In der Funktionsanalyse werden zwei Maßnahmen der Nichtkompaktheit allgemein verwendet; diese Mitzahlen zu Sätzen auf solche Art und Weise, dass Kompaktsätze alle das Maß 0 und die anderen Sätze bekommen, bekommen Maßnahmen, die gemäß größer sind, "wie weit" sie von der Kompaktheit entfernt werden.

Die zu Grunde liegende Idee ist der folgende: Ein begrenzter Satz kann durch einen einzelnen Ball von einem Radius bedeckt werden. Manchmal können mehrere Bälle eines kleineren Radius auch den Satz bedecken. Ein Kompaktsatz kann tatsächlich durch begrenzt viele Bälle des willkürlichen kleinen Radius bedeckt werden, weil es völlig begrenzt wird. So konnte man fragen: Wie ist der kleinste Radius, der erlaubt, den Satz mit begrenzt vielen Bällen zu bedecken?

Formell fangen wir mit einer metrischen RaumM und einer Teilmenge X an. Das Ball-Maß der Nichtkompaktheit wird als definiert

:α (X) = inf {r> 0: Dort bestehen Sie begrenzt viele Bälle des Radius r, die X }\bedecken

und das Maß von Kuratowski der Nichtkompaktheit wird als definiert

:β (X) = inf {d> 0: Dort bestehen Sie begrenzt viele Sätze des Diameters an den meisten d, die X }\bedecken

Da ein Ball des Radius r Diameter höchstens 2r hat, haben wir α (X)  β (X)  2α (X).

Die zwei Maßnahmen α und β teilen viele Eigenschaften, und wir werden γ in der Fortsetzung verwenden, um jeden von ihnen anzuzeigen. Hier ist eine Sammlung von Tatsachen:

• X wird begrenzt, wenn und nur wenn γ (X)), wo X den Verschluss von X. anzeigt
• Wenn X, dann γ (X) = 0 kompakt ist. Umgekehrt, wenn γ (X) = 0 und X abgeschlossen ist, dann X ist kompakt.
• γ (X  Y) = max (γ (X), γ (Y)) für irgendwelche zwei Teilmengen X und Y.
• γ ist in Bezug auf die Entfernung von Hausdorff von Sätzen dauernd.

Maßnahmen der Nichtkompaktheit werden meistens verwendet, wenn M ein normed Vektorraum ist. In diesem Fall haben wir außerdem:

• γ (Axt) = ein γ (X) für jeden Skalar ein
• γ (X + Y)  γ (X) + γ (Y)
• γ (conv (X)) = γ (X), wo conv (X) den konvexen Rumpf von X anzeigt

Bemerken Sie, dass diese Maßnahmen der Nichtkompaktheit für Teilmengen des Euklidischen Raums R nutzlos sind: Durch den Lehrsatz von Heine-Borel ist jeder begrenzte geschlossene Satz dort kompakt, was bedeutet, dass γ (X) = 0 oder  gemäß, ob X begrenzt wird oder nicht.

Maßnahmen der Nichtkompaktheit sind jedoch in der Studie von unendlich-dimensionalen Banachräumen zum Beispiel nützlich. In diesem Zusammenhang kann man beweisen, dass jeder Ball B des Radius r α (B) = r und β (B) = 2r hat.