die geometrische Reihe

::

:converges wenn und nur wenn |z

:The harmonische Reihe ist auseinander gehend.

• Eine Wechselreihe ist eine Reihe, wo Begriffe Zeichen abwechseln lassen. Beispiel:

::

• Die P-Reihe

::

:converges, wenn r> 1 und für r  1 abweicht, der mit dem integrierten Kriterium gezeigt werden kann, das unten in Konvergenz-Tests beschrieben ist. Als eine Funktion von r ist die Summe dieser Reihe die Zeta-Funktion von Riemann.

• Eine telescoping Reihe

::

:converges, wenn die Folge b zu einer Grenze L als n zusammenläuft, geht zur Unendlichkeit. Der Wert der Reihe ist dann b − L.

Rechnung und teilweise Summierung als eine Operation auf Folgen

Bemerken Sie, dass teilweise Summierung als Eingang eine Folge, nimmt, und als Produktion eine andere Folge, {S} gibt - ist teilweise Summierung so eine unäre Operation auf Folgen. Weiter ist diese Funktion geradlinig, und ist so ein geradliniger Maschinenbediener auf dem Vektorraum von Folgen, hat Σ angezeigt. Der umgekehrte Maschinenbediener ist der begrenzte Unterschied-Maschinenbediener, Δ. Diese benehmen sich als getrennte Analoga der Integration und Unterscheidung, nur für die Reihe (Funktionen einer natürlichen Zahl) statt Funktionen einer echten Variable. Zum Beispiel, die Folge {1, 1, 1...} hat Reihe {1, 2, 3, 4...} als seine teilweise Summierung, die der Tatsache das analog

ist

In der Informatik ist es als Präfix-Summe bekannt.

Eigenschaften der Reihe

Reihen werden nicht nur dadurch klassifiziert, ob sie zusammenlaufen oder abweichen, sondern auch durch die Eigenschaften der Begriffe (absolute oder bedingte Konvergenz); Typ der Konvergenz der Reihe (pointwise, Uniform); die Klasse des Begriffes (ob es eine reelle Zahl, arithmetischer Fortschritt, trigonometrische Funktion ist); usw.

Nichtnegative Begriffe

Wenn einer nichtnegativen reellen Zahl für jeden n zu sein, die Folge S teilweiser Summen nichtabnimmt. Hieraus folgt dass eine Reihe a mit nichtnegativen Begriffen zusammenläuft, wenn, und nur wenn die Folge S teilweiser Summen begrenzt wird.

Zum Beispiel, die Reihe

:ist

weil die Ungleichheit konvergent

:

und ein teleskopisches Summe-Argument deutet an, dass die teilweisen Summen durch 2 begrenzt werden.

Absolute Konvergenz

Eine Reihe

:

wird gesagt, absolut wenn die Reihe von absoluten Werten zusammenzulaufen

:

läuft zusammen. Es kann bewiesen werden, dass das genügend ist, nicht nur die ursprüngliche Reihe zu einer Grenze, sondern auch für jede Umstellung davon zusammenlaufen zu lassen, um zu derselben Grenze zusammenzulaufen.

Bedingte Konvergenz

Wie man

sagt, ist eine Reihe von reellen Zahlen oder komplexen Zahlen bedingt konvergent (oder halbkonvergent), wenn es konvergent, aber nicht absolut konvergent ist. Ein berühmtes Beispiel ist die Wechselreihe

:

der konvergent ist (und seine Summe ln 2 gleich ist), aber die gebildete Reihe durch die Einnahme des absoluten Werts jedes Begriffes ist die auseinander gehende harmonische Reihe. Der Reihe-Lehrsatz von Riemann sagt, dass jede bedingt konvergente Reihe wiederbefohlen werden kann, eine auseinander gehende Reihe, und außerdem zu machen, wenn echt und S zu sein, eine reelle Zahl ist, dass man eine Umstellung finden kann, so dass die wiederbestellte Reihe mit der S gleichen Summe zusammenläuft.

