In der Physik und Mathematik ist die Gruppe von Poincaré, genannt nach Henri Poincaré, die Gruppe von Isometrien der Raum-Zeit von Minkowski.

Einfache Erklärung

Eine Isometrie ist ein Weg, auf den der Inhalt der Raum-Zeit ausgewechselt werden konnte, der die richtige Zeit entlang einer Schussbahn zwischen Ereignissen nicht betreffen würde. Zum Beispiel, wenn alles um zwei Stunden einschließlich zwei Ereignisse und des Pfads verschoben wurde, haben Sie genommen, um von einem bis den anderen, dann der Zeitabstand zwischen den Ereignissen zu gehen, die durch eine Stoppuhr registriert sind, die Sie mit Ihnen getragen haben, würde dasselbe sein. Oder wenn alles fünf Meilen nach Westen ausgewechselt würde, würden Sie auch keine Änderung im Zwischenraum sehen. Es stellt sich heraus, dass die Länge einer Stange auch durch solch eine Verschiebung ungekünstelt ist.

Wenn Sie die Effekten des Ernstes ignorieren, dann gibt es zehn grundlegende Weisen, solche Verschiebungen zu tun: Übersetzung im Laufe der Zeit, Übersetzung durch einige der drei Dimensionen des Raums, Folge (durch einen festen Winkel) um einige der drei Raumäxte oder eine Zunahme in einigen der drei Raumrichtungen. 10=1+3+3+3. Wenn Sie sich verbinden, solche Isometrien zusammen (tun Sie ein und dann der andere), das Ergebnis ist auch solch eine Isometrie (obwohl nicht allgemein einer der zehn grundlegenden). Diese Isometrien bilden eine Gruppe. D. h. es gibt eine Identität (keine Verschiebung, alles bleibt, wo es war), und Gegenteile (treiben Sie alles dazu zurück, wo es war), und es dem assoziativen Gesetz folgt. Der Name dieser besonderen Gruppe ist die "Gruppe von Poincaré".

Technische Erklärung

Die Poincaré Gruppe ist die Gruppe von Isometrien der Raum-Zeit von Minkowski. Es ist eine 10-dimensionale Nichtkompaktlüge-Gruppe. Die abelian Gruppe von Übersetzungen ist eine normale Untergruppe, während die Gruppe von Lorentz eine Untergruppe, der Ausgleicher eines Punkts ist. D. h. die volle Gruppe von Poincaré ist die affine Gruppe der Gruppe von Lorentz, d. h. die Gruppe von Poincaré ist ein halbdirektes Produkt der Übersetzungen und der Transformationen von Lorentz:

Eine andere Weise, es zu stellen, besteht darin, dass die Gruppe von Poincaré eine Gruppenerweiterung der Gruppe von Lorentz durch eine Vektor-Darstellung davon ist.

Seine positive Energie werden einheitliche nicht zu vereinfachende Darstellungen durch die Masse (nichtnegative Zahl) und Drehung (ganze Zahl oder Hälfte der ganzen Zahl) mit einem Inhaltsverzeichnis versehen, und werden mit Partikeln in der Quant-Mechanik vereinigt.

In Übereinstimmung mit dem Programm von Erlangen wird die Geometrie des Raums von Minkowski von der Gruppe von Poincaré definiert: Raum von Minkowski wird als ein homogener Raum für die Gruppe betrachtet.

Die Poincaré Algebra ist die Lüge-Algebra der Gruppe von Poincaré. In der Teilform wird die Algebra von Poincaré durch die Umwandlungsbeziehungen gegeben:

wo der Generator von Übersetzungen ist, der Generator von Transformationen von Lorentz ist und der metrische Minkowski ist (sieh Zeichen-Tagung).

Die Poincaré Gruppe ist die volle Symmetrie-Gruppe jeder relativistischen Feldtheorie. Infolgedessen fallen alle elementaren Partikeln in Darstellungen dieser Gruppe. Diese werden gewöhnlich durch die vier-Schwünge-von jeder Partikel (d. h. seine Masse) und die inneren Quantenzahlen J angegeben, wo J die Drehungsquantenzahl ist, ist P die Gleichheit, und C ist die Anklage-Konjugationsquantenzahl. Viele Quant-Feldtheorien verletzen wirklich Gleichheit und beladen Konjugation. In jenen Fällen lassen wir den P und den C fallen. Da CPT ein invariance jeder Quant-Feldtheorie ist, konnte eine Zeitumkehrungsquantenzahl aus denjenigen leicht gebaut werden, die gegeben sind.

Als ein topologischer Raum hat die Gruppe vier verbundene Bestandteile: der Bestandteil der Identität; die Zeit hat Bestandteil umgekehrt; der Rauminversionsbestandteil; und der Bestandteil, der sowohl Zeit umgekehrt als auch räumlich umgekehrt ist.

Symmetrie von Poincaré

Symmetrie von Poincaré ist die volle Symmetrie der speziellen Relativität und schließt ein

• Übersetzungen (d. h., Versetzungen) rechtzeitig und Raum (bilden diese den abelian, Liegen Gruppe von Übersetzungen auf der Raum-Zeit)
• Folgen im Raum (bildet das den non-Abelian, Liegen Gruppe von 3-dimensionalen Folgen)
• Zunahmen, d. h., Transformationen, die zwei gleichförmig bewegende Körper verbinden.

Die letzten zwei symmetries setzen zusammen die Gruppe von Lorentz zusammen (sieh Lorentz invariance). Das sind Generatoren einer Lüge-Gruppe genannt die Gruppe von Poincaré, die ein halbdirektes Produkt der Gruppe von Übersetzungen und der Gruppe von Lorentz ist. Wie man sagt, haben Dinge, die invariant unter dieser Gruppe sind, Poincaré invariance oder relativistischen invariance.

Siehe auch

• Euklidische Gruppe
• Darstellungstheorie der Gruppe von Poincaré
• Die Klassifikation von Wigner