In der Mathematik ist die Maschinenbediener-Norm ein Mittel, die "Größe" von bestimmten geradlinigen Maschinenbedienern zu messen. Formell ist es eine Norm, die auf dem Raum von begrenzten geradlinigen Maschinenbedienern zwischen zwei gegebenen normed Vektorräumen definiert ist.

Einführung und Definition

In Anbetracht zwei normed Vektorräume V und W (über dasselbe Grundfeld, entweder die reellen Zahlen R oder die komplexen Zahlen C), eine geradlinige Karte A: V  W sind dauernd, wenn, und nur wenn dort eine reelle Zahl c solch dass besteht

:

(die Norm ist links diejenige in W, die Norm ist rechts diejenige in V). Intuitiv "verlängert" der dauernde Maschinenbediener nie jeden Vektoren mehr als durch einen Faktor von c. So wird das Image eines begrenzten Satzes unter einem dauernden Maschinenbediener auch begrenzt. Wegen dieses Eigentums sind die dauernden geradlinigen Maschinenbediener auch bekannt als begrenzte Maschinenbediener. Um die Größe" von A "zu messen, scheint es dann natürlich, die kleinste solche Nummer c zu nehmen, dass die obengenannte Ungleichheit für den ganzen v in V hält. Mit anderen Worten messen wir die "Größe" dadurch, wie viel sie Vektoren im "größten" Fall "verlängert". So definieren wir die Maschinenbediener-Norm als

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(das Minimum besteht, weil der Satz des ganzen c geschlossen, nichtleer wird, und von unten begrenzt).

Beispiele

Jede echte m-by-n Matrix gibt eine geradlinige Karte von R bis R nach. Man kann mehrere verschiedene Normen auf diesen Räumen, wie erklärt, im Artikel über Normen stellen. Jede solche Wahl von Normen verursacht eine Maschinenbediener-Norm und gibt deshalb eine Norm auf dem Raum des ganzen m-by-n matrices nach. Beispiele können im Artikel über Matrixnormen gefunden werden.

Wenn wir spezifisch die Euklidische Norm sowohl auf R als auch auf R wählen, dann erhalten wir die Matrixnorm, welch zu einer gegebenen Matrix A die Quadratwurzel des größten eigenvalue des Matrix-AA zuteilt (wo A anzeigt, dass die verbundenen von A umstellen). Das ist zum Zuweisen des größten einzigartigen Werts von A gleichwertig.

Wenn Sie

zu einem typischen unendlichen dimensionalen Beispiel gehen, betrachten Sie den Folge-Raum als definiert durch

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Das kann als eine unendliche dimensionale Entsprechung des Euklidischen Raums C angesehen werden. Nehmen Sie jetzt eine begrenzte Folge

s = (s). Die Folge s ist ein Element des Raums l mit einer durch gegebenen Norm

:

Definieren Sie einen Maschinenbediener T durch einfach die Multiplikation:

:

Der Maschinenbediener T wird mit der Maschinenbediener-Norm begrenzt

:

Man kann diese Diskussion direkt zum Fall erweitern, wo l durch einen Raum von General L mit p> 1 und durch L ersetzter l ersetzt wird.

Gleichwertige Definitionen

Man kann zeigen, dass die folgenden Definitionen die ganze Entsprechung sind:

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\|A \|_ {op} &= \inf\{c: \|Av \| \le c \| v \| \mbox {für alle} v\in V\} \\

&= \sup\{\\|Av \|: v\in V \mbox {mit }\\|v \| \le 1\} \\

&= \sup\{\\|Av \|: v\in V \mbox {mit }\\|v \| = 1\} \\

&= \sup\left\{\\frac {\\|Av \|} {\\|v \|}: v\in V \mbox {mit} v\ne 0\right\}.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Eigenschaften

Die Maschinenbediener-Norm ist tatsächlich eine Norm auf dem Raum aller begrenzten Maschinenbediener zwischen V und W. Das bedeutet

:::

Die folgende Ungleichheit ist eine unmittelbare Folge der Definition:

:

Die Maschinenbediener-Norm ist auch mit der Zusammensetzung oder Multiplikation von Maschinenbedienern vereinbar: Wenn V, W und X drei normed Räume über dasselbe Grundfeld und A sind: V  W und B: W  X sind zwei begrenzte Maschinenbediener, dann

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Für begrenzte Maschinenbediener auf V deutet das an, dass Maschinenbediener-Multiplikation gemeinsam dauernd ist.

Es folgt aus der Definition, dass eine Folge von Maschinenbedienern in Maschinenbediener-Norm-Mitteln zusammenläuft, laufen sie gleichförmig auf begrenzten Sätzen zusammen.

Maschinenbediener auf einem Raum von Hilbert

Nehmen Sie an, dass H ein echter oder komplizierter Raum von Hilbert ist. Wenn A: H  ist H ein begrenzter geradliniger Maschinenbediener, dann haben wir

:und:

wo A den adjoint Maschinenbediener anzeigt (der in Euklidischen Hilbert Räumen mit dem Standardskalarprodukt dem verbundenen entspricht, stellen von der Matrix A um).

Im Allgemeinen wird der geisterhafte Radius von A oben durch die Maschinenbediener-Norm von A begrenzt:

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Um zu sehen, warum Gleichheit nicht immer halten kann, denken Sie die Jordannormalform einer Matrix im begrenzten dimensionalen Fall. Weil es Nichtnulleinträge auf der Superdiagonale gibt, kann Gleichheit verletzt werden. Die quasinilpotent Maschinenbediener sind eine Klasse solcher Beispiele. Eine Nichtnull quasinilpotent Maschinenbediener A hat Spektrum {0}. So ρ (A) = 0 während || A> 0.

Jedoch, wenn eine Matrix N normal ist, ist seine Jordannormalform (bis zur einheitlichen Gleichwertigkeit) diagonal; das ist der geisterhafte Lehrsatz. In diesem Fall ist es leicht, das zu sehen

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Der geisterhafte Lehrsatz kann normalen Maschinenbedienern im Allgemeinen erweitert werden. Deshalb hält die obengenannte Gleichheit für jeden begrenzten normalen Maschinenbediener N. Diese Formel kann manchmal verwendet werden, um die Maschinenbediener-Norm eines gegebenen begrenzten Maschinenbedieners A zu schätzen: Definieren Sie den Maschinenbediener von Hermitian H = AA, bestimmen Sie seinen geisterhaften Radius, und nehmen Sie die Quadratwurzel, um die Maschinenbediener-Norm von A zu erhalten.

Der Raum von begrenzten Maschinenbedienern auf H, mit der durch die Maschinenbediener-Norm veranlassten Topologie, ist nicht trennbar. Denken Sie zum Beispiel den Raum von Hilbert L [0,1]. Für 0, die charakteristische Funktion [0, t], und P sein, der Multiplikationsmaschinenbediener sein, der durch Ω gegeben ist, d. h.

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Dann ist jeder P ein begrenzter Maschinenbediener mit der Maschinenbediener-Norm 1 und

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Aber {P} ist ein unzählbarer Satz. Das deutet an, dass der Raum von begrenzten Maschinenbedienern auf L [0,1] in der Maschinenbediener-Norm nicht trennbar ist. Man kann das mit der Tatsache vergleichen, dass der Folge-Raum l nicht trennbar ist.

Der Satz aller begrenzten Maschinenbediener auf einem Raum von Hilbert, zusammen mit der Maschinenbediener-Norm und der adjoint Operation, trägt C*-algebra.

Siehe auch

• Maschinenbediener-Algebra
• Topologien auf dem Satz von Maschinenbedienern auf einem Raum von Hilbert