Der Test von Abel ist ein wichtiges Werkzeug, um halbkonvergente Reihe zu behandeln. Wenn eine Reihe die Form hat

:

wo die teilweisen Summen B = begrenzt werden, hat λ Schwankung begrenzt und besteht:

:

dann ist die Reihe konvergent. Das gilt für die pointwise Konvergenz von vielen trigonometrischen Reihen, als in

:

mit 0 = B − B, und im Durchführen einer Transformation, die der Integration durch Teile ähnlich ist (genannt Summierung durch Teile), der die gegebene Reihe mit der absolut konvergenten Reihe verbindet

:

Konvergenz-Tests

• der n-te Begriff-Test: Wenn lim ein  0 dann die Reihe abweicht.
• Vergleich-Test 1: Wenn b eine absolut konvergente solche Reihe dass ein  C b für eine Zahl C&thinsp ist; und für genug großen n, dann a  läuft absolut ebenso zusammen. Wenn b, und ein  b für den ganzen genug großen n, dann a&thinsp abweicht; auch scheitert, absolut zusammenzulaufen (obwohl es noch, z.B wenn ein Stellvertreter im Zeichen bedingt konvergent sein konnte).
• Vergleich-Test 2: Wenn b  ist eine absolut konvergente solche Reihe dass ein/a  b/b für genug großen n, dann a  läuft absolut ebenso zusammen. Wenn b, und ein/a  b/b für den ganzen genug großen n, dann a&thinsp abweicht; auch scheitert, absolut zusammenzulaufen (obwohl es noch, z.B wenn a&thinsp bedingt konvergent sein konnte; Stellvertreter im Zeichen).
• Verhältnis-Test: Wenn dort besteht, läuft ein unveränderlicher C/a absolut zusammen. Wenn das Verhältnis weniger als 1, aber nicht weniger als eine Konstante weniger als 1 ist, ist Konvergenz möglich, aber dieser Test gründet es nicht.
• Wurzeltest: Wenn dort ein unveränderlicher C  C für den ganzen genug großen n besteht, dann läuft a absolut zusammen.
• Integrierter Test: Wenn (x) ƒ eine positive Eintönigkeitsverringern-Funktion sind, die auf dem Zwischenraum 1,  mit dem ƒ (n) = für den ganzen n definiert ist, dann läuft a wenn und nur wenn integral&thinsp zusammen;  (x) ƒ ist dx begrenzt.
• Der Kondensationstest von Cauchy: Wenn nichtnegativ und Nichterhöhung, dann die zwei series&thinsp zu sein; a  and  2a sind derselben Natur: beide konvergent, oder beide auseinander gehend.
• Wechselreihe-Test: Eine Reihe der Form  (−1) (mit einem  0) wird genannt abwechselnd. Solch eine Reihe läuft zusammen, wenn die Folge das Eintönigkeitsverringern ist und zu 0 zusammenläuft. Das gegenteilige ist im Allgemeinen nicht wahr.
• Für einige spezifische Typen der Reihe gibt es mehr spezialisierte Konvergenz-Tests, zum Beispiel für die Reihe von Fourier gibt es den Test von Dini.

Reihe von Funktionen

Eine Reihe von echten - oder Komplex-geschätzte Funktionen

:

läuft pointwise auf einem Satz E zusammen, wenn die Reihe für jeden x in E als eine gewöhnliche Reihe von reellen Zahlen oder komplexen Zahlen zusammenläuft. Gleichwertig, die teilweisen Summen

:

laufen Sie zu (x) ƒ als N   für jeden x  E zusammen.

Ein stärkerer Begriff der Konvergenz einer Reihe von Funktionen wird gleichförmige Konvergenz genannt. Die Reihe läuft gleichförmig zusammen, wenn sie pointwise zur Funktion (x) ƒ und dem Fehler im Approximieren der Grenze durch die N-te teilweise Summe, zusammenläuft

:

kann minimal unabhängig von x durch die Auswahl eines genug großen N gemacht werden.

