In der Mathematik ist ein topologischer Vektorraum (hat auch einen geradlinigen topologischen Raum genannt), eine der grundlegenden in der Funktionsanalyse untersuchten Strukturen. Da der Name darauf hinweist, dass der Raum eine topologische Struktur (eine gleichförmige Struktur vermischt, um genau zu sein), mit dem algebraischen Konzept eines Vektorraums.

Die Elemente von topologischen Vektorräumen sind normalerweise Funktionen oder geradlinige Maschinenbediener, die topologischen Vektorräumen folgen, und die Topologie wird häufig definiert, um einen besonderen Begriff der Konvergenz von Folgen von Funktionen zu gewinnen.

Räume von Hilbert und Banachräume sind wohl bekannte Beispiele.

Wenn nicht festgesetzt, sonst, wie man annimmt, ist das zu Grunde liegende Feld eines topologischen Vektorraums entweder oder.

Definition

Ein topologischer Vektorraum X ist ein Vektorraum über ein topologisches Feld K (meistenteils die reellen Zahlen oder komplexen Zahlen mit ihren Standardtopologien), der mit einer solcher Topologie ausgestattet ist, dass Vektor-Hinzufügung X × X  X und Skalarmultiplikation K × X  X dauernde Funktionen ist.

Einige Autoren (z.B, Rudin) verlangen, dass die Topologie auf X T ist; es folgt dann dem der Raum ist Hausdorff und sogar T3½. Die topologischen und geradlinigen algebraischen Strukturen können zusammen noch näher mit zusätzlichen Annahmen gebunden, am üblichsten werden, von denen unten verzeichnet werden.

Die Kategorie von topologischen Vektorräumen über ein gegebenes topologisches Feld K wird TVS oder TVect allgemein angezeigt. Die Gegenstände sind die topologischen Vektorräume über K, und die morphisms sind die dauernden K-Linear-Karten von einem Gegenstand bis einen anderen.

Beispiele

Alle normed Vektorräume, und deshalb alle Räume von Banach spaces und Hilbert, sind Beispiele von topologischen Vektorräumen.

Jedoch gibt es topologische Vektorräume, deren Topologie durch eine Norm nicht veranlasst wird, aber noch in der Analyse von Interesse ist. Beispiele solcher Räume sind Räume von Holomorphic-Funktionen auf einem offenen Gebiet, Räume ungeheuer differentiable Funktionen, die Räume von Schwartz, und Räume von Testfunktionen und die Räume des Vertriebs auf ihnen. Das sind alle Beispiele von Räumen von Montel. Andererseits sind unendliche dimensionale Räume von Montel nie normable.

Ein topologisches Feld ist ein topologischer Vektorraum über jedes seiner Teilfelder.

Produktvektorräume

Ein kartesianisches Produkt einer Familie von topologischen Vektorräumen, wenn ausgestattet, mit der Produkttopologie ist ein topologischer Vektorraum. Zum Beispiel, der Satz X aller Funktionen f: R  R. X kann mit dem Produktraum R identifiziert werden und trägt eine natürliche Produkttopologie. Mit dieser Topologie, X wird ein topologischer Vektorraum, genannt den Raum der pointwise Konvergenz. Der Grund für diesen Namen ist der folgende: Wenn (f) eine Folge von Elementen in X ist, dann hat f Grenze f in X, wenn, und nur wenn f (x) Grenze f (x) für jede reelle Zahl x hat. Dieser Raum, ist aber nicht normable abgeschlossen: Tatsächlich enthält jede Nachbarschaft 0 in der Produkttopologie Linien, d. h., setzt K f für f ≠ 0.

Topologische Struktur

Ein Vektorraum ist eine abelian Gruppe in Bezug auf die Operation der Hinzufügung, und in einem topologischen Vektorraum ist der inverse Betrieb immer dauernd (da es dasselbe als Multiplikation durch −1 ist). Folglich ist jeder topologische Vektorraum eine abelian topologische Gruppe.

Lassen Sie X ein topologischer Vektorraum sein. In Anbetracht eines Subraums der Quotient-Raum ist X/M mit der üblichen Quotient-Topologie Hausdorff topologischer Vektorraum, wenn, und nur wenn M geschlossen wird. Das erlaubt den folgenden Aufbau: In Anbetracht eines topologischen Vektorraums X (der wahrscheinlich nicht Hausdorff ist), bilden Sie den Quotient-Raum X / M, wo M der Verschluss dessen ist. X / ist M dann ein Vektor von Hausdorff topologischer Raum, der statt X studiert werden kann.

