Die Vermutung von Hodge ist ein ungelöstes Hauptproblem in der algebraischen Geometrie, die die algebraische Topologie einer nichtsingulären komplizierten algebraischen Vielfalt und die Subvarianten dieser Vielfalt verbindet. Mehr spezifisch sagt die Vermutung, dass bestimmter de Rham cohomology Klassen algebraisch ist, d. h. sind sie Summen von Poincaré duals der Homologie-Klassen von Subvarianten. Die Vermutung von Hodge ist eines der Tonmathematik-Institutmillennium-Preis-Probleme, mit einem Preis von 1,000,000 $ dafür, wer auch immer beweisen oder die Vermutung von Hodge mit "ein Argument" widerlegen kann. Es wurde vom schottischen Mathematiker William Vallance Douglas Hodge infolge einer Arbeit zwischen 1930 und 1940 formuliert, um die Beschreibung von De Rham cohomology zu bereichern, um Extrastruktur einzuschließen, die im Fall von komplizierten algebraischen Varianten da ist.

Motivation

Lassen Sie X eine komplizierte Kompaktsammelleitung der komplizierten Dimension n sein. Dann X ist ein orientable glatte Sammelleitung der echten Dimension 2n, so lügen seine cohomology Gruppen in der Grad-Null durch 2n. Nehmen Sie X an ist eine Sammelleitung von Kähler, so dass es eine Zergliederung auf seinem cohomology mit komplizierten Koeffizienten gibt:

:

wo die Untergruppe von cohomology Klassen ist, die durch harmonische Formen des Typs (p, q) vertreten werden. D. h. das sind die cohomology Klassen, die durch Differenzialformen vertreten sind, die, in etwas Wahl von lokalen Koordinaten, als eine harmonische Funktion Zeiten geschrieben werden können. (Sieh Theorie von Hodge für mehr Details.), Keil-Produkte dieser harmonischen Vertreter nehmend, entspricht dem Tasse-Produkt in cohomology, so ist das Tasse-Produkt mit der Zergliederung von Hodge vereinbar:

:

Seitdem X ist eine orientierte Kompaktsammelleitung, X hat eine grundsätzliche Klasse.

Lassen Sie Z eine komplizierte Subsammelleitung von X der Dimension k sein, und mich zu lassen: Z  X, die Einschließungskarte sein. Wählen Sie eine Differenzialform des Typs (p, q). Wir können über Z integrieren:

:

Um dieses Integral zu bewerten, wählen Sie einen Punkt von Z und nennen Sie es 0. Ungefähr 0 können wir lokale Koordinaten auf X solch wählen, dass Z gerade ist. Wenn p> k, dann einige enthalten muss, wo zur Null auf Z zurückzieht. Dasselbe ist wenn q> k wahr. Folglich ist dieses Integral Null wenn (p, q)  (k, k).

Abstrakter kann das Integral als das Kappe-Produkt der Homologie-Klasse von Z und der cohomology Klasse geschrieben werden, die dadurch vertreten ist. Durch die Poincaré Dualität ist die Homologie-Klasse von Z zu einer cohomology Klasse Doppel-, die wir [Z] nennen werden, und das Kappe-Produkt durch die Einnahme des Tasse-Produktes von [Z] und und das Bedecken mit der grundsätzlichen Klasse X geschätzt werden kann. Weil [Z] eine cohomology Klasse ist, hat er eine Zergliederung von Hodge. Durch die Berechnung haben wir oben getan, wenn wir über diese Klasse mit einer Klasse des Typs (p, q)  wölben (k, k), dann bekommen wir Null. Weil wir beschließen, dass [Z] darin liegen muss. Lose sprechend, fragt die Vermutung von Hodge:

:Which cohomology Klassen im gekommenen von komplizierten Subvarianten Z?

Behauptung der Vermutung von Hodge

Lassen Sie:

:

Wir nennen das die Gruppe von Klassen von Hodge des Grads 2k auf X.

Die moderne Behauptung der Vermutung von Hodge ist:

:Hodge-Vermutung. Lassen Sie X eine projektive komplizierte Sammelleitung sein. Dann ist jede Klasse von Hodge auf X eine geradlinige Kombination mit vernünftigen Koeffizienten der cohomology Klassen von komplizierten Subvarianten X.

Eine projektive komplizierte Sammelleitung ist eine komplizierte Sammelleitung, die im komplizierten projektiven Raum eingebettet werden kann. Weil projektiver Raum Kähler metrisch, die metrische Fubini-Studie trägt, ist solch eine Sammelleitung immer eine Sammelleitung von Kähler. Durch den Lehrsatz des Chow-Chows ist eine projektive komplizierte Sammelleitung auch eine glatte projektive algebraische Vielfalt, d. h. es ist der Nullsatz einer Sammlung von homogenous Polynomen.

