In der Graph-Theorie ist eine Baumzergliederung eines Graphen in einen Baum kartografisch darzustellen, der verwendet werden kann, um behebende bestimmte Probleme auf dem ursprünglichen Graphen zu beschleunigen. Der treewidth misst die Zahl von Graph-Scheitelpunkten, die auf jeden Baumknoten in einer optimalen Baumzergliederung kartografisch dargestellt sind.

Während es NP-hard ist, um den treewidth eines Graphen zu bestimmen, sind viele NP-hard kombinatorische Probleme auf Graphen in der polynomischen Zeit, wenn eingeschränkt, auf Graphen von begrenztem treewidth lösbar.

Im Maschinenlernen werden Baumzergliederungen auch Verbindungspunkt-Bäume, Clique-Bäume genannt, oder schließen sich Bäumen an; sie

spielen Sie eine wichtige Rolle in Problemen wie probabilistic Schlussfolgerung, Einschränkungsbefriedigung, fragen Sie Optimierung und Matrixzergliederung.

Das Konzept von Baumzergliederungen und treewidth wurde dadurch ursprünglich eingeführt. Später wurde es dadurch wieder entdeckt und ist von vielen anderen Autoren seitdem studiert worden.

Definition

Intuitiv vertritt eine Baumzergliederung die Scheitelpunkte des gegebenen Graphen als Subbäume eines Baums auf solche Art und Weise, dass Scheitelpunkte nur angrenzend sind, wenn sich die entsprechenden Subbäume schneiden. So bildet der Graph einen Subgraphen des Kreuzungsgraphen der Subbäume. Der volle Kreuzungsgraph ist ein chordal Graph.

Jeder Subbaum vereinigt einen Graph-Scheitelpunkt mit einer Reihe von Baumknoten. Um das formell zu definieren, vertreten wir jeden Baumknoten als der Satz von damit vereinigten Scheitelpunkten.

So, in Anbetracht eines Graphen G = (V, E), ist eine Baumzergliederung ein Paar (X, T), wo X = {X..., X} eine Familie von Teilmengen V ist, und T ein Baum ist, dessen Knoten die Teilmengen X sind, die folgenden Eigenschaften befriedigend:

1. Die Vereinigung aller Sätze X ist V gleich. D. h. jeder Graph-Scheitelpunkt wird mit mindestens einem Baumknoten vereinigt.
2. Für jeden Rand (v, w) im Graphen, gibt es eine Teilmenge X, der sowohl v als auch w enthält. D. h. Scheitelpunkte sind im Graphen nur angrenzend, wenn die entsprechenden Subbäume einen Knoten gemeinsam haben.
3. Wenn X und X beide einen Scheitelpunkt v enthalten, dann enthalten alle Knoten X des Baums im (einzigartigen) Pfad zwischen X und X v ebenso. D. h. die Knoten, die mit dem Scheitelpunkt v vereinigt sind, bilden eine verbundene Teilmenge von T. Das ist auch bekannt als Kohärenz oder das laufende Kreuzungseigentum. Es kann gleichwertig festgestellt werden, dass, wenn, und Knoten sind, und auf dem Pfad von zu, dann ist.

Die Baumzergliederung eines Graphen ist alles andere als einzigartig; zum Beispiel enthält eine triviale Baumzergliederung alle Scheitelpunkte des Graphen in seinem einzelnen Wurzelknoten.

Treewidth

Die Breite einer Baumzergliederung ist die Größe seines größten Satzes X minus einer. Der treewidth tw (G) eines Graphen G ist die minimale Breite unter allen möglichen Baumzergliederungen von G. In dieser Definition wird die Größe des größten Satzes durch denjenigen verringert, um den treewidth eines einem gleichen Baums zu machen. Gleichwertig ist der treewidth von G derjenige weniger als die Größe der größten Clique im chordal Graphen, der G mit der kleinsten Clique-Zahl enthält. Die Graphen mit treewidth am grössten Teil von k werden auch teilweise K-Bäume genannt.

Es ist NP-complete, um zu bestimmen, ob ein gegebener Graph G treewidth höchstens eine gegebene Variable k hat.

Jedoch, wenn k jede feste Konstante ist, können die Graphen mit treewidth k, und eine Breite k Baumzergliederung anerkannt werden, die für sie in der geradlinigen Zeit gebaut ist. Die Zeitabhängigkeit dieses Algorithmus auf k ist Exponential-.