Insbesondere topologische Vektorräume sind gleichförmige Räume, und man kann so über die Vollständigkeit, gleichförmige Konvergenz und gleichförmige Kontinuität sprechen. (Das deutet an, dass jeder Hausdorff topologischer Vektorraum völlig regelmäßig ist.) Die Vektorraum-Operationen der Hinzufügung und Skalarmultiplikation sind wirklich gleichförmig dauernd. Wegen dessen kann jeder topologische Vektorraum vollendet werden und ist so ein dichter geradliniger Subraum eines ganzen topologischen Vektorraums.

Wie man

sagt, ist ein topologischer Vektorraum normable, wenn seine Topologie durch eine Norm veranlasst werden kann. Ein topologischer Vektorraum ist normable, wenn, und nur wenn es Hausdorff ist und eine konvexe begrenzte Nachbarschaft 0 hat.

Wenn ein topologischer Vektorraum semi-metrizable ist, der die Topologie ist, kann durch einen halbmetrischen gegeben werden, dann kann das halbmetrische gewählt werden, um Übersetzung invariant zu sein. Außerdem ist ein topologischer Vektorraum metrizable, wenn, und nur wenn es Hausdorff ist und eine zählbare lokale Basis (d. h., eine Nachbarschaft-Basis am Ursprung) hat.

Ein geradliniger Maschinenbediener zwischen zwei topologischen Vektorräumen, der einmal dauernd ist, ist auf dem ganzen Gebiet dauernd. Außerdem ist ein geradliniger Maschinenbediener f dauernd, wenn f (V) für eine Nachbarschaft V 0 begrenzt wird.

Ein Hyperflugzeug auf einem topologischen Vektorraum X ist entweder dicht oder geschlossen. Ein geradliniger funktioneller f auf einem topologischen Vektorraum X hat entweder dichten oder geschlossenen Kern. Außerdem ist f dauernd, wenn, und nur wenn sein Kern geschlossen wird.

Jeder Hausdorff begrenzte dimensionale topologische Vektorraum ist zu K für das ein topologisches Feld K isomorph. Insbesondere Hausdorff topologischer Vektorraum ist endlich-dimensional, wenn, und nur wenn es lokal kompakt ist.

Lokale Begriffe

Eine Teilmenge E  eines topologischen Vektorraums X  wird gesagt, zu sein

• erwogen wenn für jeden Skalar t  ≤ 1
• begrenzt wenn für jede Nachbarschaft V 0, dann, wenn t genug groß ist.

Die Definition von boundedness kann ein bisschen geschwächt werden; E wird begrenzt, wenn, und nur wenn jede zählbare Teilmenge davon begrenzt wird. Außerdem wird E begrenzt, wenn, und nur wenn für jede erwogene Nachbarschaft V 0, dort solcher t dass besteht. Außerdem, wenn X lokal konvex ist, kann der boundedness durch Halbnormen charakterisiert werden: Die Teilmenge E wird iff begrenzt jede dauernde Halbnorm p wird auf E begrenzt.

Jeder topologische Vektorraum hat eine lokale Basis des Aufsaugens und der erwogenen Sätze.

Wie man

sagt, ist eine Folge Cauchy, wenn für jede Nachbarschaft V 0 der Unterschied V gehört, wenn M und n genug groß sind. Jede Cauchyfolge wird begrenzt, obwohl Netze von Cauchy oder Filter von Cauchy nicht begrenzt werden dürfen. Ein topologischer Vektorraum, wo jede Cauchyfolge zusammenläuft, ist folgend abgeschlossen, aber kann nicht abgeschlossen sein (im Sinn Filter von Cauchy laufen zusammen). Jeder Kompaktsatz wird begrenzt.

Typen von topologischen Vektorräumen

Abhängig von der Anwendung werden zusätzliche Einschränkungen gewöhnlich bei der topologischen Struktur des Raums beachtet. Tatsächlich läuft mehreres Rektor auf Funktionsanalyse hinaus scheitern, im Allgemeinen für topologische Vektorräume zu halten: Der geschlossene Graph-Lehrsatz, der offene kartografisch darstellende Lehrsatz und die Tatsache, dass der Doppelraum des Raums Punkte im Raum trennt.

Unten sind einige allgemeine topologische Vektorräume, die grob durch ihre Feinheit bestellt sind.

