Mathematische Induktion ist eine Methode des mathematischen Beweises normalerweise hat gepflegt festzustellen, dass eine gegebene Behauptung für alle natürlichen Zahlen (positive ganze Zahlen) wahr ist. Es wird durch den Beweis getan, dass die erste Behauptung in der unendlichen Folge von Behauptungen wahr ist, und dann dass beweisend, wenn irgendwelche Behauptung in der unendlichen Folge von Behauptungen wahr ist, dann so ist der folgende.

Die Methode kann erweitert werden, um Behauptungen über allgemeinere wohl begründete Strukturen wie Bäume zu beweisen; diese Generalisation, die als Strukturinduktion bekannt ist, wird in der mathematischen Logik und Informatik verwendet. Die mathematische Induktion in diesem verlängerten Sinn ist nah mit recursion verbunden.

Mathematische Induktion sollte als eine Form des induktiven Denkens nicht falsch ausgelegt werden, das nichtstreng in der Mathematik betrachtet wird (sieh Problem der Induktion für mehr Information). Tatsächlich ist mathematische Induktion eine Form des strengen deduktiven Denkens.

Geschichte

In 370 v. Chr. kann der Parmenides von Plato ein frühes Beispiel eines impliziten induktiven Beweises enthalten haben. Die frühsten impliziten Spuren der mathematischen Induktion können im Beweis von Euklid gefunden werden, dass die Zahl der Blüte unendlich ist und in der "zyklischen Methode von Bhaskara". Eine entgegengesetzte wiederholte Technik, aber nicht hinzählend, wird im Paradox von Sorites gefunden, wo man behauptet hat, dass, wenn sich 1,000,000 Körner von Sand geformt haben, ein Haufen und das Entfernen eines Kornes von einem Haufen es einen Haufen verlassen haben, dann bilden ein einzelnes Korn von Sand (oder sogar keine Körner) einen Haufen.

Ein impliziter Beweis durch die mathematische Induktion für arithmetische Folgen wurde im al-Fakhri eingeführt, der von al-Karaji ungefähr 1000 n.Chr. geschrieben ist, wer es verwendet hat, um den binomischen Lehrsatz und die Eigenschaften des Dreiecks des Pascal zu beweisen.

Keiner dieser alten Mathematiker hat jedoch ausführlich die induktive Hypothese festgesetzt. Ein anderer ähnlicher Fall (gegen, was Vacca als Freudenthal sorgfältig geschrieben hat, hat sich gezeigt), war der von Francesco Maurolico in seinem Duett von Arithmeticorum libri (1575), wer die Technik verwendet hat, um zu beweisen, dass die Summe der ersten n sonderbaren ganzen Zahlen n ist. Die erste ausführliche Formulierung des Grundsatzes der Induktion wurde durch Pascal in seinem Traité du triangle arithmétique (1665) gegeben. Ein anderer Franzose, Fermat, hat großen Gebrauch eines zusammenhängenden Grundsatzes, indirekten Beweises durch den unendlichen Abstieg gemacht. Die induktive Hypothese wurde auch vom Schweizer Jakob Bernoulli verwendet, und von da an ist es mehr oder weniger weithin bekannt geworden. Die moderne strenge und systematische Behandlung des Grundsatzes ist nur im 19. Jahrhundert, mit George Boole, Charles Sanders Peirce, Giuseppe Peano und Richard Dedekind gekommen.

Beschreibung

Das einfachste und der grösste Teil der Standardform der mathematischen Induktion beweisen, dass eine Behauptung, die eine natürliche Zahl n einschließt, für alle Werte von n hält. Der Beweis besteht aus zwei Schritten:

1. Die Basis (stützen Fall): Vertretung, dass die Behauptung hält, wenn n dem niedrigsten Wert gleich ist, der n in der Frage gegeben wird. Gewöhnlich, n = 0 oder n = 1.
2. Der induktive Schritt: Vertretung dass, wenn die Behauptung für einen n hält, dann hält die Behauptung auch, wenn gegen n + 1 n ausgewechselt wird.