Gleichförmige Konvergenz ist für eine Reihe wünschenswert, weil viele Eigenschaften der Begriffe der Reihe dann durch die Grenze behalten werden. Zum Beispiel, wenn eine Reihe von dauernden Funktionen gleichförmig zusammenläuft, dann ist die Grenze-Funktion auch dauernd. Ähnlich, wenn die ƒ integrable auf einem geschlossenen und begrenzten Zwischenraum I sind und gleichförmig zusammenlaufen, dann ist die Reihe auch integrable auf mir und kann Begriff-für-Begriff integriert werden. Tests auf die gleichförmige Konvergenz schließen die M von Weierstrass Test, der gleichförmige Konvergenz-Test von Abel, der Test von Dini ein.

Hoch entwickeltere Typen der Konvergenz einer Reihe von Funktionen können auch definiert werden. In der Maß-Theorie, zum Beispiel, läuft eine Reihe von Funktionen fast überall zusammen, wenn es pointwise außer auf einem bestimmten Satz der Maß-Null zusammenläuft. Andere Weisen der Konvergenz hängen von einer verschiedenen metrischen Raumstruktur vom Raum von Funktionen unter der Rücksicht ab. Zum Beispiel läuft eine Reihe von Funktionen im bösartigen auf einem Satz E zu zur Verfügung gestelltem eines ƒ der Funktion der Grenze zusammen

:

als N  .

Macht-Reihe

:

Viele Funktionen können als Reihe von Taylor vertreten werden; diese sind unendliche Reihe, die Mächte der unabhängigen Variable einschließt, und werden auch Macht-Reihe genannt. Zum Beispiel, die Reihe

:

läuft zu für den ganzen x zusammen.

Im Allgemeinen ist eine Macht-Reihe jede Reihe der Form

:

Wenn es nur an x=c nicht zusammenläuft, läuft solch eine Reihe auf einer bestimmten offenen Scheibe der Konvergenz zusammen, die am Punkt c im komplizierten Flugzeug in den Mittelpunkt gestellt ist, und kann auch an einigen der Punkte der Grenze der Scheibe zusammenlaufen. Der Radius dieser Scheibe ist als der Radius der Konvergenz bekannt, und kann im Prinzip vom asymptotics der Koeffizienten a bestimmt werden. Die Konvergenz ist auf dem geschlossenen und begrenzten (d. h. kompakt) Teilmengen des Interieurs der Scheibe der Konvergenz gleichförmig: Zum Witz ist es auf Kompaktsätzen gleichförmig konvergent.

Historisch haben Mathematiker wie Leonhard Euler liberal mit der unendlichen Reihe funktioniert, selbst wenn sie nicht konvergent waren.

Als Rechnung auf einen Ton und richtiges Fundament im neunzehnten Jahrhundert gestellt wurde, waren strenge Beweise der Konvergenz der Reihe immer erforderlich.

Jedoch ist die formelle Operation mit der nichtkonvergenten Reihe in Ringen der formellen Macht-Reihen behalten worden, die in der abstrakten Algebra studiert werden. Formelle Macht-Reihen werden auch in combinatorics verwendet, um Folgen zu beschreiben und zu studieren, die sonst schwierig sind zu behandeln; das ist die Methode, Funktionen zu erzeugen.

Reihe von Laurent

Reihen von Laurent verallgemeinern Macht-Reihe durch das Zulassen von Begriffen in die Reihe mit negativen sowie positiven Hochzahlen. Eine Reihe von Laurent ist so jede Reihe der Form

:

Wenn solch eine Reihe zusammenläuft, dann im Allgemeinen tut sie so in einem Ringrohr aber nicht einer Scheibe, und vielleicht einigen Grenzpunkten. Die Reihe läuft gleichförmig auf Kompaktteilmengen des Interieurs des Ringrohrs der Konvergenz zusammen.