• Lokal konvexe topologische Vektorräume: Hier hat jeder Punkt eine lokale Basis, die aus konvexen Sätzen besteht. Durch eine Technik bekannt als Minkowski functionals kann es gezeigt werden, dass ein Raum lokal konvex ist, wenn, und nur wenn seine Topologie von einer Familie von Halbnormen definiert werden kann. Lokale Konvexität ist die minimale Voraussetzung für "geometrische" Argumente wie der Hahn-Banach Lehrsatz.
• Fassförmige Räume: Lokal konvexe Räume, wo der Banach-Steinhaus Lehrsatz hält.
• Raum von Montel: Ein fassförmiger Raum, wo jeder geschlossene und begrenzte Satz kompakter ist
• Raum von Bornological: Ein lokal konvexer Raum, wo die dauernden geradlinigen Maschinenbediener zu jedem lokal konvexen Raum genau die begrenzten geradlinigen Maschinenbediener sind.
• LF-Räume sind Grenzen von Räumen von Fréchet. ILH Räume sind umgekehrte Grenzen von Räumen von Hilbert.
• F-Räume sind ganze topologische Vektorräume mit einer metrischen Übersetzung-invariant. Diese schließen L Räume für den ganzen p &gt ein; 0.
• Räume von Fréchet: Das sind ganze lokal konvexe Räume, wohin die Topologie aus einer Übersetzung-invariant metrisch, oder gleichwertig kommt: von einer zählbaren Familie von Halbnormen. Viele interessante Räume von Funktionen fallen in diese Klasse. Ein lokal konvexer F-Raum ist ein Raum von Fréchet.
• Kernräume: Das sind lokal konvexe Räume mit dem Eigentum, dass jede begrenzte Karte vom Kernraum bis einen willkürlichen Banachraum ein Kernmaschinenbediener ist.
• Räume von Normed und semi-normed Räume: Lokal konvexe Räume, wo die Topologie durch eine einzelne Norm oder Halbnorm beschrieben werden kann. In normed Räumen ist ein geradliniger Maschinenbediener dauernd, wenn, und nur wenn es begrenzt wird.
• Banachräume: Vollenden Sie normed Vektorräume. Der grösste Teil der Funktionsanalyse wird für Banachräume formuliert.
• Reflexive Banachräume: Banachräume, die natürlich zu ihrem doppelten Doppel-(sieh unten) isomorph sind, der sicherstellt, dass einige geometrische Argumente ausgeführt werden können. Ein wichtiges Beispiel, das nicht reflexiv ist, ist L, dessen Doppel-L ist, aber im Doppel-von L ausschließlich enthalten wird.
• Räume von Hilbert: Diese haben ein Skalarprodukt; wenn auch diese Räume dimensional sein unendlich können, kann der grösste Teil geometrischen von begrenzten Dimensionen vertrauten Denkens in ihnen ausgeführt werden.
• Euklidische Räume: R oder C mit der durch das Standardskalarprodukt veranlassten Topologie. Wie hingewiesen, in der vorhergehenden Abteilung, für einen gegebenen begrenzten n, gibt es nur einen n-dimensional topologischen Vektorraum bis zum Isomorphismus. Es folgt daraus, dass jeder begrenzte dimensionale Subraum eines TVS geschlossen wird. Eine Charakterisierung von begrenztem dimensionality besteht darin, dass ein Hausdorff TVS lokal kompakt ist, wenn, und nur wenn es dimensional (deshalb isomorph zu einem Euklidischen Raum) begrenzt ist.

Doppelraum

Jeder topologische Vektorraum hat einen dauernden Doppelraum - der Satz V aller dauernden geradlinigen functionals, d. h. dauernder geradliniger Karten vom Raum ins Grundfeld K. Eine Topologie auf dem Doppel-kann definiert werden, um die rauste solche Topologie zu sein, dass die Doppelpaarung von V × V  K dauernd ist. Das verwandelt den Doppel-in einen lokal konvexen topologischen Vektorraum. Diese Topologie wird weak-* Topologie genannt. Das kann nicht die einzige natürliche Topologie auf dem Doppelraum sein; zum Beispiel ließ der Doppel-von einem Banachraum eine natürliche Norm darauf definieren. Jedoch ist es in Anwendungen wegen seiner Kompaktheitseigenschaften sehr wichtig (sieh Banach-Alaoglu Lehrsatz).

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