Die Annahme im induktiven Schritt, dass die Behauptung für einen n hält, wird die Induktionsvoraussetzung (oder induktive Hypothese) genannt. Um den induktiven Schritt durchzuführen, nimmt man die Induktionsvoraussetzung an und verwendet dann diese Annahme, um die Behauptung für n + 1 zu beweisen.

Die Wahl zwischen n = 0 und n = 1 im Grundfall ist zum Zusammenhang des Beweises spezifisch: Wenn 0 als eine natürliche Zahl betrachtet wird, wie in den Feldern von combinatorics und mathematischer Logik, dann n = 0 üblich ist. Wenn, andererseits, 1 als die erste natürliche Zahl genommen wird, dann wird der Grundfall durch n = 1 gegeben.

Diese Methode Arbeiten vom ersten Beweis der Behauptung sind für einen Startwert wahr, und dann beweisend, dass der Prozess gepflegt hat, von einem Wert bis das folgende zu gehen, ist gültig. Wenn diese beide bewiesen werden, dann kann jeder Wert durch das Durchführen des Prozesses wiederholt erhalten werden. Es kann nützlich sein, an den Dominoeffekt zu denken; wenn man eine lange Reihe des Domino-Stehens ununterbrochen geboten wird, kann man dass überzeugt sein:

1. Das erste Domino wird fallen
2. Wann auch immer ein Domino fällt, wird sein folgender Nachbar auch, fallen

so wird es beschlossen, dass alle Dominos fallen werden, und dass diese Tatsache unvermeidlich ist.

Axiom der Induktion

Die grundlegende Annahme oder das Axiom der Induktion, sind in logischen Symbolen,

:

wo P jeder Vorschlag und k ist und n beide natürliche Zahlen sind.

Mit anderen Worten deutet die Basis P (0), zusammen mit dem induktiven Fall wahr seiend ("P ist (k) wahr, an, dass P (k + 1)" für den ganzen natürlichen k wahr ist), wahr zu sein, deutet zusammen an, dass P (n) für jede natürliche Zahl n wahr ist. Ein Beweis durch die Induktion ist dann ein Beweis, dass diese zwei Bedingungen halten, so den erforderlichen Beschluss einbeziehend.

Das arbeitet, weil k verwendet wird, um eine willkürliche natürliche Zahl zu vertreten. Dann zeigt das Verwenden der induktiven Hypothese, d. h. dass P (k) wahr ist, dass P (k + 1) auch wahr ist. Das erlaubt uns, die Tatsache "zu tragen", dass P (0) zur Tatsache wahr ist, dass P (1) auch wahr ist, und tragen Sie P (1) zu P (2), usw., so sich P erweisend, hält (n) für jede natürliche Zahl n.

Bemerken Sie, dass sich der erste quantifier im Axiom über Prädikate aber nicht über individuelle Zahlen erstreckt. Das wird eine zweite Ordnung quantifier genannt, was bedeutet, dass das Axiom in der Logik der zweiten Ordnung festgesetzt wird. Die Arithmetik-Induktion von Axiomatizing in der Logik der ersten Ordnung verlangt ein Axiom-Diagramm, das ein getrenntes Axiom für jedes mögliche Prädikat enthält. Die Axiome des Artikels Peano enthalten weitere Diskussion dieses Problems.

Beispiel

Mathematische Induktion kann verwendet werden, um zu beweisen, dass die folgende Behauptung, die wir P (n) nennen werden, für alle natürlichen Zahlen n hält.

:

P gibt (n) eine Formel für die Summe der natürlichen Zahlen weniger als oder gleich der Nummer n. Der Beweis, dass P (n) für jede natürliche Zahl n Erlös wie folgt wahr ist.

Basis: Zeigen Sie, dass die Behauptung für n = 0 hält.