Reihe von Dirichlet

:

Eine Dirichlet Reihe ist eine der Form

:

wo s eine komplexe Zahl ist. Zum Beispiel, wenn ganzer gleich 1 zu sein, dann ist die Reihe von Dirichlet der Riemann zeta Funktion

:

Wie die Zeta-Funktion, Reihe von Dirichlet im allgemeinen Spiel eine wichtige Rolle in der analytischen Zahlentheorie. Allgemein läuft eine Reihe von Dirichlet zusammen, wenn der echte Teil von s größer ist, als eine Zahl die Abszisse der Konvergenz genannt hat. In vielen Fällen kann eine Reihe von Dirichlet zu einer analytischen Funktion außerhalb des Gebiets der Konvergenz durch die analytische Verlängerung erweitert werden. Zum Beispiel läuft die Reihe von Dirichlet für die Zeta-Funktion absolut zusammen, wenn Re s> 1, aber die Zeta-Funktion kann zu einer Holomorphic-Funktion erweitert werden, die auf &thinsp definiert ist; mit einem einfachen Pol an 1.

Diese Reihe kann zur Reihe von General Dirichlet direkt verallgemeinert werden.

Trigonometrische Reihe

Eine Reihe von Funktionen, in denen die Begriffe trigonometrische Funktionen sind, wird eine trigonometrische Reihe genannt:

:

Das wichtigste Beispiel einer trigonometrischen Reihe ist die Reihe von Fourier einer Funktion.

Geschichte der Theorie der unendlichen Reihe

Entwicklung der unendlichen Reihe

Griechischer Mathematiker Archimedes hat die erste bekannte Summierung einer unendlichen Reihe mit einem erzeugt

Methode, die noch im Gebiet der Rechnung heute verwendet wird. Er hat die Methode der Erschöpfung verwendet, das Gebiet unter dem Kreisbogen einer Parabel mit der Summierung einer unendlichen Reihe zu berechnen, und hat eine bemerkenswert genaue Annäherung π. gegeben

Im 17. Jahrhundert hat James Gregory im neuen dezimalen System an der unendlichen Reihe gearbeitet und hat mehrere Reihen von Maclaurin veröffentlicht. 1715 wurde eine allgemeine Methode, für die Reihe von Taylor für alle Funktionen zu bauen, für die sie bestehen, von Brook Taylor zur Verfügung gestellt. Leonhard Euler im 18. Jahrhundert, entwickelt die Theorie der hypergeometrischen Reihe und Q-Reihe.

Konvergenzkriterien

Wie man

betrachtet, beginnt die Untersuchung der Gültigkeit der unendlichen Reihe mit Gauss im 19. Jahrhundert. Euler hatte bereits die hypergeometrische Reihe gedacht

:

auf dem Gauss eine Biografie 1812 veröffentlicht hat. Es hat einfachere Kriterien der Konvergenz, und die Fragen von Resten und die Reihe der Konvergenz gegründet.

Cauchy (1821) hat auf strengen Tests der Konvergenz beharrt; er hat gezeigt, dass, wenn zwei Reihen konvergent sind, ihr Produkt nicht notwendigerweise ist, so, und mit ihm beginnt die Entdeckung von wirksamen Kriterien. Die Begriffe Konvergenz und Abschweifung waren lange vorher von Gregory (1668) eingeführt worden. Leonhard Euler und Gauss hatten verschiedene Kriterien gegeben, und Colin Maclaurin hatte einige von den Entdeckungen von Cauchy vorausgesehen. Cauchy hat die Theorie der Macht-Reihe durch seine Vergrößerung einer komplizierten Funktion in solch einer Form vorgebracht.

Abel (1826) in seiner Biografie auf der binomischen Reihe

:

korrigiert sicher in den Beschlüssen von Cauchy, und hat völlig gegeben

wissenschaftliche Summierung der Reihe für komplizierte Werte und. Er hat die Notwendigkeit gezeigt, das Thema der Kontinuität in Fragen der Konvergenz zu denken.