Neue Darlegung in Bezug auf algebraische Zyklen

Eine andere Weise, die Vermutung von Hodge auszudrücken, schließt die Idee von einem algebraischen Zyklus ein. Ein algebraischer Zyklus auf X ist eine formelle Kombination von Subvarianten X, d. h. es ist etwas der Form:

:

Die Koeffizienten werden gewöhnlich genommen, um integriert oder vernünftig zu sein. Wir definieren die cohomology Klasse eines algebraischen Zyklus, um die Summe der cohomology Klassen seiner Bestandteile zu sein. Das ist ein Beispiel der Zyklus-Klassenkarte von de Rham cohomology, sieh Weil cohomology. Zum Beispiel würde die cohomology Klasse des obengenannten Zyklus sein:

:

Solch eine cohomology Klasse wird algebraisch genannt. Mit dieser Notation wird die Vermutung von Hodge:

:Let X, eine projektive komplizierte Sammelleitung sein. Dann ist jede Klasse von Hodge auf X algebraisch.

Bekannte Fälle der Vermutung von Hodge

Niedrige Dimension und codimension

Das erste Ergebnis auf der Vermutung von Hodge ist wegen. Tatsächlich datiert es die Vermutung zurück und hat etwas von der Motivation von Hodge zur Verfügung gestellt.

:Theorem (Lehrsatz von Lefschetz auf (1,1) - Klassen) Jedes Element dessen ist die cohomology Klasse eines Teilers auf X. Insbesondere die Vermutung von Hodge ist dafür wahr.

Ein sehr schneller Beweis kann mit dem Bündel cohomology und der genauen Exponentialfolge gegeben werden. (Die cohomology Klasse eines Teilers erweist sich, zu seiner ersten Klasse von Chern gleich zu sein.) ist der ursprüngliche Beweis von Lefschetz nach normalen Funktionen weitergegangen, die von Henri Poincaré eingeführt wurden. Jedoch zeigt Lehrsatz von Griffiths transversality, dass diese Annäherung die Vermutung von Hodge für höher codimensional Subvarianten nicht beweisen kann.

Durch den Harten Lefschetz Lehrsatz kann man sich erweisen:

:Theorem. Wenn die Vermutung von Hodge für Klassen von Hodge des Grads p, p &lt hält; n dann hält die Vermutung von Hodge für Klassen von Hodge des Grads 2n − p.

Das Kombinieren der obengenannten zwei Lehrsätze deutet an, dass Vermutung von Hodge für Klassen von Hodge des Grads 2n &minus wahr ist; 2. Das beweist die Vermutung von Hodge, wenn X Dimension höchstens drei hat.

Der Lefschetz Lehrsatz auf (1,1) - Klassen deuten auch dass an, wenn alle Klassen von Hodge durch die Klassen von Hodge von Teilern erzeugt werden, dann ist die Vermutung von Hodge wahr:

:Corollary. Wenn die Algebra

::

: wird durch Hdg (X) erzeugt, dann hält die Vermutung von Hodge für X.

Varianten von Abelian

Für die meisten abelian Varianten wird die Algebra im Grad ein erzeugt, so hält die Vermutung von Hodge. Insbesondere die Vermutung von Hodge hält für genug allgemeine abelian Varianten, für Produkte von elliptischen Kurven, und für einfache abelian Varianten. Jedoch, gebaut ein Beispiel einer abelian Vielfalt, wo durch Produkte von Teiler-Klassen nicht erzeugt wird. verallgemeinert dieses Beispiel durch die Vertretung, dass, wann auch immer die Vielfalt komplizierte Multiplikation durch ein imaginäres quadratisches Feld dann hat, durch Produkte von Teiler-Klassen nicht erzeugt wird. bewiesen, dass in der Dimension weniger als 5, entweder im Grad ein erzeugt werden, oder hat die Vielfalt komplizierte Multiplikation durch ein imaginäres quadratisches Feld. Im letzten Fall ist die Vermutung von Hodge nur in speziellen Fällen bekannt.

Generalisationen

Die integrierte Vermutung von Hodge

Die ursprüngliche Vermutung von Hodge war:

:Integral Vermutung von Hodge. Lassen Sie X eine projektive komplizierte Sammelleitung sein. Dann ist jede cohomology Klasse darin die cohomology Klasse eines algebraischen Zyklus mit integrierten Koeffizienten auf X.

Wie man

jetzt bekannt, ist das falsch. Das erste Gegenbeispiel wurde dadurch gebaut. Mit der K-Theorie haben sie ein Beispiel einer Verdrehung Klasse von Hodge gebaut, d. h. ein Hodge klassifiziert solch das für eine positive ganze Zahl n. Solch eine cohomology Klasse kann nicht die Klasse eines Zyklus sein. wiederinterpretiert ihr Ergebnis im Fachwerk von cobordism und gefunden viele Beispiele von Verdrehungsklassen.