Treewidth kann auch in Bezug auf Häfen, Funktionen charakterisiert werden, die eine Vermeidungsstrategie für ein bestimmtes auf einem Graphen definiertes Verfolgungsvermeidungsspiel beschreiben. Ein Graph G hat treewidth k, wenn, und nur wenn es einen Hafen der Ordnung hat, aber keiner höheren Ordnung, wo ein Hafen der Ordnung eine Funktion β ist, der jeden Satz X an den meisten k Scheitelpunkten in G in einen der verbundenen Bestandteile kartografisch darstellt und das dem Monomuskeltonus-Eigentum das wann auch immer folgt

Graph-Minderjährige

Für jeden festen unveränderlichen k werden die teilweisen K-Bäume unter der Operation von Graph-Minderjährigen, und deshalb durch den Lehrsatz von Robertson-Seymour geschlossen, diese Familie kann in Bezug auf einen begrenzten Satz von verbotenen Minderjährigen charakterisiert werden. Für teilweise 1 Bäume (d. h. Wälder), ist der einzelne verbotene Minderjährige ein Dreieck, und für die teilweisen 2 Bäume ist der einzelne verbotene Minderjährige der ganze Graph auf vier Scheitelpunkten. Jedoch nimmt die Zahl von verbotenen Minderjährigen für größere Werte von k zu: Für teilweise 3 Bäume gibt es vier verbotene Minderjährige, den ganzen Graphen auf fünf Scheitelpunkten, den octahedral Graphen mit sechs Scheitelpunkten, den Acht-Scheitelpunkte-Graphen von Wagner und das fünfeckige Prisma mit zehn Scheitelpunkten.

Die planaren Graphen haben begrenzten treewidth, weil der n &times nicht; n Bratrost-Graph ist ein planarer Graph mit treewidth n. Deshalb, wenn F eine gering geschlossene Graph-Familie mit begrenztem treewidth ist, kann er nicht alle planaren Graphen einschließen. Umgekehrt, wenn ein planarer Graph als ein Minderjähriger für Graphen in der Familie F nicht vorkommen kann, dann gibt es einen unveränderlichen solchen k, dass alle Graphen in F treewidth am grössten Teil von k haben. D. h. die folgenden drei Bedingungen sind zu einander gleichwertig:

1. F ist eine gering geschlossene Familie von begrenzten-treewidth Graphen;
2. Einer der begrenzt vielen verbotenen Minderjährigen, die F charakterisieren, ist planar;
3. F ist eine gering geschlossene Graph-Familie, die alle planaren Graphen nicht einschließt.

Familien von Graphen mit begrenztem treewidth schließen die Kaktus-Graphen, Pseudowälder, mit der Reihe parallelen Graphen, outerplanar Graphen, Graphen von Halin und Netze von Apollonian ein. Die Kontrollfluss-Graphen, die in der Kompilation von strukturierten Programmen auch entstehen, haben treewidth begrenzt, der bestimmten Aufgaben wie Register-Zuteilung erlaubt, effizient auf ihnen durchgeführt zu werden.

Dynamische Programmierung

Am Anfang der 1970er Jahre wurde es bemerkt, dass eine große Klasse von kombinatorischen auf Graphen definierten Optimierungsproblemen durch nicht die dynamische Serienprogrammierung effizient gelöst werden konnte, so lange der Graph eine begrenzte Dimension, ein mit treewidth verbundener Parameter hatte. Später haben mehrere Autoren unabhängig am Ende der 1980er Jahre bemerkt, dass viele algorithmische Probleme, die NP-complete für willkürliche Graphen sind, effizient durch die dynamische Programmierung für Graphen von begrenztem treewidth mit den Baumzergliederungen dieser Graphen behoben werden können.

Als ein Beispiel, denken Sie das Problem, den maximalen unabhängigen Satz in einem Graphen von treewidth k zu finden. Um dieses Problem zu beheben, wählen Sie zuerst einen der Knoten der Baumzergliederung, um die Wurzel willkürlich zu sein. Für einen Knoten X der Baumzergliederung, lassen Sie D die Vereinigung der Sätze das X Absteigen von X sein. Für einen unabhängigen Satz S  X, lassen Sie (S, i) zeigen die Größe der größten unabhängigen Teilmenge I von solchen D dass ich  X = S an. Ähnlich für ein angrenzendes Paar von Knoten X und X, mit X weiter von der Wurzel des Baums als X, und ein unabhängiger Satz S  X  X, lassen B (S, ich, j) zeigen die Größe der größten unabhängigen Teilmenge I von solchen D dass ich  X  X = S an. Wir können diese A- und B-Werte durch von unten nach oben Traversal des Baums berechnen:

::

wo die Summe in der Berechnung dessen über die Kinder des Knotens ist.

An jedem Knoten oder Rand gibt es höchstens 2 Sätze S, für den wir diese Werte so berechnen müssen, wenn k eine Konstante dann ist, nimmt die ganze Berechnung pro Rand oder Knoten Zeit in Anspruch. Die Größe des maximalen unabhängigen Satzes ist der größte Wert, der am Wurzelknoten versorgt ist, und der maximale unabhängige Satz selbst kann gefunden werden (wie in dynamischen Programmieralgorithmen normal ist) durch das Zurückverfolgen durch diese versorgten Werte, die von diesem größten Wert anfangen. So, in Graphen von begrenztem treewidth, kann das maximale unabhängige Satz-Problem in der geradlinigen Zeit behoben werden. Ähnliche Algorithmen gelten für viele andere Graph-Probleme.