P (0) Beträge zur Behauptung:

:

In der linken Seite der Gleichung ist der einzige Begriff 0, und so ist die linke Seite einfach 0 gleich.

In der Rechte der Gleichung, 0 · (0 + 1)/2 = 0.

Die zwei Seiten sind gleich, so ist die Behauptung für n = 0 wahr. So ist es gezeigt worden, dass P (0) hält.

Induktiver Schritt: Zeigen Sie dass, wenn P (k) hält, dann auch hält. Das kann wie folgt getan werden.

Nehmen Sie an, dass P (k) (für einen unangegebenen Wert von k) hält. Es muss dann gezeigt werden, dass das hält, ist das:

:

Mit der Induktionsvoraussetzung, die P (k) hält, kann die linke Seite umgeschrieben werden zu:

:

Algebraisch:

:

\begin {richten }\aus

\frac {k (k + 1)} {2} + (k+1) & = \frac {k (k+1) +2 (k+1)} 2 \\

& = \frac {(k+1) (k+2)} {2} \\

& = \frac {(k+1) ((k+1) + 1)} {2}.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

dadurch Vertretung, die tatsächlich hält.

Seitdem sind sowohl die Basis als auch der induktive Schritt bewiesen worden, es ist jetzt durch die mathematische Induktion bewiesen worden, dass P (n) für den ganzen natürlichen n hält. Q.E.D.

Varianten

In der Praxis werden Beweise durch die Induktion häufig verschieden abhängig von der genauen Natur des Eigentums strukturiert, bewiesen zu werden.

Das Starten an einer anderen Zahl

Wenn wir eine Behauptung nicht für alle natürlichen Zahlen, aber nur für alle Zahlen größer oder gleich einer bestimmten Anzahl b dann beweisen wollen:

1. Die Vertretung, dass die Behauptung wenn n = b hält.
2. Die Vertretung, dass, wenn die Behauptung für n = M  b dann hält, dieselbe Behauptung auch für n = M + 1 hält.

Das kann zum Beispiel verwendet werden, um dass n  3n für n  3 zu zeigen. Ein wesentlicheres Beispiel ist ein Beweis das

:

Auf diese Weise können wir beweisen, dass P (n) für den ganzen n 1, oder sogar n &minus;5 hält. Diese Form der mathematischen Induktion ist wirklich ein spezieller Fall der vorherigen Form, weil, wenn die Behauptung, dass wir vorhaben sich zu erweisen, P (n) dann Beweis davon mit diesen zwei Regeln ist, mit dem Beweis P (n + b) für alle natürlichen Zahlen n mit den ersten zwei Schritten gleichwertig ist.

Gebäude n

2 = ==

In der Mathematik sind viele Standardfunktionen, einschließlich Operationen solcher als "+" und Beziehungen solcher als "=", binär, bedeutend, dass sie zwei Argumente nehmen. Häufig besitzen diese Funktionen Eigenschaften, die sie implizit zu mehr als zwei Argumenten erweitern. Zum Beispiel, einmal Hinzufügung + wird b definiert und ist bekannt, das associativity Eigentum (+ b) + c = + (b + c) dann zu befriedigen, hat die dreifältige Hinzufügung + b + c Sinn, irgendein als (+ b) + c oder als + (b + c). Ähnlich werden viele Axiome und Lehrsätze in der Mathematik nur für die binären Versionen von mathematischen Operationen und Beziehungen festgesetzt, und strecken sich implizit bis zu höhere-arity Versionen aus.

Nehmen Sie an, dass wir eine Behauptung über eine n-stufige von einer binären Operation implizit definierte Operation mit der mathematischen Induktion auf n beweisen möchten. Dann sollte es als keine Überraschung kommen, dass der n = 2 Fall spezielles Gewicht trägt. Hier sind einige Beispiele.

