: "Begrenzt" und "Grenze" sind verschiedene Konzepte; weil die Letzteren Grenze (Topologie) sehen. Ein Kreis in der Isolierung ist begrenzter Satz eines boundaryless, während die Hälfte des Flugzeugs unbegrenzt ist, noch hat eine Grenze.

In der mathematischen Analyse und den verwandten Gebieten der Mathematik wird ein Satz begrenzt genannt, wenn es im gewissen Sinne der begrenzten Größe ist. Umgekehrt wird ein Satz, der nicht begrenzt wird, unbegrenzt genannt. Das begrenzte Wort hat keinen Sinn in einem allgemeinen topologischen Raum ohne einen metrischen.

Definition

Ein Satz S reeller Zahlen wird begrenzt von oben genannt, wenn es eine reelle Zahl k solch dass k  s für den ganzen s in S gibt. Die Nummer k wird einen S gebundenen oberen genannt. Die Begriffe, die von unten begrenzt sind und tiefer gebunden sind, werden ähnlich definiert.

Ein Satz S wird begrenzt, wenn er sowohl obere als auch niedrigere Grenzen hat. Deshalb, eine Reihe von reellen Zahlen wird begrenzt, wenn es in einem begrenzten Zwischenraum enthalten wird.

Metrischer Raum

Eine Teilmenge S eines metrischen Raums (M, d) wird begrenzt, wenn es in einem Ball des begrenzten Radius enthalten wird, d. h. wenn dort x in der M und dem r> 0 solches besteht, dass für den ganzen s in S wir d haben (x, s), sind die zwei gleichwertig.

• Ein metrischer Raum ist kompakt, wenn, und nur wenn es abgeschlossen und völlig begrenzt ist.
• Eine Teilmenge des Euklidischen Raums R ist kompakt, wenn, und nur wenn es geschlossen und begrenzt wird.

Boundedness in topologischen Vektorräumen

In topologischen Vektorräumen besteht eine verschiedene Definition für begrenzte Sätze, der manchmal von Neumann boundedness genannt wird. Wenn die Topologie des topologischen Vektorraums durch einen metrischen veranlasst wird, der homogenous, als im Fall von einem durch die Norm von normed Vektorräumen veranlassten metrischen ist, dann fallen die zwei Definitionen zusammen.

Boundedness in der Ordnungstheorie

Eine Reihe von reellen Zahlen wird begrenzt, wenn, und nur wenn es einen oberen und gebundenes niedrigeres hat. Diese Definition ist zu Teilmengen jedes teilweise bestellten Satzes ausziehbar. Bemerken Sie, dass dieses mehr Gesamtkonzept von boundedness keinem Begriff "der Größe" entspricht.

Eine Teilmenge S eines teilweise bestellten Satzes P wird begrenzt genannt, oben wenn es ein Element k in solchem P dass k  s für den ganzen s in S gibt. Das Element k wird einen S gebundenen oberen genannt. Die Konzepte von begrenzten unten und tiefer gebunden werden ähnlich definiert. (Siehe auch obere und niedrigere Grenzen.)

Eine Teilmenge S eines teilweise bestellten Satzes P wird begrenzt genannt, wenn sie sowohl einen oberen als auch einen niedrigeren gebunden, oder gleichwertig hat, wenn sie in einem Zwischenraum enthalten wird. Bemerken Sie, dass das nicht nur ein Eigentum des Satzes S, aber einen des Satzes S als Teilmenge von P ist.

Ein begrenzter poset P (d. h. allein, nicht als Teilmenge) ist derjenige, der kleinstes Element und ein größtes Element hat. Bemerken Sie, dass dieses Konzept von boundedness nichts hat, um mit der begrenzten Größe zu tun, und dass eine Teilmenge S eines begrenzten poset P mit als Ordnung die Beschränkung der Ordnung auf P nicht notwendigerweise ein begrenzter poset ist.

Eine Teilmenge S R wird in Bezug auf die Euklidische Entfernung begrenzt, wenn, und nur wenn es als Teilmenge von R mit der Produktordnung gesprungen ist. Jedoch kann S als Teilmenge von R mit der lexikografischen Ordnung, aber nicht in Bezug auf die Euklidische Entfernung begrenzt werden.

sagt, ist eine Klasse von Ordinalzahlen, oder cofinal, wenn gegeben, jede Ordnungszahl unbegrenzt, es gibt immer ein Element der Klasse, die größer ist als es. So in diesem Fall "unbegrenzt" bedeutet unbegrenzt allein, aber unbegrenzt als Unterklasse der Klasse aller Ordinalzahlen nicht.

Siehe auch

• Begrenzte Funktion
• Lokaler boundedness
• Ordnungstheorie
• Völlig begrenzter