In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktion einer getrennten zufälligen Variable eine Macht-Reihe-Darstellung (die Erzeugen-Funktion) von der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der zufälligen Variable. Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktionen werden häufig für ihre kurz gefasste Beschreibung der Folge von Wahrscheinlichkeiten Pr (X = i) in der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für eine zufällige Variable X verwendet, und verfügbar die gut entwickelte Theorie der Macht-Reihe mit nichtnegativen Koeffizienten zu machen.

Definition

Fall von Univariate

Wenn X eine getrennte zufällige variable Einnahme Werte in den natürlichen Zahlen {0,1 ist...} dann wird die Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktion X als definiert

:

wo p die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion X ist. Bemerken Sie, dass die subscripted Notationen G und p häufig verwendet werden, um zu betonen, dass diese einer besonderen zufälligen Variable X, und seinem Vertrieb gehören. Die Macht-Reihe läuft absolut mindestens für alle komplexen Zahlen z mit |z  1 zusammen; in vielen Beispielen ist der Radius der Konvergenz größer.

Fall von Multivariate

Wenn eine getrennte zufällige variable Einnahme Werte im d-dimensional Gitter der natürlichen Zahl {0,1 ist...} dann wird die Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktion X als definiert

:

wo p die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion X ist. Die Macht-Reihe läuft absolut mindestens für alle komplizierten Vektoren damit zusammen.

Eigenschaften

Macht-Reihe

Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktionen folgen allen Regeln der Macht-Reihe mit nichtnegativen Koeffizienten. Insbesondere G (1) = 1, wo G (1) = limG (z) von unten da die Wahrscheinlichkeiten zu einer resümieren müssen. So muss der Radius der Konvergenz jeder Wahrscheinlichkeit erzeugenden Funktion mindestens 1 durch den Lehrsatz von Abel für die Macht-Reihe mit nichtnegativen Koeffizienten sein.

Wahrscheinlichkeiten und Erwartungen

Die folgenden Eigenschaften erlauben die Abstammung von verschiedenen grundlegenden Mengen, die mit X verbunden sind:

1. Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion X wird durch die Einnahme von Ableitungen von G wieder erlangt

:

2. Es folgt aus Eigentum 1 dass, wenn zufällige Variablen X und Y Wahrscheinlichkeitserzeugen-Funktionen haben, die, G = G, dann p = p gleich sind. D. h. wenn X und Y identische Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktionen haben, dann haben sie identischen Vertrieb.

3. Die Normalisierung der Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion kann in Bezug auf die Erzeugen-Funktion durch ausgedrückt werden

:

Die Erwartung von X wird durch gegeben

:

Mehr allgemein, der kth factorial Moment, E (X (X − 1)... (X − k + 1)), X wird durch gegeben

:

So wird die Abweichung X durch gegeben

:

4. G = M (t), wo X eine zufällige Variable, G ist, ist (t) die Wahrscheinlichkeitserzeugen-Funktion, und M (t) ist die Momentenerzeugungsfunktion.

Funktionen von unabhängigen zufälligen Variablen

Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktionen sind besonders nützlich, um sich mit Funktionen von unabhängigen zufälligen Variablen zu befassen. Zum Beispiel:

• Wenn X, X..., X eine Folge von unabhängigen (und nicht notwendigerweise identisch verteilt) zufällige Variablen und ist

::

:where sind Konstanten, dann wird die Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktion durch gegeben

::

:For-Beispiel, wenn

::

:then die Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktion, G (z), wird durch gegeben

::

:It folgt auch dem die Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktion des Unterschieds von zwei unabhängigen zufälligen Variablen S = X − X ist

::

• Nehmen Sie an, dass N auch eine unabhängige, getrennte zufällige variable Einnahme Werte auf den natürlichen Zahlen, mit der Wahrscheinlichkeit erzeugenden Funktion G ist. Wenn die X, X..., X unabhängig und mit der allgemeinen Wahrscheinlichkeit erzeugenden Funktion G, dann identisch verteilt

sind::

:This kann mit dem Gesetz der Gesamterwartung wie folgt gesehen werden:

::

:This letzte Tatsache ist in der Studie von Prozessen von Galton-Watson nützlich.

• Nehmen Sie wieder an, dass N auch eine unabhängige, getrennte zufällige variable Einnahme Werte auf den natürlichen Zahlen, mit der Wahrscheinlichkeit erzeugenden Funktion G und Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Wenn die X, X..., X, aber nicht identisch verteilte zufällige Variablen unabhängig sind, wo die Wahrscheinlichkeitserzeugen-Funktion, dann anzeigt

::

:For hat identisch X verteilt das vereinfacht zur Identität hat vorher festgesetzt. Der allgemeine Fall ist manchmal nützlich, um eine Zergliederung von S mittels des Erzeugens von Funktionen zu erhalten.

Beispiele

• Die Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktion einer unveränderlichen zufälligen Variable, d. h. ein mit Pr (X = c) = 1, ist

::

• Die Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktion einer binomischen zufälligen Variable, die Zahl von Erfolgen in n Proben, mit der Wahrscheinlichkeit p des Erfolgs in jeder Probe, ist

::

:Note, dass das das n-fold Produkt der Wahrscheinlichkeit erzeugenden Funktion eines Bernoullis zufällige Variable mit dem Parameter p ist.

• Die Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktion einer negativen binomischen zufälligen Variable, die Zahl von Proben bis zum rth Erfolg mit der Wahrscheinlichkeit des Erfolgs in jeder Probe p, ist

::

: (Konvergenz dafür

:Note, dass das das r-fold Produkt der Wahrscheinlichkeitserzeugen-Funktion einer geometrischen zufälligen Variable ist.

• Die Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktion eines Poissons zufällige Variable mit dem Rate-Parameter λ ist

::

Zusammenhängende Konzepte

Die Wahrscheinlichkeit erzeugende Funktion ist ein Beispiel einer Erzeugen-Funktion einer Folge: Siehe auch formelle Macht-Reihe. Es wird gelegentlich den z-transform der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion genannt.

Andere Erzeugen-Funktionen von zufälligen Variablen schließen die Momentenerzeugungsfunktion, die charakteristische Funktion und den cumulant ein, der Funktion erzeugt.

Referenzen

• Johnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate Getrennter Vertrieb (2. Ausgabe). Wiley. Internationale Standardbuchnummer 0-471-54897-9 (Abschnitt 1. B9)