Beispiel: Produktregel für die Ableitung

In diesem Beispiel ist die binäre fragliche Operation Multiplikation (von Funktionen). Die übliche Produktregel für die Ableitung hat in Rechnungsstaaten unterrichtet:

:

oder in der logarithmischen abgeleiteten Form

:

Das kann zu einem Produkt von N-Funktionen verallgemeinert werden. Man hat

:::oder in der logarithmischen abgeleiteten Form:::

In jedem der n Begriffe der üblichen Form gerade ist einer der Faktoren eine Ableitung; andere sind nicht.

Wenn diese allgemeine Tatsache durch die mathematische Induktion, der n = bewiesen wird, ist 0 Fall, trivial (da das leere Produkt 1 ist, und die leere Summe 0 ist). Der n = ist 1 Fall auch, Und für jeden n  3 trivial, der Fall ist leicht, sich vom Vorangehen n &minus zu erweisen; 1 Fall. Die echte Schwierigkeit liegt im n = 2 Fall, der ist, warum das dasjenige ist, hat in der Standardproduktregel festgesetzt.

Alternative Weise, darauf zu schauen, ist (ein monoid Homomorphismus) dazu zu verallgemeinern.

Beispiel: Der Beweis von Pólya, dass es kein "Pferd einer verschiedenen Farbe" gibt

In diesem Beispiel ist die binäre fragliche Beziehung eine Gleichwertigkeitsbeziehung, die auf Pferde angewandt ist, solch, dass zwei Pferde gleichwertig sind, wenn sie dieselbe Farbe sind. Das Argument ist zu demjenigen oben im Wesentlichen identisch, aber der entscheidende n = 1 Fall scheitert, das komplette Argument veranlassend, ungültig zu sein.

In der Mitte des 20. Jahrhunderts war ein alltäglicher umgangssprachlicher Ausdruck, um die Idee auszudrücken, dass etwas vom üblichen unerwartet verschieden ist "Es ist ein Pferd einer verschiedenen Farbe!". George Pólya hat die folgende Übung aufgestellt: Finden Sie den Fehler im folgenden Argument, das vorgibt, durch die mathematische Induktion zu beweisen, dass alle Pferde derselben Farbe sind:

• Basis: Wenn es nur ein Pferd gibt, gibt es nur eine Farbe.
• Induktionsschritt: Nehmen Sie als Induktionsvoraussetzung dass innerhalb jedes Satzes von n Pferden an, es gibt nur eine Farbe. Schauen Sie jetzt auf jeden Satz von n + 1 Pferde. Zählen Sie sie: 1, 2, 3..., n, n + 1. Denken Sie die Sätze {1, 2, 3..., n} und {2, 3, 4..., n + 1}. Jeder ist eine Reihe nur n Pferde, deshalb innerhalb jedes, der es nur eine Farbe gibt. Aber das zwei Satz-Übergreifen, also muss es nur eine Farbe unter dem ganzen n + 1 Pferde geben.

Der Basisfall ist trivial (weil jedes Pferd dieselbe Farbe wie selbst ist), und der induktive Schritt in allen Fällen n  2 richtig ist. Jedoch ist die Logik des induktiven Schritts für n = 1 falsch, weil die Behauptung, dass "das zwei Satz-Übergreifen" falsch ist (gibt es nur zwei Pferde). Tatsächlich ist der n = 2 Fall klar der Kernpunkt der Sache; wenn man den n = 2 Fall direkt beweisen konnte, dann würden alle höheren Fälle aus der induktiven Hypothese folgen.

Induktion auf mehr als einem Schalter

Es ist manchmal wünschenswert, eine Behauptung zu beweisen, die zwei natürliche Zahlen, n und M, durch das Wiederholen des Induktionsprozesses einschließt. D. h. man führt einen Basisschritt durch, und ein induktiver Schritt für n, und in jedem von denjenigen führt einen Basisschritt und einen induktiven Schritt für die M durch., Sieh zum Beispiel, den Beweis von commutativity Begleithinzufügung von natürlichen Zahlen. Mehr komplizierte Argumente, die drei oder mehr Schalter einschließen, sind auch möglich.