Die Methoden von Cauchy haben zu speziellen aber nicht allgemeinen Kriterien und geführt

dasselbe kann von Raabe (1832) gesagt werden, wer den ersten wohl durchdachten gemacht

hat

Untersuchung des Themas, De Morgans (von 1842), dessen

logarithmischer Test DuBois-Reymond (1873) und Pringsheim (1889) hat

gezeigt, innerhalb eines bestimmten Gebiets zu scheitern; Bertrands (1842), Häubchen

(1843) Malmsten (1846, 1847, die Letzteren ohne Integration);

Schürt (1847), Paucker (1852), Tschebyscheff (1852), und Arndt

(1853).

Allgemeine Kriterien haben mit Kummer (1835) begonnen, und sind gewesen

studiert von Eisenstein (1847), Weierstrass in seinem verschiedenen

Beiträge zur Theorie von Funktionen, Dini (1867),

DuBois-Reymond (1873), und viele andere. Die Lebenserinnerungen von Pringsheim (1889) präsentieren die am meisten ganze allgemeine Theorie.

Gleichförmige Konvergenz

Die Theorie der gleichförmigen Konvergenz wurde von Cauchy (1821), sein behandelt

Beschränkungen, die durch Abel, aber das erste hinweisen werden, um es anzugreifen

erfolgreich waren Seidel und Stokes (1847-48). Cauchy hat den aufgenommen

Problem wieder (1853), die Kritik von Abel anerkennend, und reichend

dieselben Beschlüsse, der Schürt, hatten bereits gefunden. Thomae hat den verwendet

Doktrin (1866), aber gab es große Verzögerung im Erkennen des

Wichtigkeit vom Unterscheiden zwischen gleichförmigem und ungleichförmigem

Konvergenz, trotz der Anforderungen der Theorie von Funktionen.

Halbkonvergenz

Wie man

sagt, ist eine Reihe halbkonvergent (oder bedingt konvergent), wenn es konvergent, aber nicht absolut konvergent ist.

Halbkonvergente Reihen wurden von Poisson (1823) studiert, wer auch eine allgemeine Form für den Rest der Formel von Maclaurin gegeben hat. Die wichtigste Lösung des Problems, ist jedoch, zu Jacobi (1834), erwartet

wer die Frage des Rests von einer verschiedenen Einstellung angegriffen hat und eine verschiedene Formel erreicht hat. Dieser Ausdruck wurde auch, und ein anderer gegeben, von Malmsten (1847) ausgearbeitet. Schlömilch (Zeitschrift, Vol. Ich, p. 192, 1856) auch hat den Rest von Jacobi verbessert, und hat die Beziehung zwischen dem Rest und der Funktion von Bernoulli gezeigt

:

Genocchi (1852) hat weiter zur Theorie beigetragen.

Unter den frühen Schriftstellern war Wronski, dessen "loi suprême" (1815) kaum anerkannt wurde, bis Cayley (1873) es in gebracht

hat

Bekanntheit.

Reihe von Fourier

Reihen von Fourier wurden untersucht

als das Ergebnis von physischen Rücksichten zur gleichen Zeit das

Gauss, Abel und Cauchy arbeiteten die Theorie von unendlichem aus

Reihe. Reihe für die Vergrößerung von Sinus und Kosinus, vielfachen

Kreisbogen in Mächten des Sinus und Kosinus des Kreisbogens waren durch behandelt worden

Jacob Bernoulli (1702) und sein Bruder Johann Bernoulli (1701) und noch

früher durch Vieta. Euler und Lagrange haben das Thema, vereinfacht

wie Poinsot, Schröter, Glaisher und Kummer getan hat.