Die einfachste Anpassung der integrierten Vermutung von Hodge ist:

:Integral Vermutung von Hodge modulo Verdrehung. Lassen Sie X eine projektive komplizierte Sammelleitung sein. Dann ist jede Nichtverdrehung cohomology Klasse darin die cohomology Klasse eines algebraischen Zyklus mit integrierten Koeffizienten auf X.

Das ist auch falsch. gefunden ein Beispiel einer Klasse von Hodge, die nicht algebraisch ist, aber die ein integriertes Vielfache hat, das algebraisch ist.

Die Vermutung von Hodge für Varianten von Kähler

Eine natürliche Generalisation der Vermutung von Hodge würde fragen:

:Hodge mutmaßen für Varianten von Kähler, naive Version. Lassen Sie X eine komplizierte Sammelleitung von Kähler sein. Dann ist jede Klasse von Hodge auf X eine geradlinige Kombination mit vernünftigen Koeffizienten der cohomology Klassen von komplizierten Subvarianten X.

Das ist zu optimistisch, weil es nicht genug Subvarianten gibt, um diese Arbeit zu machen. Ein möglicher Ersatz soll stattdessen einen der zwei im Anschluss an Fragen fragen:

:Hodge mutmaßen für Varianten von Kähler, Vektor-Bündel-Version. Lassen Sie X eine komplizierte Sammelleitung von Kähler sein. Dann ist jede Klasse von Hodge auf X eine geradlinige Kombination mit vernünftigen Koeffizienten von Klassen von Chern von Vektor-Bündeln auf X.

:Hodge mutmaßen für Varianten von Kähler, zusammenhängende Bündel-Version. Lassen Sie X eine komplizierte Sammelleitung von Kähler sein. Dann ist jede Klasse von Hodge auf X eine geradlinige Kombination mit vernünftigen Koeffizienten von Klassen von Chern von zusammenhängenden Bündeln auf X.

bewiesen, dass die Klassen von Chern von zusammenhängenden Bündeln ausschließlich mehr Klassen von Hodge geben als die Klassen von Chern von Vektor-Bündeln, und dass die Klassen von Chern von zusammenhängenden Bündeln ungenügend sind, um alle Klassen von Hodge zu erzeugen. Folglich sind die einzigen bekannten Formulierungen der Vermutung von Hodge für Varianten von Kähler falsch.

Die verallgemeinerte Vermutung von Hodge

Hodge hat eine zusätzliche, stärkere Vermutung gemacht als die integrierte Vermutung von Hodge. Sagen Sie, dass eine cohomology Klasse auf X des Niveaus c ist, wenn es der pushforward einer cohomology Klasse auf einer c-codimensional Subvielfalt X ist. Die cohomology Klassen des Niveaus mindestens c filtern den cohomology X, und es ist leicht zu sehen, dass der cth Schritt des Filtrierens befriedigt

:

Die ursprüngliche Behauptung von Hodge war:

:Generalized Vermutung von Hodge, die Version von Hodge.

beobachtet, dass das sogar mit vernünftigen Koeffizienten nicht wahr sein kann, weil die Rechte nicht immer eine Struktur von Hodge ist. Seine korrigierte Form der Vermutung von Hodge ist:

:Generalized Vermutung von Hodge. ist die größte Struktur von sub-Hodge von enthaltenen in

Diese Version ist offen.

Algebraicity von geometrischen Orten von Hodge

Die stärksten Beweise für die Vermutung von Hodge sind das algebraicity Ergebnis dessen. Nehmen Sie an, dass wir die komplizierte Struktur X über eine einfach verbundene Basis ändern. Dann ändert sich der topologische cohomology X nicht, aber die Zergliederung von Hodge ändert sich wirklich. Es ist bekannt, dass, wenn die Vermutung von Hodge wahr ist, dann ist der geometrische Ort aller Punkte auf der Basis, wo der cohomology einer Faser eine Klasse von Hodge ist, tatsächlich eine algebraische Teilmenge, d. h. es durch polynomische Gleichungen ausgeschnitten wird. Cattani, Deligne & Kaplan (1995) hat bewiesen, dass das immer wahr ist, ohne die Vermutung von Hodge anzunehmen.

Siehe auch

• Tate-Vermutung

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• Nachgedruckt darin.

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Außenverbindungen

• Die Tonmathematik errichtet offizielle Problem-Beschreibung (pdf)
• Populärer Vortrag auf der Vermutung von Hodge durch Dan Freed (Universität Texas) (Echtes Video) (Gleiten)
• Indranil Biswas; Kapil Paranjape. Die Vermutung von Hodge für Varianten von General Prym