Unendlicher Abstieg

Eine andere Variante der mathematischen Induktion - der Methode des unendlichen Abstiegs - war einer der Lieblinge von Pierre de Fermat. Diese Methode von Probearbeiten rückwärts, und kann mehrere ein bisschen verschiedene Formen annehmen. Zum Beispiel könnte es durch die Vertretung beginnen, dass, wenn eine Behauptung für eine natürliche Zahl n es wahr ist, auch für eine kleinere natürliche Zahl M wahr sein muss (M &lt; n). Mit der mathematischen Induktion (implizit) mit der induktiven Hypothese, die ist, dass die Behauptung für alle natürlichen Zahlen weniger falsch als oder der M gleich ist, können wir beschließen, dass die Behauptung für keine natürliche Zahl n wahr sein kann.

Ganze Induktion

Eine andere verschiedene, genannte ganze Induktion (oder starke Induktion oder Kurs der Wertinduktion), sagt, dass im zweiten Schritt wir nicht nur annehmen können, dass die Behauptung für n = M hält, sondern auch dass es für den ganzen n weniger wahr als oder der M gleich ist.

Ganze Induktion ist am nützlichsten, wenn mehrere Beispiele der induktiven Hypothese für jeden induktiven Schritt erforderlich sind. Zum Beispiel kann ganze Induktion verwendet werden, um dem zu zeigen

:

wo F die n Fibonacci-Zahl, φ = (1 + 5)/2 (das goldene Verhältnis) und ψ = ist (1 &minus; 5)/2 sind die Wurzeln des Polynoms x &minus; x &minus; 1. Durch das Verwenden der Tatsache, dass F = F + F für jeden n  N, die Identität oben durch die direkte Berechnung für F nachgeprüft werden kann, wenn wir annehmen, dass es bereits sowohl für F als auch für F hält. Um den Beweis zu vollenden, muss die Identität in den zwei Grundfällen n = 0 und n = 1 nachgeprüft werden.

Ein anderer Beweis durch die ganze Induktion verwendet die Hypothese, dass die Behauptung für den ganzen kleineren n mehr gründlich hält. Denken Sie die Behauptung, dass "jede natürliche Zahl, die größer ist als 1, ein Produkt von Primzahlen ist", und nehmen Sie das für eine gegebene M &gt an; 1 hält es für den ganzen kleineren n &gt; 1. Wenn M dann erst ist, ist es sicher ein Produkt der Blüte, und wenn nicht, dann definitionsgemäß ist es ein Produkt: M = n n, wo keiner der Faktoren 1 gleich ist; folglich ist keiner der M gleich, und so sind beide kleiner als M. Die Induktionsvoraussetzung gilt jetzt für n und n, so ist jeder ein Produkt der Blüte. Dann ist M ein Produkt von Produkten der Blüte; d. h. ein Produkt der Blüte.

Diese Generalisation, ganze Induktion, ist zur gewöhnlichen mathematischen Induktion gleichwertig, die oben beschrieben ist. Nehmen Sie an, dass P (n) die Behauptung ist, dass wir vorhaben, sich durch die ganze Induktion zu erweisen. Lassen Sie Q (n) bedeuten, dass P (m) für die ganze solche M dass 0  M  n hält. Dann Q ist (n) für den ganzen n wahr, wenn, und nur wenn P (n) für den ganzen n wahr ist, und ein Beweis von P (n) durch die ganze Induktion genau dasselbe als ein Beweis von Q (n) durch (die gewöhnliche) Induktion ist.

Transfinite Induktion

Die letzten zwei Schritte können als ein Schritt wiederformuliert werden:

1. Die Vertretung davon, wenn die Behauptung für den ganzen n hält

• Nachgedruckt (BEDIENUNGSFELD 3.252-88), (W 4:299-309).