Fourier (1807) Satz für sich ein verschiedenes Problem, zu

breiten Sie eine gegebene Funktion von x in Bezug auf die Sinus oder Kosinus von aus

Vielfachen von x, ein Problem, das er in seinen Théorie analytique de la chaleur (1822) aufgenommen hat. Euler hatte bereits den gegeben

Formeln, für die Koeffizienten in der Reihe zu bestimmen;

Fourier war erst, um zu behaupten und zu versuchen, den allgemeinen zu beweisen

Lehrsatz. Poisson (1820-23) hat auch das Problem von einem angegriffen

verschiedene Einstellung. Fourier hat jedoch die Frage nicht gesetzt

der Konvergenz seiner Reihe ist eine Sache nach Cauchy (1826) zu abgereist

Versuch und für Dirichlet (1829), um in gründlich zu behandeln

wissenschaftliche Weise (sieh Konvergenz der Reihe von Fourier). Die Behandlung von Dirichlet (Crelle, 1829), der trigonometrischen Reihe war das Thema der Kritik und Verbesserung durch

Riemann (1854), Heine, Lipschitz, Schläfli und

du Bois-Reymond. Unter anderen prominenten Mitwirkenden zur Theorie von

trigonometrisch und Reihe von Fourier waren Dini, Hermite, Halphen,

Krause, Byerly und Appell.

Generalisationen

Asymptotische Reihe

Asymptotische Reihen, sonst asymptotische Vergrößerungen, sind unendliche Reihe, deren teilweise Summen gute Annäherungen in der Grenze von einem Punkt des Gebiets werden. Im Allgemeinen laufen sie nicht zusammen. Aber sie sind als Folgen von Annäherungen nützlich, von denen jede einen Wert in der Nähe von der gewünschten Antwort für eine begrenzte Zahl von Begriffen zur Verfügung stellt. Der Unterschied ist, dass eine asymptotische Reihe nicht gemacht werden kann, eine so genaue Antwort zu erzeugen, wie gewünscht, die Weise, wie konvergente Reihe kann. Tatsächlich, nach einer bestimmten Anzahl von Begriffen, erreicht eine typische asymptotische Reihe seine beste Annäherung; wenn mehr Begriffe eingeschlossen werden, wird der grösste Teil solcher Reihe schlechtere Antworten erzeugen.

Auseinander gehende Reihe

Unter vielen Verhältnissen ist es wünschenswert, eine Grenze zu einer Reihe zuzuteilen, die scheitert, im üblichen Sinn zusammenzulaufen. Eine summability Methode ist solch eine Anweisung einer Grenze zu einer Teilmenge des Satzes der auseinander gehenden Reihe, die richtig den klassischen Begriff der Konvergenz erweitert. Methoden von Summability schließen Summierung von Cesàro, (C, k) Summierung, Summierung von Abel und Summierung von Borel, in der zunehmenden Ordnung der Allgemeinheit (und folglich anwendbar auf die immer mehr auseinander gehende Reihe) ein.

Eine Vielfalt von allgemeinen Ergebnissen bezüglich möglicher summability Methoden ist bekannt. Der Lehrsatz von Silverman-Toeplitz charakterisiert Matrix summability Methoden, die Methoden sind, für eine auseinander gehende Reihe durch die Verwendung einer unendlichen Matrix auf den Vektoren von Koeffizienten zu summieren. Die allgemeinste Methode, für eine auseinander gehende Reihe zu summieren, ist nichtkonstruktiv, und betrifft Grenzen von Banach.

Reihe in Banachräumen

Der Begriff der Reihe kann zum Fall eines Banachraums leicht erweitert werden. Wenn x eine Folge von Elementen eines Banachraums X ist, dann läuft die Reihe Σx zu x  X zusammen, wenn die Folge von teilweisen Summen der Reihe zu x neigt; zum Witz,

:als N  .

Mehr allgemein kann die Konvergenz der Reihe in jedem abelian Hausdorff topologische Gruppe definiert werden. Spezifisch, in diesem Fall, läuft Σx zu x zusammen, wenn die Folge von teilweisen Summen zu x zusammenläuft.

Summierungen über willkürliche Index-Sätze

Definitionen können für Summen über einen willkürlichen Index-Satz I gegeben werden. Es gibt zwei Hauptunterschiede mit dem üblichen Begriff der Reihe: Erstens gibt es keine spezifische Ordnung, die auf dem Satz I gegeben ist; zweitens dieser Satz kann ich unzählbar sein.