Diese dynamische Programmierannäherung wird in der Maschine verwendet, die über den Verbindungspunkt-Baumalgorithmus für die Glaube-Fortpflanzung in Graphen von begrenztem treewidth erfährt. Es spielt auch eine Schlüsselrolle in Algorithmen, für den treewidth zu schätzen und Baumzergliederungen zu bauen: Normalerweise haben solche Algorithmen einen ersten Schritt, der dem treewidth näher kommt, eine Baumzergliederung mit dieser ungefähren Breite, und dann einen zweiten Schritt bauend, der dynamische Programmierung in der ungefähren Baumzergliederung durchführt, um den genauen Wert des treewidth zu schätzen.

Treewidth von Cliquen

In jeder Baumzergliederung eines Graphen, der eine Clique enthält, gibt es einen Knoten i in solchem T, der alle Knoten der Clique enthält. Das wird durch die Induktion auf der Größe der Clique gezeigt. Die Grundfälle sind Cliquen der Größe 1 und 2, die aus den Bedingungen 1 und 2 auf einer Baumzergliederung folgen. Der induktive Fall ist ein Graph, der eine Clique der Größe k+1 enthält, wo k 2 oder größer ist. Lassen Sie C der Satz von Knoten in der Clique sein. Seitdem gibt es mindestens drei Knoten in der Clique, nennt sie x, y und z. Wir wissen von der Induktionsvoraussetzung, dass es Knoten a, b und c in der Baumzergliederung mit gibt

:.

In einem Baum gibt es genau einen Pfad zwischen irgendwelchen zwei Knoten. Ein zweites Eigentum von Bäumen besteht darin, dass die drei Pfade zwischen a, b und c eine nichtleere Kreuzung haben. Lassen Sie v ein Knoten in dieser Kreuzung sein. Von der Bedingung 3 auf einer Baumzergliederung bekommen wir das

:::

Das bezieht das ein.

Es folgt daraus, dass der treewidth einer K-Clique k-1 ist.

Treewidth von Bäumen

Ein verbundener Graph mit mindestens zwei Scheitelpunkten hat treewidth 1, wenn, und nur wenn es ein Baum ist. Das kann in zwei Schritten zuerst gezeigt werden, dass ein Baum treewidth 1, zweitens hat, dass ein verbundener Graph mit treewidth 1 ein Baum ist.

Um dem ersteren zu zeigen, verwenden Sie Induktion auf der Zahl von Scheitelpunkten im Baum, um zu zeigen, dass es eine Baumzergliederung ohne Tasche mit der Größe hat, die größer ist als zwei. Der Grundfall ist ein Baum mit zwei Scheitelpunkten, in welchem Fall die Baumzergliederung mit einem einzelnem Knoten genügend ist. Der induktive Fall ist ein Baum mit Scheitelpunkten, wo jede ganze Zahl ist, die größer ist als. Wenn wir ein Blatt vom Graphen entfernen, bekommen wir einen Baum der Größe. Von der Induktionsvoraussetzung können wir eine Baumzergliederung der Breite 1 dieses Graphen schaffen. Lassen Sie, der einzigartige Nachbar in und ein Knoten im solchem zu sein, der darin ist. Lassen Sie, ein Knoten mit als sein einziger Nachbar hinzugefügt und gelassen zu werden, mit der Hinzufügung das zu sein. Jetzt ist eine Baumzergliederung mit der Breite 1.

Jetzt muss es zu zeigen, dass ein verbundener Graph mit treewidth 1 ein Baum ist. Die contrapositive Behauptung ist, dass ein Graph mit einem Zyklus treewidth 1 nicht hat. Ein Graph mit einem Zyklus hat den 3-Cliquen-als ein Minderjähriger, der von der Behauptung in der vorherigen Abteilung treewidth 2 hat. Da die teilweisen 2 Bäume unter Minderjährigen geschlossen werden, hat der Graph deshalb treewidth 2 oder größer.

Siehe auch

• Clique-Breite
• Zweigzergliederung, eine nah zusammenhängende Struktur, deren Breite innerhalb eines unveränderlichen Faktors von treewidth ist
• Pfad-Zergliederung, eine Baumzergliederung, in der der zu Grunde liegende Baum der Zergliederung ein Pfad-Graph ist
• Zyklus-Reihe, eine Zahl, die für eine gering geschlossene Graph-Familie begrenzt wird, wenn, und nur wenn die Familie einen Pfad ausschließt
• Entartung, ein Maß des sparsity eines Graphen, der höchstens seinem treewidth gleich

ist

Referenzen

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