Familien von nichtnegativen Zahlen

Wenn

man eine Familie, ich  I, nichtnegativer Zahlen summiert, kann man definieren

:

Wenn die Summe, der Satz von mir  I solch begrenzt ist, dass a> 0 zählbar ist. Tatsächlich für jeden n  1 ist der Satz, weil begrenzt

:

Wenn I  ist zählbar unendlich und als ich = {ich, ich aufgezählt...} dann befriedigt die obengenannte definierte Summe

:

vorausgesetzt dass dem Wert  für die Summe der Reihe erlaubt wird.

Jede Summe über nichtnegativen reals kann als das Integral einer nichtnegativen Funktion in Bezug auf das Zählen-Maß verstanden werden, das für die vielen Ähnlichkeiten zwischen den zwei Aufbauten verantwortlich ist.

Abelian topologische Gruppen

Lässt a: Ich  X, wo I  ist jeder Satz und X  ist abelian Hausdorff topologische Gruppe. Lassen Sie F  seien Sie die Sammlung aller begrenzten Teilmengen von mir. Bemerken Sie das F  ist ein geleiteter Satz, der unter der Einschließung mit der Vereinigung bestellt ist, wie sich anschließen. Definieren Sie die Summe S  der Familie als die Grenze

:

wenn es besteht und sagen Sie dass die Familie unbedingt addierbar zu sein. Der Ausspruch dass die Summe S  ist die Grenze von den begrenzten teilweisen Summe-Mitteln das für jede Nachbarschaft V  0 in X gibt es eine begrenzte Teilmenge I  solch dass

:

Weil F  wird nicht völlig bestellt, das ist nicht eine Grenze einer Folge von teilweisen Summen, aber eher eines Netzes.

Für jeden W, Nachbarschaft 0 in X, gibt es eine kleinere Nachbarschaft V  solch dass V − V  W. Hieraus folgt dass die begrenzten teilweisen Summen einer unbedingt addierbaren Familie a, ich  I, ein Netz von Cauchy bilden, das ist: Für jeden W, Nachbarschaft 0 in X, gibt es eine begrenzte Teilmenge I  solch dass

:

Wenn X  ist eine Familie abgeschlossen unbedingt addierbar in X&thinsp zu sein; wenn, und nur wenn die begrenzten Summen die letzte Nettobedingung von Cauchy befriedigen. Wenn X  ist abgeschlossen, und a, ich  I, ist in X, dann für jede Teilmenge J  I unbedingt addierbar, die entsprechende Unterfamilie a, j  J, ist auch in X unbedingt addierbar.

Wenn die Summe einer Familie von nichtnegativen Zahlen, im verlängerten Sinn, der vorher definiert ist, begrenzt ist, dann fällt es mit der Summe in der topologischen Gruppe X = R zusammen.

Wenn eine Familie in X  ist dann für jeden W, Nachbarschaft 0 in X unbedingt addierbar, es gibt eine begrenzte Teilmenge I  solch dass ein  W  für jeden ich nicht in A. Wenn X  ist hieraus folgt dass der Satz von mir  I&thinsp erst-zählbar; solch, dass ein  0 zählbar ist. Das braucht in einer allgemeinen abelian topologischen Gruppe nicht wahr zu sein (sieh Beispiele unten).

Unbedingt konvergente Reihe

Nehmen Sie dass ich = N an. Wenn eine Familie a, n  N, in abelian Hausdorff topologische Gruppe X unbedingt addierbar ist, dann läuft die Reihe im üblichen Sinn zusammen und hat dieselbe Summe,

:

Durch die Natur ist die Definition von vorbehaltlosem summability gegen die Ordnung der Summierung unempfindlich. Wenn a dann unbedingt addierbar ist, bleibt die Reihe konvergent nach jeder Versetzung σ des Satzes N Indizes, mit derselben Summe,

:

Es kann bewiesen werden, dass das gegenteilige hält: Ist eine Reihe a läuft zusammen nach jeder Versetzung dann ist es unbedingt konvergent. Wenn X  ist dann abgeschlossen vorbehaltlose Konvergenz ist auch zur Tatsache gleichwertig, dass alle Subreihen konvergent sind; wenn X  ist ein Banachraum, das ist gleichwertig, um das für jede Folge von Zeichen ε = 1 oder −1, die Reihe zu sagen

:

läuft in X zusammen. Wenn X  ist ein Banachraum, dann kann man den Begriff der absoluten Konvergenz definieren. Eine Reihe a Vektoren in X  läuft absolut wenn zusammen

:

Wenn eine Reihe von Vektoren in einem Banachraum absolut dann zusammenläuft, läuft sie unbedingt zusammen, aber das gegenteilige hält nur in begrenzten dimensionalen Banachräumen (Lehrsatz).

Gut bestellte Summen

Bedingt konvergente Reihe kann betrachtet werden, wenn ich ein gut bestellter Satz, zum Beispiel eine Ordinalzahl α bin. Man kann durch transfiniten recursion definieren:

:

und für eine Grenze Ordnungs-α,

:

wenn diese Grenze besteht. Wenn alle Grenzen bis zu α bestehen, dann läuft die Reihe zusammen.

Beispiele

In Anbetracht einer Funktion f: XY, mit Y eine abelian topologische Gruppe, definieren für jeden einen  X

:

\begin {Fälle }\

0 & x\neq a, \\

f (a) & x=a, \\

\end {Fälle }\

</Mathematik>

eine Funktion, deren Unterstützung ein Singleton ist. Dann

:

in der Topologie der pointwise Konvergenz (d. h. wird die Summe in der unendlichen Produktgruppe Y genommen).

</li>

In der Definition von Teilungen der Einheit baut man Summen von Funktionen über den willkürlichen Index-Satz I,

:

Während, formell, das einen Begriff von Summen der unzählbaren Reihe verlangt, durch den Aufbau gibt es, für jeden gegebenen x, nur begrenzt viele Nichtnullbegriffe in der Summe, so entstehen Probleme bezüglich der Konvergenz solcher Summen nicht. Wirklich nimmt man gewöhnlich mehr an: Die Familie von Funktionen ist lokal begrenzt, d. h. für jeden x gibt es eine Nachbarschaft von x, in dem alle außer einer begrenzten Zahl von Funktionen verschwinden. Jedes Regelmäßigkeitseigentum ,&thinsp; solcher weil wird Kontinuität, differentiability, der unter begrenzten Summen bewahrt wird, für die Summe jeder Subsammlung dieser Familie von Funktionen bewahrt.

</li>

Auf dem ersten unzählbaren Ordnungs-ω, der als ein topologischer Raum in der Ordnungstopologie, die unveränderliche Funktion f angesehen ist: [0, ω)  [0, ω] gegeben durch f (α) = 1 befriedigt

:

(mit anderen Worten, ω Kopien 1 ist ω) nur, wenn man eine Grenze über alle zählbaren teilweisen Summen, aber nicht begrenzte teilweise Summen nimmt. Dieser Raum ist nicht trennbar.

</li>

</ol>

Siehe auch

• Konvergente Reihe
• Konvergenz prüft
• Folge-Transformation
• Unendliches Produkt
• Unendlicher Ausdruck
• Fortlaufender Bruchteil
• Wiederholte binäre Operation
• Liste der mathematischen Reihe
• Präfix-Summe
• Reihenentwicklung
• Unendliche Zusammensetzungen von analytischen Funktionen

Zeichen

• Bromwich, T.J. Eine Einführung in die Theorie von Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revidierter 1926, hat 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965 nachgedruckt.

Links

• Grafische Simulation der Reihe-Konvergenz
• Viele Beispiel-Probleme auf der Reihe, mit Lösungen
• Unendlicher Reihe-Tutorenkurs
• Online-Reihe-Rechenmaschine